Droites parallèles — 2nde

Exercice 1 / 6

Cas simples

✓ Vu

1) Pour chaque paire de droites, compare leurs pentes et dis si elles sont parallèles.

a)

$d_1: y=2x+1$ et $d_2: y=2x-3$

b)

$d_1: y=3x+1$ et $d_2: y=-3x+1$

c)

$d_1: y=-x+4$ et $d_2: y=-x+4$

d)

$d_1: y=0{,}5x-2$ et $d_2: y=0{,}5x+3$

2) Construis un repère : gradue l'axe des abscisses de $-4$ à $4$ (1 carreau = 1 unité) et l'axe des ordonnées de $-10$ à $11$ (1 carreau = 2 unités). Trace les 8 droites (chaque paire dans une couleur différente) pour vérifier tes réponses.

💡 Indices

Compare uniquement les $m$ des deux droites. Les $p$ ne comptent pas pour savoir si elles sont parallèles.

Dans c), $m$ ET $p$ sont identiques : ce n'est pas juste « parallèle », c'est un cas particulier !

Méthode : je compare les pentes $m_1$ et $m_2$. Si $m_1=m_2$, les droites sont parallèles.

a) $d_1: y=2x+1$ et $d_2: y=2x-3$

$m_1=2$ et $m_2=2$. $m_1=m_2$, et $p_1\neq p_2$ ($1\neq-3$).

$d_1$ et $d_2$ sont parallèles (et distinctes)

b) $d_1: y=3x+1$ et $d_2: y=-3x+1$

$m_1=3$ et $m_2=-3$. $m_1\neq m_2$.

$d_1$ et $d_2$ ne sont pas parallèles (elles sont sécantes)

c) $d_1: y=-x+4$ et $d_2: y=-x+4$

$m_1=-1$ et $m_2=-1$ : même pente. Mais en plus, $p_1=p_2=4$ !

$d_1$ et $d_2$ sont confondues (ce sont les mêmes droites)

d) $d_1: y=0{,}5x-2$ et $d_2: y=0{,}5x+3$

$m_1=0{,}5$ et $m_2=0{,}5$. $m_1=m_2$, et $p_1\neq p_2$ ($-2\neq 3$).

$d_1$ et $d_2$ sont parallèles (et distinctes)

2) Le graphique

Repère gradué de $-4$ à $4$ en abscisses (1 carreau = 1 unité) et de $-10$ à $11$ en ordonnées (1 carreau = 2 unités). Remarque : dans c), les deux droites se superposent en une seule !

(a) parallèles (b) sécantes (c) confondues (d) parallèles

Exercice 2 / 6

Trouver l'équation Point donné

✓ Vu

1) Détermine l'équation de la droite parallèle à la droite donnée et passant par le point donné.

a)

Parallèle à $y=2x+1$, passant par $(3\,;4)$

b)

Parallèle à $y=-3x+5$, passant par $(1\,;-1)$

c)

Parallèle à $y=x-4$, passant par $(2\,;6)$

d)

Parallèle à $y=-x+2$, passant par $(-1\,;5)$

2) Construis un repère : gradue l'axe des abscisses de $-4$ à $5$ (1 carreau = 1 unité) et l'axe des ordonnées de $-9$ à $12$ (1 carreau = 2 unités). Trace, pour chaque item, la droite de départ et la droite trouvée (même couleur pour chaque paire), et vérifie que la nouvelle droite passe bien par le point donné.

💡 Indices

La parallèle garde exactement le même $m$ que la droite de départ. Seul $p$ change.

Une fois $m$ fixé, remplace $x$ et $y$ par les coordonnées du point donné dans $y=mx+p$, pour trouver $p$.

