Équations cartésiennes —
et vecteurs directeurs

Équations de droites — Feuille d'exercices — 2nde

\(\vec{u}(1\,;\,m)\) \(ax+by+c=0\) Parallélisme

📌 Vecteur directeur et équation cartésienne — l'essentiel

① Trouver un vecteur directeur
Depuis \(y = mx+p\) : \(\vec{u}(1\,;\,m)\).
Depuis \(ax+by+c=0\) : \(\vec{u}(-b\,;\,a)\).
Depuis deux points \(A\) et \(B\) de la droite : \(\overrightarrow{AB}\).
\(\vec{u}(1\,;\,m)\)  |  \(\vec{u}(-b\,;\,a)\)
② Équation cartésienne et parallélisme
Toute droite admet une équation \(ax+by+c=0\) avec \((a,b)\neq(0,0)\) — y compris les droites verticales (\(b=0\)), impossibles à écrire en \(y=mx+p\).
Parallélisme : \(\vec{u}_1(x_1\,;\,y_1)\) et \(\vec{u}_2(x_2\,;\,y_2)\) colinéaires \(\Leftrightarrow x_1y_2 - x_2y_1 = 0\).
Corrections vues :
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Exercice 1 / 6

Vecteur directeur Depuis \(y=mx+p\)
✓ Vu

Pour chaque droite donnée sous forme réduite, donner un vecteur directeur en utilisant la formule \(\vec{u}(1\,;\,m)\).

a)
\(y = 5x + 1\)
b)
\(y = -x + 3\)
c)
\(y = \dfrac{3}{4}x\)
d)
\(y = -4\)

💡 Indices

Le vecteur directeur est \(\vec{u}(1\,;\,m)\) : on avance de 1 en \(x\), on monte (ou descend) de \(m\) en \(y\), c'est exactement la pente.
\(y = -4\) est une droite horizontale : sa pente vaut \(m = 0\). Que devient alors \(\vec{u}(1\,;\,m)\) ?
Méthode : pour \(y=mx+p\), un vecteur directeur est \(\vec{u}(1\,;\,m)\) — on identifie simplement \(m\).
a) \(y = 5x + 1\)

\(m = 5\) → \(\vec{u}(1\,;\,5)\)

b) \(y = -x + 3\)

\(m = -1\) → \(\vec{u}(1\,;\,-1)\)

c) \(y = \dfrac{3}{4}x\)

\(m = \dfrac{3}{4}\) → \(\vec{u}\left(1\,;\,\dfrac{3}{4}\right)\). On peut aussi prendre \(\vec{u}(4\,;\,3)\) pour éviter la fraction (c'est un multiple, donc aussi un vecteur directeur).

d) \(y = -4\)

Droite horizontale, \(m = 0\) → \(\vec{u}(1\,;\,0)\) : on avance en \(x\) sans jamais monter.

Exercice 2 / 6

Vecteur directeur Depuis deux points
✓ Vu

Pour chaque droite passant par les points \(A\) et \(B\), donner le vecteur directeur \(\overrightarrow{AB}\).

a)
\(A(1\,;\,-2)\) et \(B(4\,;\,7)\)
b)
\(A(0\,;\,3)\) et \(B(5\,;\,3)\)
c)
\(A(-2\,;\,4)\) et \(B(-2\,;\,-1)\)
d)
\(A(3\,;\,-5)\) et \(B(-1\,;\,1)\)

💡 Indices

\(\overrightarrow{AB}(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A)\). On soustrait toujours les coordonnées de \(A\) à celles de \(B\), jamais l'inverse.
En b), les ordonnées de \(A\) et \(B\) sont égales : le vecteur n'a pas de composante en \(y\), la droite est horizontale. En c), c'est l'inverse : les abscisses sont égales, la droite est verticale.
Méthode : \(\overrightarrow{AB}(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A)\) est un vecteur directeur de la droite \((AB)\).
a) \(A(1\,;\,-2)\) et \(B(4\,;\,7)\)
Composantes\(\overrightarrow{AB}(4-1\,;\,7-(-2)) = \overrightarrow{AB}(3\,;\,9)\)
\(\overrightarrow{AB}(3\,;\,9)\), ou plus simplement \(\vec{u}(1\,;\,3)\) après simplification (\(m=3\)).
b) \(A(0\,;\,3)\) et \(B(5\,;\,3)\)
Composantes\(\overrightarrow{AB}(5-0\,;\,3-3) = \overrightarrow{AB}(5\,;\,0)\)
\(\overrightarrow{AB}(5\,;\,0)\) — droite horizontale, cohérent avec un vecteur sans composante en \(y\).
c) \(A(-2\,;\,4)\) et \(B(-2\,;\,-1)\)
Composantes\(\overrightarrow{AB}(-2-(-2)\,;\,-1-4) = \overrightarrow{AB}(0\,;\,-5)\)
\(\overrightarrow{AB}(0\,;\,-5)\) — droite verticale, aucune progression en \(x\).
d) \(A(3\,;\,-5)\) et \(B(-1\,;\,1)\)
Composantes\(\overrightarrow{AB}(-1-3\,;\,1-(-5)) = \overrightarrow{AB}(-4\,;\,6)\)
\(\overrightarrow{AB}(-4\,;\,6)\), ou après simplification par 2 : \(\vec{u}(-2\,;\,3)\).

