Synthèse du chapitre
Équations de droites

Feuille de synthèse — Chapitre 10 — 2^nde

m et p Tracer · 2 points Verticales · Parallèles

📌 Tout le chapitre en un coup d'œil

1m et p — dans $y=mx+p$, $m$ est collé au $x$ (la pente), $p$ est seul (le point de départ).

2Tracer — je pars de $(0\,;p)$, puis j'avance de $1$ (ou du dénominateur de $m$) et je monte/descends de $m$.

32 points — $m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$, puis je remplace avec un point pour trouver $p$.

4Verticales — $x=k$ est le seul cas hors de $y=mx+p$ ; seule l'abscisse compte.

5Parallèles — même $m$. Si en plus même $p$ : confondues, pas juste parallèles.

Corrections vues :

0 / 6

Exercice 1 / 6

Vrai / Faux express Tout le chapitre

✓ Vu

1) Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse.

Dans $y=3x-5$, on a $m=-5$ et $p=3$.

Pour tracer $y=2x+1$, je pars de $(0\,;1)$ puis j'avance de $1$ et je monte de $2$.

La droite passant par $A(2\,;3)$ et $B(2\,;7)$ a pour équation $x=2$.

Deux droites qui ont le même $p$ sont parallèles.

$x=0$ est l'équation de l'axe des abscisses.

Pour trouver l'équation d'une droite à partir de deux points, on calcule d'abord $p$, puis $m$.

Une droite horizontale a une pente nulle.

Deux droites parallèles ont forcément la même équation.

2) Vérifie tes réponses b) et c) en construisant un repère (gradue l'axe des abscisses de $-2$ à $4$ et l'axe des ordonnées de $-4$ à $9$, avec 1 carreau = 1 unité en abscisses et 1 carreau = 2 unités en ordonnées) et en traçant les deux droites concernées.

💡 Indices

$m$ est toujours collé au $x$. Pour trouver l'équation avec deux points, on calcule toujours $m$ en premier.

C'est $m$, pas $p$, qui détermine le parallélisme. Et même $m$ et même $p$, c'est un cas particulier (confondues), pas juste parallèles.

a) Dans $y=3x-5$, $m=-5$ et $p=3$.

Faux. $m$ est collé au $x$ : $m=3$ et $p=-5$ (c'est l'inverse).

b) Tracer $y=2x+1$ : partir de $(0\,;1)$, avancer de $1$, monter de $2$.

Vrai. $p=1$ donne le point de départ, $m=2$ donne le déplacement.

c) $A(2\,;3)$ et $B(2\,;7)$ : la droite est $x=2$.

Vrai. $A$ et $B$ ont la même abscisse : c'est une droite verticale.

d) Même $p$ ⟹ parallèles.

Faux. C'est le même $m$ qui rend deux droites parallèles, pas le même $p$.

e) $x=0$ est l'axe des abscisses.

Faux. $x=0$ est l'axe des ordonnées (droite verticale). L'axe des abscisses est $y=0$.

f) Avec deux points, on calcule d'abord $p$ puis $m$.

Faux. C'est l'inverse : on calcule toujours $m$ en premier (étape 1), puis $p$ (étape 2).

g) Une droite horizontale a une pente nulle.

Vrai. $y=k$ se réécrit $y=0\times x+k$ : $m=0$.

h) Parallèles ⟹ même équation.

Faux. Deux droites parallèles distinctes ont le même $m$ mais des $p$ différents, donc des équations différentes. Ce n'est que dans le cas particulier des droites confondues que l'équation est identique.

2) Le graphique

Repère gradué de $-2$ à $4$ en abscisses (1 carreau = 1 unité) et de $-4$ à $9$ en ordonnées (1 carreau = 2 unités).

b) y=2x+1 c) x=2

Exercice 2 / 6

Problème guidé m, p · vérification · tracé · parallèle

✓ Vu

On considère la droite $d : y = -2x + 3$.

a) Donne $m$ et $p$, et explique ce qu'ils représentent pour cette droite.

b) Le point $A(4\,;-5)$ appartient-il à $d$ ?

c) Construis un repère (gradue l'axe des abscisses de $-4$ à $6$ et l'axe des ordonnées de $-12$ à $10$, en prenant 1 carreau = 1 unité en abscisses et 1 carreau = 2 unités en ordonnées) et trace $d$.

d) La droite $d' : y = -2x - 1$ est-elle parallèle à $d$ ? Trace-la également dans le même repère.

💡 Indices

Remplace $x$ par $4$ dans l'équation de $d$, calcule $y$, et compare avec l'ordonnée de $A$.