Méthode en 3 étapes : 1) je garde le même $m$ que la droite de départ · 2) je remplace avec le point donné pour trouver $p$ · 3) je conclus.

a) Parallèle à $y=2x+1$, passant par $(3\,;4)$

Étape 1 — même m$m=2$, donc $y=2x+p$

Étape 2 — remplacerAvec $(3\,;4)$ : $4=2\times 3+p=6+p$

Étape 3 — isoler p$p=-2$

Équation : $y = 2x - 2$

b) Parallèle à $y=-3x+5$, passant par $(1\,;-1)$

Étape 1 — même m$m=-3$, donc $y=-3x+p$

Étape 2 — remplacerAvec $(1\,;-1)$ : $-1=-3\times 1+p=-3+p$

Étape 3 — isoler p$p=2$

Équation : $y = -3x + 2$

c) Parallèle à $y=x-4$, passant par $(2\,;6)$

Étape 1 — même m$m=1$ (invisible), donc $y=x+p$

Étape 2 — remplacerAvec $(2\,;6)$ : $6=1\times 2+p=2+p$

Étape 3 — isoler p$p=4$

Équation : $y = x + 4$

d) Parallèle à $y=-x+2$, passant par $(-1\,;5)$

Étape 1 — même m$m=-1$, donc $y=-x+p$

Étape 2 — remplacerAvec $(-1\,;5)$ : $5=-1\times(-1)+p=1+p$

Étape 3 — isoler p$p=4$

Équation : $y = -x + 4$

2) Le graphique

Repère gradué de $-4$ à $5$ en abscisses (1 carreau = 1 unité) et de $-9$ à $12$ en ordonnées (1 carreau = 2 unités).

(a) y=2x+1 → y=2x-2 (b) y=-3x+5 → y=-3x+2 (c) y=x-4 → y=x+4 (d) y=-x+2 → y=-x+4

Exercice 3 / 6

Classification Parallèles / confondues / sécantes

✓ Vu

1) Pour chaque paire de droites, dis si elles sont parallèles distinctes, confondues, ou sécantes (elles se croisent).

a)

$y=2x-1$ et $y=2x+5$

b)

$y=-x+3$ et $y=-x+3$

c)

$y=4x+2$ et $y=-4x+2$

d)

$y=-2x+5$ et $y=-2x-1$

2) Construis un repère : gradue l'axe des abscisses de $-4$ à $4$ (1 carreau = 1 unité) et l'axe des ordonnées de $-11$ à $15$ (1 carreau = 2 unités). Trace les 4 paires de droites pour visualiser les 3 situations.

💡 Indices

D'abord je compare les $m$. S'ils sont différents : sécantes. S'ils sont identiques : je compare ensuite les $p$ — différents = parallèles distinctes, identiques = confondues.

Dans c), les deux droites ont le même $p=2$ mais des $m$ différents : elles se croisent exactement sur l'axe des ordonnées, au point $(0\,;2)$.

Méthode : je compare d'abord $m$, puis $p$ si besoin. $m$ différents → sécantes · $m$ identiques et $p$ différents → parallèles · $m$ et $p$ identiques → confondues.

a) $y=2x-1$ et $y=2x+5$

Même $m=2$, $p$ différents ($-1\neq5$).

Parallèles distinctes

b) $y=-x+3$ et $y=-x+3$

Même $m=-1$ ET même $p=3$.

Confondues (ce sont les mêmes droites)

c) $y=4x+2$ et $y=-4x+2$

$m$ différents ($4\neq-4$).

Sécantes — elles se croisent en $(0\,;2)$

d) $y=-2x+5$ et $y=-2x-1$

Même $m=-2$, $p$ différents ($5\neq-1$).

Parallèles distinctes

2) Le graphique

Repère gradué de $-4$ à $4$ en abscisses (1 carreau = 1 unité) et de $-11$ à $15$ en ordonnées (1 carreau = 2 unités).

(a) parallèles (b) confondues (c) sécantes (d) parallèles

Exercice 4 / 6

Cas particuliers Verticales & fractions

✓ Vu

1) Réponds aux questions suivantes.

a)

Les droites $x=3$ et $x=-2$ sont-elles parallèles ?

b)

Trouve la parallèle à $x=5$ passant par le point $(2\,;-7)$.

c)

Trouve la parallèle à $y=\dfrac{2}{3}x-1$ passant par $(3\,;4)$.

d)

Trouve la parallèle à $y=-\dfrac{3}{4}x+1$ passant par $(4\,;-5)$.

