La recette y = mx + p · Pente et ordonnée à l'origine · Vecteur directeur · Équation cartésienne
Un avion qui monte régulièrement après le décollage, un forfait mobile qui coûte un prix fixe plus un petit montant par Go utilisé, ton argent de poche qui baisse de la même somme chaque semaine... Dans chaque exemple, une quantité évolue toujours de la même façon, à vitesse constante.
C'est exactement ça, une droite : le dessin d'une évolution régulière. Et la super nouvelle, c'est qu'une seule petite formule suffit pour décrire presque toutes les droites. On va la démonter ensemble, brique par brique, jusqu'à ce qu'elle devienne un réflexe. Prêt(e) ? On y va. 🚀
Au collège, tu as rencontré les fonctions affines, écrites sous la forme :
En 2nde, on va parler des mêmes objets, mais habillés autrement : on ne dira plus « la fonction $f$ », on dira « la droite d'équation », et on écrira :
Ce sont exactement la même chose ! Le nom des lettres change, mais l'idée est identique : $y$, c'est juste une autre façon d'écrire $f(x)$.
Dans $f(x) = ax + b$, tu avais déjà les noms officiels :
En 2nde, on garde exactement ces deux noms — coefficient directeur et ordonnée à l'origine — on change juste les lettres : $a$ devient $m$, et $b$ devient $p$.
| Au collège (3ᵉ) | Au lycée (2nde) | Nom officiel |
|---|---|---|
| Fonction affine | Équation de droite | — |
| $f(x) = ax + b$ | $y = mx + p$ | même formule, autre écriture |
| $a$ | $m$ | coefficient directeur (la pente) |
| $b$ | $p$ | ordonnée à l'origine (le plongeoir) |
Au collège, tu as étudié la fonction affine $f(x) = 2x - 5$. Traduis-la en équation de droite façon 2nde, puis donne son coefficient directeur et son ordonnée à l'origine.
On donne la fonction affine $f(x) = -3x + 4$. Écris l'équation de la droite associée, puis donne son coefficient directeur et son ordonnée à l'origine.
Équation de la droite : $y = -3x + 4$.
Coefficient directeur : $m = -3$. Ordonnée à l'origine : $p = 4$.
Parce qu'en 2nde, on ne pense plus seulement en termes de « fonction qui transforme un nombre en un autre », mais en termes de dessin dans un repère : un ensemble de points $(x\,;y)$ qui forment une droite. Le vocabulaire « équation de droite » colle mieux à cette nouvelle façon de voir les choses. Mais dans ta tête, tu peux toujours faire l'aller-retour : $f(x)$ et $y$, c'est la même hauteur, juste vue sous deux angles différents.
Toute droite qui n'est pas verticale se décrit avec une seule formule, toujours la même :
$m$ et $p$ sont juste deux nombres. Une fois qu'on les connaît, on connaît toute la droite. C'est aussi simple qu'une carte d'identité à deux cases.
Imagine un plongeoir au bord d'une piscine. $p$, c'est la hauteur de ce plongeoir : l'endroit exact où tu te tiens avant même de bouger. Sur un graphique, c'est le point où la droite touche l'axe vertical — c'est-à-dire ce qui se passe quand $x = 0$.
Le nom officiel de $p$ (déjà vu en 3ᵉ sous la lettre $b$) est l'ordonnée à l'origine. Mais toi, retiens juste : « p, c'est mon point de départ, là où je pose mon crayon ».
$m$, c'est la pente de la colline que tu gravis (ou dévales). C'est comme une vitesse de marche : la règle est toujours la même — « je fais 1 pas vers la droite, et je monte (ou descends) de $m$ pas ».
Le nom officiel de $m$ (déjà vu en 3ᵉ sous la lettre $a$) est le coefficient directeur.
Le plongeoir fixe le départ ($p$). Puis, à chaque pas vers la droite, on monte (ou descend) de $m$.
