Les droites
verticales x = k

Équations de droites n°4 — Feuille d'exercices — 2^nde

x = k Pas de pente Le mur vertical

📌 Le mur vertical

🧱 x = k

Tous les points ont la même abscisse $k$, quelle que soit leur hauteur $y$. C'est le seul cas qui échappe à $y=mx+p$ : une droite verticale n'a pas de pente.

⚠️ Ne pas confondre

$x=k$ (verticale, un mur) ≠ $y=k$ (horizontale, un terrain plat, avec $m=0$). Une droite verticale ne touche l'axe des $y$ que si $k=0$.

Astuce : pour la droite verticale passant par un point donné, seule l'abscisse compte — l'ordonnée du point n'intervient jamais dans l'équation $x=k$.

Corrections vues :

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Exercice 1 / 5

Cas simples

✓ Vu

1) Donne l'équation de la droite verticale passant par chaque point.

$A(4\,;-2)$

$B(-3\,;6)$

$C(0\,;5)$

$D(7\,;-7)$

2) Construis un repère : gradue l'axe des abscisses de $-5$ à $8$ (1 carreau = 1 unité) et l'axe des ordonnées de $-8$ à $8$ (1 carreau = 2 unités). Place les 4 points et trace les 4 droites verticales.

💡 Indices

Seule l'abscisse du point compte. L'ordonnée n'intervient jamais dans l'équation $x=k$.

Dans c), l'abscisse est $0$ : la droite est alors confondue avec l'axe des ordonnées.

Méthode : seule l'abscisse du point compte, l'ordonnée ne sert à rien.

a) $A(4\,;-2)$

L'abscisse de $A$ est $4$. L'ordonnée $-2$ ne compte pas.

Équation : $x = 4$

b) $B(-3\,;6)$

L'abscisse de $B$ est $-3$. L'ordonnée $6$ ne compte pas.

Équation : $x = -3$

c) $C(0\,;5)$

L'abscisse de $C$ est $0$ : cette droite est confondue avec l'axe des ordonnées.

Équation : $x = 0$

d) $D(7\,;-7)$

L'abscisse de $D$ est $7$. L'ordonnée $-7$ ne compte pas (même si elle « ressemble » à l'abscisse, ce n'est qu'une coïncidence !).

Équation : $x = 7$

2) Le graphique

Repère gradué de $-5$ à $8$ en abscisses (1 carreau = 1 unité) et de $-8$ à $8$ en ordonnées (1 carreau = 2 unités).

(a) x=4 (b) x=-3 (c) x=0 (d) x=7

Exercice 2 / 5

Ne pas confondre x=k vs y=k

✓ Vu

1) Pour chaque point, donne l'équation de la droite horizontale passant par ce point, puis celle de la droite verticale passant par ce point.

$A(3\,;-2)$

$B(-5\,;4)$

$C(0\,;0)$

$D(6\,;-1)$

2) Construis un repère : gradue l'axe des abscisses de $-6$ à $7$ et l'axe des ordonnées de $-3$ à $5$, en prenant 1 carreau = 1 unité. Place les 4 points et trace, pour chacun, sa droite horizontale et sa droite verticale (8 droites en tout).

💡 Indices

La droite horizontale passant par un point garde son ordonnée : équation $y=\ldots$

Dans c), les deux droites sont en fait les deux axes du repère !

a) $A(3\,;-2)$

Horizontale (garde l'ordonnée) : $y=-2$. Verticale (garde l'abscisse) : $x=3$.

$y = -2$ et $x = 3$

b) $B(-5\,;4)$

Horizontale : $y=4$. Verticale : $x=-5$.

$y = 4$ et $x = -5$

c) $C(0\,;0)$

Horizontale : $y=0$ — c'est l'axe des abscisses. Verticale : $x=0$ — c'est l'axe des ordonnées.

$y = 0$ et $x = 0$ — les deux axes du repère

d) $D(6\,;-1)$

Horizontale : $y=-1$. Verticale : $x=6$.