2) Construis un repère : gradue l'axe des abscisses de $-3$ à $6$ et l'axe des ordonnées de $-8$ à $8$, en prenant 1 carreau = 1 unité en abscisses et 1 carreau = 2 unités en ordonnées. Trace les droites obtenues.

💡 Indices

Deux droites verticales sont toujours parallèles, quels que soient leurs $k$. Et la parallèle à une verticale est forcément verticale elle aussi !

La méthode ne change pas avec des fractions : même $m$, puis je remplace avec le point pour trouver $p$.

a) $x=3$ et $x=-2$

Ce sont deux droites verticales.

Oui, toujours parallèles (même sans pente à comparer)

b) Parallèle à $x=5$, passant par $(2\,;-7)$

La parallèle à une droite verticale est forcément verticale : seule l'abscisse du point compte, l'ordonnée $-7$ ne sert à rien.

Équation : $x = 2$

c) Parallèle à $y=\dfrac{2}{3}x-1$, passant par $(3\,;4)$

Étape 1 — même m$m=\dfrac{2}{3}$, donc $y=\dfrac{2}{3}x+p$

Étape 2 — remplacerAvec $(3\,;4)$ : $4=\dfrac{2}{3}\times 3+p=2+p$

Étape 3 — isoler p$p=2$

Équation : $y = \dfrac{2}{3}x + 2$

d) Parallèle à $y=-\dfrac{3}{4}x+1$, passant par $(4\,;-5)$

Étape 1 — même m$m=-\dfrac{3}{4}$, donc $y=-\dfrac{3}{4}x+p$

Étape 2 — remplacerAvec $(4\,;-5)$ : $-5=-\dfrac{3}{4}\times 4+p=-3+p$

Étape 3 — isoler p$p=-2$

Équation : $y = -\dfrac{3}{4}x - 2$

2) Le graphique

Repère gradué de $-3$ à $6$ en abscisses (1 carreau = 1 unité) et de $-8$ à $8$ en ordonnées (1 carreau = 2 unités).

(a) x=3 (a) x=-2 (b) x=5 et x=2 (c) 2/3 x-1 → 2/3 x+2 (d) -3/4 x+1 → -3/4 x-2

Exercice 5 / 6

Un peu plus corsé

✓ Vu

1) Réponds aux questions suivantes.

a)

Détermine $a$ pour que $y=ax-3$ et $y=5x+2$ soient parallèles.

b)

Détermine $a$ pour que $y=(a-1)x+4$ et $y=3x-6$ soient parallèles.

c)

Trouve la parallèle à $y=-\dfrac{5}{2}x+3$ passant par $(2\,;-4)$.

d)

Trouve la parallèle à $y=\dfrac{4}{3}x-2$ passant par $(-3\,;7)$.

2) Construis un repère : gradue l'axe des abscisses de $-3$ à $3$ (1 carreau = 1 unité) et l'axe des ordonnées de $-14$ à $15$ (1 carreau = 3 unités). Trace, pour chaque item, les deux droites obtenues.

💡 Indices

Pour que deux droites soient parallèles, leurs coefficients de $x$ doivent être égaux. Pose l'égalité et résous.

Même méthode en 3 étapes que d'habitude : garde le $m$, remplace avec le point, isole $p$.

a) $y=ax-3$ et $y=5x+2$ parallèles

Il faut que les pentes soient égales : $a=5$.

