Tableaux de variations

Fonctions — Feuille d'exercices n°1 — 2nde

↗ ↘ Sens de variation Extremums Lecture & construction

📌 Ce qu'il faut savoir

① Lire un tableau
Une flèche ↗ signifie que \(f\) est croissante (l'image augmente avec \(x\)) ; une flèche ↘ signifie qu'elle est décroissante. Le maximum se lit en haut d'une case, le minimum en bas. On ne peut comparer deux images à l'aide du tableau que si les deux abscisses sont dans le même intervalle de monotonie.
② Construire un tableau
On place en ligne \(x\) les bornes et les abscisses des extremums, séparées par des double-barres violettes. Sur la ligne \(f(x)\), une valeur de maximum se place en haut, une valeur de minimum en bas ; la flèche relie les deux étages selon le sens de variation.
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Exercice 1 / 6

Lecture Comparer des images
✓ Vu

Voici le tableau de variations d'une fonction \(f\) définie sur \([-5\,;\,6]\).

x −5 −1 4 6
f (x) −3 6 −2 3
a) Donner le sens de variation de \(f\) sur \([-5\,;\,-1]\), puis sur \([-1\,;\,4]\).
b) Comparer \(f(-4)\) et \(f(-2)\).
c) Comparer \(f(0)\) et \(f(3)\).
d) Peut-on comparer \(f(-3)\) et \(f(2)\) uniquement à l'aide de ce tableau ? Justifier.

💡 Indices

Sur un intervalle où la flèche monte, plus \(x\) est grand, plus \(f(x)\) est grand. Repère dans quel intervalle se trouvent \(-4\) et \(-2\).
\(-3\) appartient à \([-5\,;\,-1]\) et \(2\) appartient à \([-1\,;\,4]\) : ce ne sont pas les mêmes intervalles de monotonie. Le tableau permet-il de comparer deux images situées dans deux « morceaux » différents ?
a) Sens de variation

Sur \([-5\,;\,-1]\), la flèche monte : \(f\) est croissante.
Sur \([-1\,;\,4]\), la flèche descend : \(f\) est décroissante.

b) Comparer f(−4) et f(−2)

\(-4\) et \(-2\) appartiennent tous deux à \([-5\,;\,-1]\), où \(f\) est croissante. Comme \(-4 < -2\), on en déduit :

\(f(-4) < f(-2)\)
c) Comparer f(0) et f(3)

\(0\) et \(3\) appartiennent tous deux à \([-1\,;\,4]\), où \(f\) est décroissante. Comme \(0 < 3\), l'image du plus petit est la plus grande :

\(f(0) > f(3)\)
d) Comparer f(−3) et f(2)

❌ Non, on ne peut pas conclure. \(-3\) est dans l'intervalle où \(f\) est croissante, tandis que \(2\) est dans l'intervalle où \(f\) est décroissante : les deux valeurs ne sont pas soumises au même sens de variation, donc le tableau seul ne permet pas de savoir laquelle des deux images est la plus grande.

⚠ Piège : on ne peut comparer deux images à l'aide d'un tableau de variations que si les deux abscisses appartiennent au même intervalle de monotonie.

Exercice 2 / 6

Lecture Extremums
✓ Vu

Voici le tableau de variations d'une fonction \(h\) définie sur \([-6\,;\,5]\).

x −6 −3 1 5
h (x) 5 −4 7 0
a) Donner le maximum de \(h\) sur \([-6\,;\,5]\) et l'abscisse en laquelle il est atteint.
b) Donner le minimum de \(h\) sur \([-6\,;\,5]\) et l'abscisse en laquelle il est atteint.
c) Sur quel(s) intervalle(s) \(h\) est-elle croissante ? décroissante ?
d) Comparer \(h(-5)\) et \(h(-4)\).