Petit truc : $m$ est collé à $x$ dans la formule (il multiplie), $p$ est tout seul à la fin. Si tu vois « $\times x$ » à côté d'un nombre, c'est $m$. Sinon, c'est $p$.
On prend la droite $y = 3x - 4$. Question : quels sont $m$ et $p$ ? Et quelle hauteur $y$ obtient-on pour $x=2$ ?
Pour la droite $y = -\dfrac{1}{2}x + 5$ : donne $m$ et $p$, puis dis si la droite monte ou descend.
Comme $m < 0$, la droite descend : à chaque pas vers la droite, on perd $\dfrac{1}{2}$ en hauteur.
On donne la droite $y = 7x$. Piège : où est passé $p$ ? Donne quand même $m$ et $p$.
Astuce : quand $p$ n'apparaît pas, c'est qu'il vaut $0$. On peut réécrire $y = 7x$ comme $y = 7x + 0$.
Donc $m = 7$ et $p = 0$ : le plongeoir est directement posé sur l'axe des $x$, à l'origine !
Dans $y = -6x + 9$, qui est le « plongeoir » ?
Oublie les tableaux de valeurs interminables. Pour tracer $y = mx + p$, il suffit de deux gestes simples, toujours dans le même ordre :
| 1 | Je plante le plongeoir | Je place le point $(0\,;p)$ sur l'axe vertical. C'est mon point de départ, fixe et certain. |
| 2 | J'applique la pente | Depuis ce point, j'avance de $1$ vers la droite, puis je monte (ou descends) de $m$. Je relie les deux points avec ma règle : c'est fini ! |
Étape 1 : on plante le drapeau en $(0\,;p)$. Étape 2 : un pas à droite, $m$ pas en hauteur, puis on relie à la règle.
Traçons la droite $y = 2x + 1$.
⚠️ Piège à éviter
- Le « pas vers la droite » est toujours de +1. Si $m$ n'est pas un nombre entier (par exemple $m=\dfrac{2}{3}$), avance de $3$ et monte de $2$ : le rapport reste identique.
- Le point de départ est toujours sur l'axe vertical ($x=0$), jamais sur l'axe horizontal.
Indique les deux points à placer pour tracer $y = -x + 3$.
On relie $(0\,;3)$ et $(1\,;2)$.
Même méthode pour $y = \dfrac{3}{2}x - 1$. Quels sont les deux points ?
On relie $(0\,;-1)$ et $(2\,;2)$.
Pour tracer une droite avec la méthode des 2 étapes, le premier point que je place est toujours...
Sur une route de montagne, un panneau annonce parfois « 12 % de pente ». C'est un simple rapport : la montée divisée par l'avancée. Le coefficient directeur $m$, c'est exactement ce panneau :
Combien je monte, divisé par combien j'avance. Rien de plus.
Avec deux points $A(x_A\,;y_A)$ et $B(x_B\,;y_B)$ (et $x_A \neq x_B$) :
Toujours « arrivée moins départ » : en haut pour les $y$ (la montée), en bas pour les $x$ (l'avancée).
Le triangle « Montée / Avancée » : on va de $A$ à $B$ en avançant à l'horizontale, puis en montant à la verticale.
| 1 | Je calcule m | $m = \dfrac{\text{Montée}}{\text{Avancée}} = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$. |
| 2 | Je remplace x et y | Dans $y = mx + p$, je remplace $x$ et $y$ par les coordonnées d'un seul point connu ($A$ ou $B$, au choix). Il ne reste plus qu'une inconnue : $p$. |
| 3 | Je conclus | Je rassemble $m$ et $p$ trouvés dans $y = mx + p$. C'est l'équation cherchée ! |
On cherche l'équation de la droite passant par $A(1\,;4)$ et $B(3\,;-2)$.
⚠️ Pièges classiques
- On calcule toujours « arrivée moins départ », dans le même ordre pour les $x$ et pour les $y$ (si $B$ est en premier en haut, il doit être en premier en bas aussi).
- Trouver $m$ ne suffit pas ! Il faut toujours enchaîner avec l'étape 2 pour trouver $p$.