Compare les pentes de $d$ et $d'$.

a) $m$ et $p$ de $d : y=-2x+3$

$m=-2$ : la droite descend de $2$ à chaque pas vers la droite. $p=3$ : la droite coupe l'axe des ordonnées au point $(0\,;3)$, c'est le point de départ du tracé.

b) Le point $A(4\,;-5)$

Calcul$y=-2\times 4+3=-8+3=-5$

On trouve $y=-5$, ce qui correspond à l'ordonnée de $A$. Oui, $A$ appartient à $d$.

c) Tracer $d$

Étape 1$p=3$ → point $(0\,;3)$

Étape 2$m=-2$ → $+1$ en $x$, on descend de $2$ → point $(1\,;1)$

d) $d'$ est-elle parallèle à $d$ ?

$m_d=-2$ et $m_{d'}=-2$ : même pente. Oui, $d$ et $d'$ sont parallèles (et distinctes, car $3\neq -1$).

Le graphique

Repère gradué de $-4$ à $6$ en abscisses (1 carreau = 1 unité) et de $-12$ à $10$ en ordonnées (1 carreau = 2 unités).

d : y=-2x+3 d' : y=-2x-1 point A

Exercice 3 / 6

Problème guidé 2 points · parallèle

✓ Vu

On considère les points $A(1\,;-2)$ et $B(4\,;7)$.

a) Détermine l'équation de la droite $(AB)$.

b) La droite $(AB)$ est-elle parallèle à la droite $y=3x+5$ ? Justifie.

c) Détermine l'équation de la droite parallèle à $(AB)$ passant par le point $C(-2\,;3)$.

d) Construis un repère (gradue l'axe des abscisses de $-3$ à $5$ et l'axe des ordonnées de $-12$ à $22$, en prenant 1 carreau = 1 unité en abscisses et 1 carreau = 4 unités en ordonnées) et trace $(AB)$ ainsi que la droite trouvée en c).

💡 Indices

$m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$, puis remplace avec un des deux points pour trouver $p$.

La parallèle à $(AB)$ garde le même $m$ que $(AB)$, calculé en a).

a) Équation de $(AB)$

Étape 1 — m$m=\dfrac{7-(-2)}{4-1}=\dfrac{9}{3}=3$

Étape 2 — p$y=3x+p$, avec $A$ : $-2=3\times 1+p \iff p=-5$

Équation : $y = 3x - 5$

b) $(AB)$ parallèle à $y=3x+5$ ?

$m_{(AB)}=3$ et $m=3$ pour l'autre droite : même pente.

Oui, $(AB)$ et $y=3x+5$ sont parallèles (et distinctes, car $-5\neq5$)

c) Parallèle à $(AB)$ passant par $C(-2\,;3)$

Étape 1 — même m$m=3$, donc $y=3x+p$

Étape 2 — remplacerAvec $C(-2\,;3)$ : $3=3\times(-2)+p=-6+p$

Étape 3 — isoler p$p=9$

Équation : $y = 3x + 9$

d) Le graphique

Repère gradué de $-3$ à $5$ en abscisses (1 carreau = 1 unité) et de $-12$ à $22$ en ordonnées (1 carreau = 4 unités).

(AB) : y=3x-5 y=3x+5 (comparaison) parallèle par C : y=3x+9

Exercice 4 / 6

Problème guidé Verticale · horizontale · parallèles

✓ Vu

On considère les points $E(3\,;-1)$, $F(3\,;5)$, $G(-2\,;4)$ et $H(6\,;4)$.

a) Quelle est l'équation de la droite $(EF)$ ?

b) Quelle est l'équation de la droite $(GH)$ ?

c) Les droites $(EF)$ et $(GH)$ sont-elles parallèles ? Justifie sans calcul, juste en observant le type de chaque droite.

d) Construis un repère (gradue l'axe des abscisses de $-3$ à $7$ et l'axe des ordonnées de $-3$ à $6$, en prenant 1 carreau = 1 unité) et trace $(EF)$ et $(GH)$.

💡 Indices

Regarde bien si les deux points d'une même droite ont la même abscisse, ou la même ordonnée.

Une droite verticale et une droite horizontale ne sont jamais parallèles : elles sont toujours sécantes.

a) Équation de $(EF)$

$E(3\,;-1)$ et $F(3\,;5)$ ont la même abscisse ($x=3$) : c'est une droite verticale.

Équation : $x = 3$

b) Équation de $(GH)$

$G(-2\,;4)$ et $H(6\,;4)$ ont la même ordonnée ($y=4$) : c'est une droite horizontale.

Équation : $y = 4$

c) $(EF)$ et $(GH)$ parallèles ?

$(EF)$ est verticale, $(GH)$ est horizontale : ce sont deux directions perpendiculaires.

Non, elles ne sont jamais parallèles — elles sont sécantes, et se croisent en $(3\,;4)$

d) Le graphique

Repère gradué de $-3$ à $7$ en abscisses et de $-3$ à $6$ en ordonnées (1 carreau = 1 unité).