💡 Indices

Compare toutes les valeurs de \(h\) inscrites dans le tableau : \(5\), \(-4\), \(7\), \(0\). Laquelle est la plus grande ? la plus petite ?
\(-5\) et \(-4\) sont tous les deux dans \([-6\,;\,-3]\). Regarde le sens de la flèche sur cet intervalle.
a) Maximum de h

La plus grande valeur inscrite dans le tableau est \(7\), atteinte en \(x=1\).

Maximum \(= 7\), atteint en \(x = 1\)
b) Minimum de h

La plus petite valeur inscrite dans le tableau est \(-4\), atteinte en \(x=-3\).

Minimum \(= -4\), atteint en \(x = -3\)
c) Intervalles de monotonie

\(h\) est décroissante sur \([-6\,;\,-3]\), croissante sur \([-3\,;\,1]\), puis décroissante sur \([1\,;\,5]\).

d) Comparer h(−5) et h(−4)

\(-5\) et \(-4\) sont dans \([-6\,;\,-3]\), où \(h\) est décroissante. Comme \(-5 < -4\) :

\(h(-5) > h(-4)\)

Exercice 3 / 6

Construction À partir d'une courbe
✓ Vu

On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction \(f\) définie sur \([-4\,;\,5]\).

x y O −4 −1 2 5 4 −3 min = −3 max = 5
Maximum local
Minimum local
On lit sur le graphique : \(f(-4)=4\), \(f(-1)=-3\) (minimum), \(f(2)=5\) (maximum), \(f(5)=1\).
Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \([-4\,;\,5]\).

💡 Indices

Place dans l'ordre croissant les bornes \(-4\) et \(5\), et les abscisses des deux extremums \(-1\) et \(2\), séparées par des double-barres.
Le minimum \(-3\) se place en bas, le maximum \(5\) se place en haut. Les valeurs aux bornes se placent à la hauteur correspondant réellement à la courbe (ici en bas pour \(-4\), en haut pour \(5\)).
Tableau de variations de f sur [−4 ; 5]
x −4 −1 2 5
f (x) 4 −3 5 1

\(f\) décroît de \(4\) à \(-3\), croît de \(-3\) à \(5\), puis décroît de \(5\) à \(1\).

Exercice 4 / 6

Construction À partir d'un énoncé
✓ Vu

Dresser le tableau de variations de chacune des fonctions suivantes, décrites sans courbe.

a) \(f\) est définie sur \([-3\,;\,4]\). Elle est décroissante sur \([-3\,;\,0]\) puis croissante sur \([0\,;\,4]\). On sait que \(f(-3)=6\), \(f(0)=-2\) et \(f(4)=3\).
b) \(g\) est définie sur \([-2\,;\,5]\). Elle est croissante sur \([-2\,;\,1]\), décroissante sur \([1\,;\,3]\), puis croissante sur \([3\,;\,5]\). On sait que \(g(-2)=-4\), \(g(1)=5\), \(g(3)=0\) et \(g(5)=6\).

💡 Indices

Une seule valeur remarquable ici : \(x=0\). La courbe descend puis remonte : \(f(0)=-2\) est donc un minimum, à placer en bas.
Deux valeurs remarquables : \(x=1\) (la courbe passe de croissante à décroissante : maximum) et \(x=3\) (elle repasse de décroissante à croissante : minimum).
a) Tableau de f sur [−3 ; 4]
x −3 0 4
f (x) 6 −2 3
b) Tableau de g sur [−2 ; 5]
x −2 1 3 5
g (x) −4 5 0 6

Exercice 5 / 6

Vrai / Faux Pièges classiques
✓ Vu

Voici le tableau de variations d'une fonction \(k\) définie sur \([-5\,;\,3]\).

x −5 −1 3
k (x) −8 2 −2

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant.

a) Le maximum de \(k\) sur \([-5\,;\,3]\) est atteint en \(x=-1\).
b) Le minimum de \(k\) sur \([-5\,;\,3]\) vaut \(-2\).
c) \(k\) est croissante sur \([-5\,;\,3]\).
d) Une fonction croissante prend nécessairement des valeurs positives.