- Si $x_A = x_B$, la formule plante (division par $0$) : c'est le signal qu'on est face à une droite verticale (Partie IV).
Trouve l'équation de la droite passant par $C(-2\,;1)$ et $D(2\,;9)$.
Équation : $y = 2x + 5$.
Trouve l'équation de la droite passant par $E(0\,;-3)$ et $F(4\,;5)$. (Indice : un des deux points te donne directement $p$ !)
Équation : $y = 2x - 3$. (Pas besoin de remplacer dans ce cas, on lit $p$ directement.)
Trouve l'équation de la droite passant par $G(-1\,;-4)$ et $H(3\,;-4)$.
Équation : $y = -4$. Une montée nulle : c'est une droite horizontale, un terrain plat !
Pour calculer $m$ avec deux points, je fais toujours...
Essaie d'imaginer que tu marches contre un mur parfaitement vertical. Impossible de dire « j'avance d'un pas et je monte de tant » : tu n'avances jamais, tu grimpes droit dans le vide ! Une droite verticale n'a pas de pente : la notion de coefficient directeur n'a simplement pas de sens pour elle.
Une droite verticale rassemble tous les points ayant la même abscisse $k$, quelle que soit leur hauteur. Son équation :
C'est le seul cas qui échappe à la formule $y = mx+p$. Repère-le tout de suite : si l'équation ne contient que des x, c'est une droite verticale.
La droite $x = k$ : notre mur vertical, la même abscisse $k$ pour tous ses points, quelle que soit la hauteur $y$.
Quelle est l'équation de la droite verticale passant par le point $(5\,;-3)$ ?
Écris l'équation de la droite verticale passant par $(-8\,;12)$.
Seule l'abscisse compte : $x = -8$. (L'ordonnée $12$ n'intervient jamais dans une équation $x=k$.)
⚠️ Attention !
- Ne confonds jamais $x = k$ (droite verticale, un mur) et $y = k$ (droite horizontale, un terrain plat avec $m=0$).
- Une droite verticale ne touche l'axe des $y$ que si $k = 0$ (elle serait alors confondue avec l'axe lui-même).
Deux rails de chemin de fer ne se rejoignent jamais : ils gardent exactement la même inclinaison sur toute la longueur. Deux droites parallèles, c'est pareil : elles montent (ou descendent) à la même vitesse. Seul leur point de départ ($p$) peut être différent.
Deux droites (non verticales), $y = mx + p$ et $y = m'x + p'$, sont parallèles exactement quand elles ont la même pente :
Peu importe $p$ et $p'$ : ils peuvent être différents (deux rails côte à côte), ou égaux (et là, ce sont carrément les mêmes droites !).
Deux rails de train : la même pente $m$, mais un point de départ différent ($p \neq p'$).
Les droites $d_1 : y = 4x - 1$ et $d_2 : y = 4x + 7$ sont-elles parallèles ?
Trouve l'équation de la droite parallèle à $y = -2x + 3$ et passant par le point $(1\,;5)$.
Équation : $y = -2x + 7$.
$d_3 : y = \dfrac{1}{3}x + 2$ et $d_4 : y = \dfrac{1}{3}x + 2$. Que peux-tu dire de ces deux droites ?
Même pente et même plongeoir ($m=\dfrac13$, $p=2$ pour les deux) : ce ne sont pas juste deux droites parallèles, ce sont en réalité la même droite ! On dit qu'elles sont confondues.
⚠️ Attention !
- Deux droites verticales ($x=k$ et $x=k'$) sont toujours parallèles entre elles — même si on ne peut pas comparer de $m$ pour elles (deux murs verticaux sont forcément « côte à côte »).
- Même $m$ ET même $p$ ⟹ ce sont les mêmes droites (confondues), pas juste parallèles.
Deux droites sont parallèles quand elles ont...