$y = -1$ et $x = 6$

2) Le graphique

Repère gradué de $-6$ à $7$ en abscisses et de $-3$ à $5$ en ordonnées (1 carreau = 1 unité). Chaque point a sa paire horizontale/verticale de la même couleur.

A : y=-2 et x=3 B : y=4 et x=-5 C : y=0 et x=0 D : y=-1 et x=6

Exercice 3 / 5

Vérification Piège de l'ordonnée

✓ Vu

1) Pour chaque droite verticale, dis si le point $M$ lui appartient. Attention, l'ordonnée peut te jouer des tours !

$x = 3$ ; le point $M_a(3\,;-5)$

$x = -2$ ; le point $M_b(2\,;-2)$

$x = 0$ ; le point $M_c(0\,;8)$

$x = 4$ ; le point $M_d(-4\,;4)$

2) Construis un repère : gradue l'axe des abscisses de $-5$ à $5$ (1 carreau = 1 unité) et l'axe des ordonnées de $-6$ à $9$ (1 carreau = 2 unités). Trace les 4 droites et place les 4 points $M$ pour vérifier tes réponses.

💡 Indices

Compare uniquement l'abscisse du point avec $k$. L'ordonnée ne joue aucun rôle, même si elle est égale à $k$ par coïncidence !

Dans b) et d), l'ordonnée du point est égale à $k$... mais ce n'est pas ce qu'il faut regarder ! Vérifie bien l'abscisse.

Méthode : je compare seulement l'abscisse du point à $k$. L'ordonnée ne compte jamais, même si elle ressemble à $k$.

a) $x = 3$ ; $M_a(3\,;-5)$

L'abscisse de $M_a$ est $3$, qui correspond à $k=3$. Oui, $M_a$ est sur la droite (peu importe que l'ordonnée soit $-5$).

b) $x = -2$ ; $M_b(2\,;-2)$

L'abscisse de $M_b$ est $2$, qui ne correspond pas à $k=-2$. Non, $M_b$ n'est pas sur la droite — même si son ordonnée ($-2$) est égale à $k$, ce n'est pas ce qu'on regarde !

c) $x = 0$ ; $M_c(0\,;8)$

L'abscisse de $M_c$ est $0$, qui correspond à $k=0$. Oui, $M_c$ est sur la droite, même avec une grande ordonnée.

d) $x = 4$ ; $M_d(-4\,;4)$

L'abscisse de $M_d$ est $-4$, qui ne correspond pas à $k=4$. Non, $M_d$ n'est pas sur la droite — encore le même piège : son ordonnée ($4$) est égale à $k$, mais ce n'est pas l'abscisse.

2) Le graphique

Repère gradué de $-5$ à $5$ en abscisses (1 carreau = 1 unité) et de $-6$ à $9$ en ordonnées (1 carreau = 2 unités). Les points dorés sont les points $M$.

(a) x=3 (b) x=-2 (c) x=0 (d) x=4 points M

Exercice 4 / 5

Classification

✓ Vu

1) Pour chaque équation, dis si la droite est oblique (de la forme $y=mx+p$ avec $m\neq 0$), horizontale ($y=k$) ou verticale ($x=k$).

$y = 3x - 2$

$x = -5$

$y = 7$

$x = 0$

2) Construis un repère : gradue l'axe des abscisses de $-6$ à $4$ et l'axe des ordonnées de $-8$ à $8$ (1 carreau = 2 unités sur cet axe), en prenant 1 carreau = 1 unité en abscisses. Trace les 4 droites pour bien voir la différence entre les trois types.

💡 Indices

Si l'équation contient un $x$ multiplié par un nombre non nul et un $y$, c'est oblique. Si elle ne contient que $y=\ldots$ (sans $x$), c'est horizontale. Si elle ne contient que $x=\ldots$ (sans $y$), c'est verticale.

$x=0$ est un cas particulier de droite verticale : elle est confondue avec l'axe des ordonnées.

a) $y = 3x - 2$

Elle contient un $x$ multiplié par $3$ (non nul) et un $y$ isolé : elle a une vraie pente.