(EF) : x=3 (GH) : y=4

Exercice 5 / 6

QCM récapitulatif

✓ Vu

Pour chaque question, choisis la bonne réponse parmi les trois proposées.

Dans $y=-4x+7$, la pente est :
A) $-4$ B) $7$ C) $4$

Pour tracer $y=\dfrac{3}{5}x-2$, on :
A) avance de $5$, monte de $3$ B) avance de $3$, monte de $5$ C) avance de $2$, monte de $3$

La droite par $A(2\,;-1)$ et $B(2\,;6)$ a pour équation :
A) $y=6$ B) $x=2$ C) $y=2x-1$

Deux droites sont parallèles quand :
A) même $p$ B) même $m$ C) elles se croisent

La droite $y=5$ est :
A) verticale B) horizontale C) oblique

Avec $A(0\,;3)$ et $B(2\,;9)$, l'équation de $(AB)$ est :
A) $y=3x+3$ B) $y=6x+3$ C) $y=3x$

💡 Indices

Pour une pente $\dfrac{a}{b}$, le pas horizontal est toujours le dénominateur.

$A$ a une abscisse nulle : son ordonnée donne directement $p$.

1) Pente de $y=-4x+7$

Réponse A. $m$ est le nombre collé au $x$ : $m=-4$.

2) Tracer $y=\dfrac{3}{5}x-2$

Réponse A. On avance du dénominateur ($5$) et on monte du numérateur ($3$).

3) Droite par $A(2\,;-1)$ et $B(2\,;6)$

Réponse B. Même abscisse pour $A$ et $B$ : droite verticale $x=2$.

4) Parallèles quand...

Réponse B. C'est le même $m$ qui compte, jamais $p$.

5) La droite $y=5$

Réponse B. Elle ne contient pas de $x$ : c'est une droite horizontale ($m=0$).

6) Équation de $(AB)$ avec $A(0\,;3)$, $B(2\,;9)$

Réponse A. $m=\dfrac{9-3}{2-0}=3$, et $A$ a une abscisse nulle donc $p=3$ directement : $y=3x+3$.

Exercice 6 / 6

Grand problème Situation concrète

✓ Vu

Une compagnie de taxi (compagnie A) facture ses courses selon un prix $y$ (en €) qui dépend de la distance $x$ parcourue (en km) : le prix suit une évolution linéaire. Pour une course de $2$ km, le prix est de $7$€. Pour une course de $6$ km, le prix est de $15$€.

a) Détermine l'équation du prix $y$ en fonction de la distance $x$.

b) Explique ce que représentent concrètement $m$ et $p$ dans cette situation.

c) Un client a parcouru $5$ km. Combien va-t-il payer ?

d) Une compagnie concurrente (compagnie B) facture selon $y=2x+5$. Son offre est-elle parallèle à celle de la compagnie A ? Qu'est-ce que cela signifie concrètement pour les deux compagnies ?

e) Construis un repère (gradue l'axe des abscisses de $0$ à $10$ et l'axe des ordonnées de $0$ à $26$, en prenant 1 carreau = 2 unités sur chaque axe) et trace les deux offres pour des distances de $0$ à $10$ km.

💡 Indices

Les deux données du problème sont deux points de la droite : $(2\,;7)$ et $(6\,;15)$. Utilise la méthode habituelle avec deux points.

$p$ correspond à ce que l'on paie pour $x=0$ km (un prix « de base »). $m$ correspond à ce que chaque km supplémentaire ajoute au prix.

a) Équation du prix

Étape 1 — m$m=\dfrac{15-7}{6-2}=\dfrac{8}{4}=2$

Étape 2 — p$y=2x+p$, avec $(2\,;7)$ : $7=2\times 2+p=4+p \iff p=3$

Équation : $y = 2x + 3$

b) Signification de $m$ et $p$

$p=3$ représente le forfait de départ (le prix pour $0$ km, une sorte de prise en charge). $m=2$ représente le prix ajouté par kilomètre parcouru (2€/km).

c) Prix pour $5$ km

Calcul$y=2\times 5+3=10+3=13$

Le client va payer 13€

d) Comparaison avec la compagnie B

Compagnie A : $m=2$. Compagnie B : $m=2$ également. Même pente.

Oui, les deux offres sont parallèles — même prix par km (2€), mais la compagnie B a un forfait de départ plus élevé (5€ contre 3€) : elle sera toujours 2€ plus chère, quelle que soit la distance

e) Le graphique

Repère gradué de $0$ à $10$ en abscisses et de $0$ à $26$ en ordonnées (1 carreau = 2 unités sur chaque axe).

Compagnie A : y=2x+3 Compagnie B : y=2x+5