$a = 5$ (la droite devient $y=5x-3$)

b) $y=(a-1)x+4$ et $y=3x-6$ parallèles

Égalité des pentes$a-1=3$

Résolution$a=4$

$a = 4$ (la droite devient $y=3x+4$)

c) Parallèle à $y=-\dfrac{5}{2}x+3$, passant par $(2\,;-4)$

Étape 1 — même m$m=-\dfrac{5}{2}$, donc $y=-\dfrac{5}{2}x+p$

Étape 2 — remplacerAvec $(2\,;-4)$ : $-4=-\dfrac{5}{2}\times 2+p=-5+p$

Étape 3 — isoler p$p=1$

Équation : $y = -\dfrac{5}{2}x + 1$

d) Parallèle à $y=\dfrac{4}{3}x-2$, passant par $(-3\,;7)$

Étape 1 — même m$m=\dfrac{4}{3}$, donc $y=\dfrac{4}{3}x+p$

Étape 2 — remplacerAvec $(-3\,;7)$ : $7=\dfrac{4}{3}\times(-3)+p=-4+p$

Étape 3 — isoler p$p=11$

Équation : $y = \dfrac{4}{3}x + 11$

2) Le graphique

Repère gradué de $-3$ à $3$ en abscisses (1 carreau = 1 unité) et de $-14$ à $15$ en ordonnées (1 carreau = 3 unités).

(a) 5x-3 et 5x+2 (b) 3x+4 et 3x-6 (c) -5/2 x+3 et -5/2 x+1 (d) 4/3 x-2 et 4/3 x+11

Exercice 6 / 6

Un peu plus corsé Synthèse

✓ Vu

Un élève a répondu aux questions suivantes. Pour chaque cas, dis si son travail est correct ; si non, corrige-le.

a)

Pour $d_1: y=3x+2$ et $d_2: y=3x+2$, l'élève dit qu'elles sont « parallèles ».

b)

Pour $d_1: y=2x-1$ et $d_2: y=-2x-1$, l'élève dit qu'elles sont parallèles « car elles ont le même $p$ ».

c)

L'élève affirme que les droites $x=4$ et $y=4$ sont parallèles.

d)

Pour trouver la parallèle à $y=-x+5$ passant par $(2\,;3)$, l'élève répond directement « $y=-x+5$ ».

Pour finir : construis un repère (gradue l'axe des abscisses de $-3$ à $7$ et l'axe des ordonnées de $-8$ à $9$, avec 1 carreau = 1 unité sur les deux axes) et trace correctement les droites concernées.

💡 Indices

Même $m$ ET même $p$, ce n'est pas juste « parallèle ». Et c'est $m$ qui détermine le parallélisme, jamais $p$.

Une droite verticale et une droite horizontale ne sont jamais parallèles. Et avant de répondre trop vite, vérifie si le point donné n'appartient pas déjà à la droite de départ !

Rappel : parallèles ⟺ même $m$ (et $p$ différents). Même $m$ et même $p$ ⟹ confondues, pas juste parallèles.

a) $d_1: y=3x+2$ et $d_2: y=3x+2$

Incorrect (nuance). $m$ ET $p$ sont identiques : ce ne sont pas deux droites parallèles distinctes, ce sont les mêmes droites (confondues).

b) $d_1: y=2x-1$ et $d_2: y=-2x-1$

Incorrect. C'est $m$ qui détermine le parallélisme, pas $p$. Ici $m_1=2\neq m_2=-2$ : les droites sont sécantes, elles se croisent au point $(0\,;-1)$.

c) $x=4$ et $y=4$

Incorrect. $x=4$ est verticale, $y=4$ est horizontale : ce sont deux directions perpendiculaires, elles sont sécantes (elles se croisent au point $(4\,;4)$), jamais parallèles.

d) Parallèle à $y=-x+5$, passant par $(2\,;3)$

Correct ! Vérifions : $-2+5=3$, donc le point $(2\,;3)$ appartient déjà à la droite de départ. La parallèle cherchée est donc confondue avec la droite initiale : $y=-x+5$ est bien la bonne réponse.

Le graphique correct

Repère gradué de $-3$ à $7$ en abscisses et de $-8$ à $9$ en ordonnées (1 carreau = 1 unité).

(a) y=3x+2 (confondues) (b) y=2x-1 (b) y=-2x-1 (c) x=4 (c) y=4 (d) y=-x+5