Un vecteur directeur d'une droite $\mathcal{D}$ est un vecteur non nul qui a la même direction que $\mathcal{D}$. Si $A$ et $B$ sont deux points distincts de $\mathcal{D}$, alors $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de $\mathcal{D}$.
Un vecteur directeur « pointe dans la direction de la droite ». Tout multiple non nul d'un vecteur directeur est aussi un vecteur directeur.
Si une droite $\mathcal{D}$ a pour équation $y = mx + p$, alors le vecteur $\vec{u}(1\,;\,m)$ est un vecteur directeur de $\mathcal{D}$.
Pourquoi ? Quand on avance de $1$ en $x$, on monte de $m$ en $y$ — c'est exactement la pente.
Pour chaque droite, donne un vecteur directeur en utilisant la formule $\vec{u}(1\,;\,m)$ :
a) $y = 5x + 1$ b) $y = -x + 3$ c) $y = \dfrac{3}{4}x$
a) $m = 5$ → $\vec{u}(1\,;\,5)$.
b) $m = -1$ → $\vec{u}(1\,;\,-1)$.
c) $m = \frac{3}{4}$ → $\vec{u}(1\,;\,\frac{3}{4})$. On peut aussi prendre $\vec{u}(4\,;\,3)$ pour éviter la fraction (c'est un multiple, donc aussi un vecteur directeur).
Une droite $\mathcal{D}$ passe par $A(1\,;\,-2)$ et $B(4\,;\,7)$. Donne un vecteur directeur de $\mathcal{D}$.
$\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ :
$\overrightarrow{AB}\big(x_B - x_A\,;\,y_B - y_A\big) = \overrightarrow{AB}(4-1\,;\,7-(-2)) = \overrightarrow{AB}(3\,;\,9)$.
💡 On peut simplifier : $\vec{u}(1\,;\,3)$ est aussi un vecteur directeur (on a divisé par 3). Cela confirme $m = 3$.
La formule $y = mx + p$ est pratique pour tracer et lire la pente, mais elle a un gros défaut : elle ne peut pas décrire les droites verticales (celles de la forme $x = k$). L'équation cartésienne $ax + by + c = 0$ résout ce problème : elle décrit toutes les droites sans exception.
Une équation cartésienne d'une droite est une équation de la forme :
où $a$, $b$, $c$ sont des réels avec $(a, b) \neq (0, 0)$.
Cette forme est plus générale que $y = mx + p$ : elle permet aussi de décrire les droites verticales (quand $b = 0$).
Si une droite $\mathcal{D}$ a pour équation cartésienne $ax + by + c = 0$, alors un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ est :
Les deux formes décrivent la même droite. On peut toujours passer de l'une à l'autre :
Soit $y = 3x - 2$. On passe tout à gauche :
💡 Astuce : « passer tout à gauche » veut dire : on soustrait $y$ des deux côtés, et on range dans l'ordre $x$, $y$, nombre.
Soit $2x - 5y + 10 = 0$. On isole $y$ (possible car $b = -5 \neq 0$) :
Soit la droite verticale $x = 4$. On peut la réécrire :
💡 Voilà tout l'intérêt de la forme cartésienne : elle gère aussi les droites verticales, ce que $y = mx + p$ ne peut pas faire.
Pour chaque droite, donne un vecteur directeur :
a) $y = -4x + 1$ b) $5x + 2y - 3 = 0$ c) $x = 7$
a) $y = mx + p$ avec $m = -4$ → $\vec{u}(1\,;\,-4)$.
b) $ax + by + c = 0$ avec $a = 5$, $b = 2$ → $\vec{u}(-b\,;\,a) = \vec{u}(-2\,;\,5)$.
c) Droite verticale → $\vec{u}(0\,;\,1)$ (on monte le long de l'axe, sans avancer en $x$).
a) Écrire $y = -\frac{3}{2}x + 5$ sous forme cartésienne $ax + by + c = 0$.
b) Écrire $4x + 3y - 12 = 0$ sous forme réduite $y = mx + p$.
a) On passe tout à gauche : $-\frac{3}{2}x - y + 5 = 0$. On peut multiplier par $-2$ pour enlever la fraction : $3x + 2y - 10 = 0$.
b) On isole $y$ : $3y = -4x + 12$ → $y = -\frac{4}{3}x + 4$. Donc $m = -\frac{4}{3}$ et $p = 4$.