Exercice 3 / 6

Équation cartésienne Identifier a, b, c
✓ Vu

Pour chaque équation cartésienne, identifier \(a\), \(b\), \(c\), puis donner un vecteur directeur \(\vec{u}(-b\,;\,a)\).

a)
\(3x - 2y + 5 = 0\)
b)
\(x - 4 = 0\)
c)
\(-y + 7 = 0\)
d)
\(5x + 2y - 3 = 0\)

💡 Indices

Compare toujours à la forme générale \(ax+by+c=0\) : \(a\) est le coefficient de \(x\), \(b\) celui de \(y\), \(c\) le terme constant. Si un terme est absent, son coefficient vaut 0.
Dans b), il n'y a pas de terme en \(y\) : \(b=0\). Dans c), il n'y a pas de terme en \(x\) : \(a=0\). Le vecteur directeur \(\vec{u}(-b\,;\,a)\) s'obtient quand même normalement.
Méthode : pour \(ax+by+c=0\), un vecteur directeur est \(\vec{u}(-b\,;\,a)\).
a) \(3x - 2y + 5 = 0\)
Identification\(a=3\), \(b=-2\), \(c=5\)
Vecteur directeur\(\vec{u}(-b\,;\,a) = \vec{u}(2\,;\,3)\)
b) \(x - 4 = 0\)
Identification\(a=1\), \(b=0\), \(c=-4\)
Vecteur directeur\(\vec{u}(-b\,;\,a) = \vec{u}(0\,;\,1)\)

💡 Droite verticale \(x=4\) : vecteur directeur vertical, cohérent.

c) \(-y + 7 = 0\)
Identification\(a=0\), \(b=-1\), \(c=7\)
Vecteur directeur\(\vec{u}(-b\,;\,a) = \vec{u}(1\,;\,0)\)

💡 Droite horizontale \(y=7\) : vecteur directeur horizontal, cohérent.

d) \(5x + 2y - 3 = 0\)
Identification\(a=5\), \(b=2\), \(c=-3\)
Vecteur directeur\(\vec{u}(-b\,;\,a) = \vec{u}(-2\,;\,5)\)

Exercice 4 / 6

Vrai / Faux Pièges classiques
✓ Vu

Chaque affirmation est-elle vraie ou fausse ? Justifier la réponse.

a) Une droite possède un unique vecteur directeur.
b) La forme \(y=mx+p\) permet de décrire n'importe quelle droite, y compris les droites verticales.
c) Si une droite a pour équation cartésienne \(ax+by+c=0\), alors \(\vec{u}(-b\,;\,a)\) est un vecteur directeur.
d) Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

💡 Indices

Tout multiple non nul d'un vecteur directeur reste un vecteur directeur de la même droite. Combien de multiples non nuls existe-t-il ?
Une droite verticale s'écrit \(x=k\) : peut-on l'exprimer sous la forme \(y=mx+p\), qui donne toujours une seule valeur de \(y\) pour chaque \(x\) ?
a) Une droite possède un unique vecteur directeur.

❌ FAUX — tout multiple non nul d'un vecteur directeur est aussi un vecteur directeur de la même droite. Il en existe donc une infinité.

b) La forme \(y=mx+p\) permet de décrire n'importe quelle droite, y compris les droites verticales.

❌ FAUX — les droites verticales (\(x=k\)) ne peuvent pas s'écrire sous la forme \(y=mx+p\). C'est justement pour cela que l'équation cartésienne \(ax+by+c=0\) est plus générale.

c) Si une droite a pour équation cartésienne \(ax+by+c=0\), alors \(\vec{u}(-b\,;\,a)\) est un vecteur directeur.

✓ VRAI — c'est exactement la propriété du cours.

d) Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

✓ VRAI — c'est la condition de parallélisme, qui se vérifie en calculant le déterminant \(x_1y_2 - x_2y_1\) : il est nul si et seulement si les vecteurs sont colinéaires.

⚠ Piège : ne confonds pas « un » vecteur directeur (il y en a une infinité, tous colinéaires entre eux) et « le » vecteur directeur — cette dernière formulation n'a pas de sens.

Exercice 5 / 6

Réflexion Changer de forme / Parallélisme
✓ Vu

Pour chaque question, choisir la méthode la plus efficace.

a) Écrire \(y = -\dfrac{3}{2}x + 5\) sous forme cartésienne \(ax+by+c=0\).
b) Écrire \(4x + 3y - 12 = 0\) sous forme réduite \(y=mx+p\).
c) Les droites \(\mathcal{D}_1 : 3x-6y+1=0\) et \(\mathcal{D}_2 : -x+2y-5=0\) sont-elles parallèles ?
d) Les droites \(\mathcal{D}_3 : y=2x-1\) et \(\mathcal{D}_4 : 4x-2y+3=0\) sont-elles parallèles ?