💡 Indices

Compare toutes les valeurs présentes dans le tableau : \(-8\), \(2\) et \(-2\). Le minimum est-il forcément à un extremum « violet » ?
« Croissante » parle uniquement du sens de variation (la courbe monte), pas de son signe (au-dessus ou en dessous de l'axe). Regarde les valeurs de \(k\) sur \([-5\,;\,-1]\) : restent-elles positives ?
a) Maximum atteint en x=−1

✓ VRAI — parmi les valeurs \(-8\), \(2\), \(-2\), la plus grande est \(2\), atteinte en \(x=-1\).

b) Minimum = −2

❌ FAUX — la plus petite valeur du tableau est \(-8\), atteinte à la borne \(x=-5\), et non \(-2\). Une valeur de bord peut très bien être plus petite qu'un minimum « local » marqué par une double-barre.

c) k croissante sur [−5 ; 3]

❌ FAUX — \(k\) est croissante seulement sur \([-5\,;\,-1]\), puis décroissante sur \([-1\,;\,3]\).

d) Croissante ⇒ positive ?

❌ FAUX — sur \([-5\,;\,-1]\), \(k\) est croissante (elle monte de \(-8\) à \(2\)) mais elle reste négative sur une partie de cet intervalle avant de devenir positive. Croissance et signe sont deux notions indépendantes.

⚠ À retenir : une valeur aux bornes du domaine peut être un minimum ou un maximum global sans être marquée comme un extremum dans le tableau. Et « croissante » ne veut jamais dire « positive » : ce sont deux informations différentes (variations ≠ signe).

Exercice 6 / 6

Problème Synthèse
✓ Vu

Un ballon est lancé en l'air. On modélise sa hauteur \(h(t)\) (en mètres) en fonction du temps \(t\) (en secondes) par une fonction définie sur \([0\,;\,6]\). On sait que :

Le ballon monte de \(t=0\) (hauteur \(1\) m) à \(t=2\) s, où il atteint \(8\) m.
Il redescend ensuite jusqu'à toucher le sol (hauteur \(0\)) à \(t=5\) s.
Il rebondit puis remonte jusqu'à \(3\) m à \(t=6\) s.
1) Dresser le tableau de variations de \(h\) sur \([0\,;\,6]\).
2) Quelle est la hauteur maximale atteinte par le ballon ? À quel instant ?
3) Sur quel intervalle de temps la hauteur du ballon diminue-t-elle ?
4) Peut-on affirmer que \(h(1) > h(4)\) ? Justifier.

💡 Indices

Trois valeurs remarquables de \(t\) : \(0\), \(2\), \(5\) et \(6\). « Monte » = flèche ↗, « redescend » = flèche ↘.
\(t=1\) est dans la phase de montée, \(t=4\) dans la phase de descente : ce sont deux intervalles de monotonie différents. Le tableau de variations donne-t-il assez d'informations pour trancher ?
1) Tableau de variations de h sur [0 ; 6]
t 0 2 5 6
h (t) 1 8 0 3
2) Hauteur maximale
Le ballon atteint sa hauteur maximale de \(8\) m à \(t=2\) s.
3) Intervalle où la hauteur diminue

\(h\) est décroissante — la hauteur diminue — sur l'intervalle \([2\,;\,5]\).

4) Comparer h(1) et h(4)

❌ Non, on ne peut pas l'affirmer avec certitude. \(t=1\) appartient à \([0\,;\,2]\) où \(h\) est croissante, et \(t=4\) appartient à \([2\,;\,5]\) où \(h\) est décroissante : ce ne sont pas les mêmes intervalles de monotonie, donc le tableau de variations ne permet pas à lui seul de comparer \(h(1)\) et \(h(4)\).

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