Deux droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
Si $\vec{u}_1(x_1\,;\,y_1)$ et $\vec{u}_2(x_2\,;\,y_2)$ sont les vecteurs directeurs, ils sont colinéaires si et seulement si :
C'est le déterminant des deux vecteurs. Nul = colinéaires = parallèles. C'est la version vectorielle de « même pente $m = m'$ » (section « rails parallèles » vue plus haut).
La droite $\mathcal{D}_1$ a pour équation $3x - 6y + 1 = 0$ et $\mathcal{D}_2$ a pour équation $-x + 2y - 5 = 0$. Sont-elles parallèles ?
Vecteurs directeurs :
Déterminant :
💡 Vérification : $\mathcal{D}_1 : y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{6}$ et $\mathcal{D}_2 : y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$. Même pente $\frac{1}{2}$, $p$ différents → parallèles distinctes.
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Dans l'équation $y = -5x + 2$, que représente le nombre $2$ ?
Toujours pour $y = -5x + 2$, que représente le $-5$ ?
Une droite passe par $A(0\,;1)$ et $B(2\,;5)$. Quel est son coefficient directeur $m$ ?
Quelle est l'équation de la droite verticale passant par $(-3\,;7)$ ?
$y = 6x + 1$ et $y = 6x - 4$ sont deux droites...
Une droite passe par $M(2\,;3)$ et $N(2\,;-8)$. Que peux-tu en dire ?
Pour trouver $p$ une fois $m$ connu, je dois...
La droite qui passe par $P(-1\,;-4)$ et $Q(3\,;-4)$ a pour équation...
L'équation $3x - y + 5 = 0$ est une équation cartésienne de droite. Quel est un vecteur directeur de cette droite ?
On veut écrire $y = 2x - 7$ sous forme cartésienne. On obtient :
L'équation $5x + 10 = 0$ est-elle une équation cartésienne de droite ?
Quelle est l'équation cartésienne de la droite $y = -3x + 1$ ?
La droite $4x + 2y - 6 = 0$ a pour forme réduite :
La droite d'équation $7x - 14 = 0$ est :
| 📐 | La recette de base | $y = mx + p$, valable pour toute droite qui n'est pas un mur vertical. |
| 🏊 | p — le plongeoir (ordonnée à l'origine, ex-$b$) |
Le point de départ : là où la droite touche l'axe des $y$ (en $x=0$). |
| ⛰️ | m — la pente (coefficient directeur, ex-$a$) |
Ce que je gagne (ou perds) en hauteur à chaque pas de $1$ vers la droite. |
| 🚦 | Calculer m avec 2 points | $m = \dfrac{\text{Montée}}{\text{Avancée}} = \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$. |
| 🧱 | Le mur vertical | $x = k$ : pas de pente possible, impossible à gravir. |
| 🚆 | Les rails parallèles | Même pente : $m = m'$. Ou déterminant nul des vecteurs directeurs. |
| ➡️ | Vecteur directeur | $y = mx + p$ → $\vec{u}(1\,;\,m)$. Équation $ax + by + c = 0$ → $\vec{u}(-b\,;\,a)$. |
| 📝 | Équation cartésienne | $ax + by + c = 0$ : forme générale, inclut les droites verticales ($b=0$). |
Tu as maintenant toutes les clés en main : un plongeoir ($p$), une pente ($m$), une recette en 2 étapes pour tracer, une recette en 3 étapes pour calculer, un cas particulier (le mur vertical), et une règle simple pour le parallélisme. Reprends les exercices « Entraîne-toi » autant de fois que nécessaire : c'est en répétant la recette qu'elle devient un réflexe. Tu gères ! 💪