Droite oblique

b) $x = -5$

Elle ne contient que des $x$ : toutes les hauteurs $y$ sont possibles pour une seule abscisse.

Droite verticale

c) $y = 7$

Elle ne contient que des $y$ : on peut la réécrire $y=0\times x+7$, la pente est nulle.

Droite horizontale

d) $x = 0$

Elle ne contient que des $x$ (ici, tous nuls) : c'est une droite verticale, confondue avec l'axe des ordonnées.

Droite verticale (cas particulier : l'axe des ordonnées)

2) Le graphique

Repère gradué de $-6$ à $4$ en abscisses (1 carreau = 1 unité) et de $-8$ à $8$ en ordonnées (1 carreau = 2 unités).

(a) y=3x-2 — oblique (b) x=-5 — verticale (c) y=7 — horizontale (d) x=0 — verticale

Exercice 5 / 5

Un peu plus corsé Synthèse

✓ Vu

Un élève a répondu aux questions suivantes. Pour chaque cas, dis si son travail est correct ; si non, corrige-le.

Pour $A(2\,;-6)$, l'élève dit que la droite verticale passant par $A$ a pour équation $x=-6$.

Pour $B(-4\,;1)$, l'élève dit que la droite verticale passant par $B$ a pour équation $y=-4$.

Pour la droite $x=5$, l'élève affirme que le point $M(5\,;-9)$ n'appartient pas à cette droite car « l'ordonnée est trop grande ».

Pour $C(2\,;-3)$ et $D(2\,;5)$, l'élève calcule $m=\dfrac{8}{0}$ et conclut : « ces deux points ne peuvent pas être reliés par une droite ».

Pour finir : construis un repère (gradue l'axe des abscisses de $-5$ à $6$ et l'axe des ordonnées de $-10$ à $6$, avec 1 carreau = 1 unité en abscisses et 1 carreau = 2 unités en ordonnées) et trace correctement les droites verticales concernées.

💡 Indices

Pour une droite verticale, c'est toujours l'abscisse du point qui devient $k$, jamais l'ordonnée. Et une droite verticale s'écrit toujours $x=\ldots$, jamais $y=\ldots$.

L'ordonnée d'un point n'a aucune influence sur son appartenance à une droite verticale. Et une division par $0$ signale justement une droite verticale — qui existe bel et bien, juste pas sous la forme $y=mx+p$.

Rappel : une droite verticale s'écrit toujours $x=k$ où $k$ est l'abscisse du point — jamais l'ordonnée, et jamais sous la forme $y=\ldots$.

a) $A(2\,;-6)$

Incorrect. L'élève a pris l'ordonnée au lieu de l'abscisse : c'est l'abscisse de $A$ qui donne $k$.

Équation correcte : $x = 2$

b) $B(-4\,;1)$

Incorrect. L'élève a confondu horizontale et verticale : une droite verticale s'écrit $x=\ldots$, jamais $y=\ldots$.

Équation correcte : $x = -4$

c) $x=5$ et $M(5\,;-9)$

Raisonnement incorrect. L'ordonnée n'intervient jamais dans l'appartenance à une droite verticale, quelle que soit sa taille. Seule l'abscisse compte : celle de $M$ est $5$, qui correspond à $k=5$.

$M$ appartient bien à la droite $x=5$

d) $C(2\,;-3)$ et $D(2\,;5)$

Conclusion incorrecte. La division par $0$ signale simplement que $C$ et $D$ ont la même abscisse : ils sont bien reliés par une droite, mais une droite verticale, qui ne s'écrit pas sous la forme $y=mx+p$.

Équation correcte : $x = 2$

Le graphique correct

Repère gradué de $-5$ à $6$ en abscisses (1 carreau = 1 unité) et de $-10$ à $6$ en ordonnées (1 carreau = 2 unités).

x=2 (A, C, D) x=-4 (B) x=5 (M)