💡 Indices

Passe tout à gauche du signe \(=\), puis multiplie par \(-2\) pour supprimer la fraction (multiplier une équation par un nombre non nul ne change pas la droite qu'elle représente).
Trouve un vecteur directeur de chaque droite avec \(\vec{u}(-b\,;\,a)\) (ou \(\vec{u}(1\,;\,m)\) si la droite est en forme réduite), puis calcule le déterminant \(x_1y_2-x_2y_1\).
a) \(y = -\dfrac{3}{2}x + 5\) → forme cartésienne
Tout à gauche\(-\dfrac{3}{2}x - y + 5 = 0\)
× (−2)\(3x + 2y - 10 = 0\)
b) \(4x + 3y - 12 = 0\) → forme réduite
Isoler y\(3y = -4x + 12\)
Diviser par 3\(y = -\dfrac{4}{3}x + 4\)
c) \(\mathcal{D}_1 : 3x-6y+1=0\) et \(\mathcal{D}_2 : -x+2y-5=0\)
Vecteurs directeurs\(\vec{u}_1(6\,;\,3)\) et \(\vec{u}_2(-2\,;\,-1)\)
Déterminant\(6\times(-1) - (-2)\times 3 = -6+6 = 0\)
Déterminant nul → vecteurs colinéaires → \(\mathcal{D}_1 \parallel \mathcal{D}_2\).
d) \(\mathcal{D}_3 : y=2x-1\) et \(\mathcal{D}_4 : 4x-2y+3=0\)
Vecteurs directeurs\(\vec{u}_3(1\,;\,2)\) et \(\vec{u}_4(2\,;\,4)\)
Déterminant\(1\times 4 - 2\times 2 = 4-4 = 0\)
Déterminant nul → vecteurs colinéaires → \(\mathcal{D}_3 \parallel \mathcal{D}_4\) (on pouvait aussi remarquer directement que \(\vec{u}_4 = 2\vec{u}_3\)).

Exercice 6 / 6

Problème Point + vecteur directeur Équation cartésienne
✓ Vu

Partie A. On considère le point \(A(1\,;\,2)\) et le vecteur \(\vec{u}(3\,;\,-2)\). On note \(\mathcal{D}\) la droite passant par \(A\) et de vecteur directeur \(\vec{u}\).

1) Déterminer une équation cartésienne de \(\mathcal{D}\).
2) Vérifier que le point \(B(4\,;\,0)\) appartient à \(\mathcal{D}\).

Partie B. En appliquant la même méthode, déterminer une équation cartésienne de la droite \(\mathcal{D}'\) passant par le point \(C(-1\,;\,3)\) et de vecteur directeur \(\vec{v}(2\,;\,1)\).

💡 Indices

Une équation cartésienne s'écrit \(ax+by+c=0\), avec vecteur directeur \(\vec{u}(-b\,;\,a)\). Comme tu connais déjà \(\vec{u}(3\,;\,-2)\), tu peux identifier directement \(a\) et \(b\) en comparant : \(-b=3\) et \(a=-2\).
Une fois \(a\) et \(b\) connus, remplace \(x\) et \(y\) par les coordonnées de \(A\) dans \(ax+by+c=0\) : c'est la seule inconnue restante.
Méthode : à partir du vecteur directeur \(\vec{u}(-b\,;\,a)\), on identifie directement \(a\) et \(b\) ; puis on utilise le point donné pour calculer \(c\).
Partie A — 1) Équation cartésienne de D
Identifier a, b\(\vec{u}(3\,;\,-2)\) correspond à \(\vec{u}(-b\,;\,a)\) → \(a=-2\), \(b=-3\)
Équation provisoire\(-2x-3y+c=0\), avec \(c\) inconnu
A appartient à D\(-2\times 1 - 3\times 2 + c = 0\)
Calcule\(-2-6+c=0 \;\Rightarrow\; c=8\)
Équation\(-2x-3y+8=0\), soit (× −1) \(2x+3y-8=0\)
Une équation cartésienne de \(\mathcal{D}\) est \(2x+3y-8=0\).
Partie A — 2) B(4 ; 0) appartient-il à D ?
Substitue\(2\times 4 + 3\times 0 - 8 = 8 - 8 = 0\)
Le résultat vaut \(0\) : \(B \in \mathcal{D}\).
Partie B — Droite D' passant par C(−1 ; 3), vecteur directeur v(2 ; 1)
Identifier a, b\(\vec{v}(2\,;\,1)\) correspond à \(\vec{u}(-b\,;\,a)\) → \(a=1\), \(b=-2\)
Équation provisoire\(x-2y+c=0\), avec \(c\) inconnu
C appartient à D'\(-1 - 2\times 3 + c = 0\)
Calcule\(-1-6+c=0 \;\Rightarrow\; c=7\)
Une équation cartésienne de \(\mathcal{D}'\) est \(x-2y+7=0\).

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