Tableaux de signes

Fonctions — Feuille d'exercices n°2 — 2^nde

+ / − Signe Zéros Lecture & construction

📌 Ce qu'il faut savoir

① Lire un tableau

Dans une case, un + signifie que \(f(x)\) est strictement positive, un − qu'elle est strictement négative. Un 0 encadré par une double-barre indique un zéro de \(f\) : \(f(x)=0\). Résoudre \(f(x)>0\) (ou \(<0\)) revient à repérer les intervalles marqués « + » (ou « − ») ; pour \(\geqslant\) ou \(\leqslant\), on ajoute les zéros.

② Construire un tableau

On place en ligne \(x\) les bornes et les zéros de \(f\), séparés par des double-barres violettes. Sous chaque zéro, on écrit \(0\) ; dans chaque intervalle entre deux zéros (ou une borne et un zéro), on écrit le signe constant de \(f\) sur cet intervalle. Attention : le signe ne change pas forcément d'un côté à l'autre d'un zéro.

Corrections vues :

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Exercice 1 / 6

Lecture Résoudre f(x) > 0

✓ Vu

Voici le tableau de signes d'une fonction \(f\) définie sur \([-4\,;\,5]\).

x	−4		−2		1		3		5
f (x)		−	0	+	0	−	0	+

a) Donner le signe de \(f(-3)\), de \(f(0)\) et de \(f(4)\).

b) Résoudre \(f(x) > 0\) sur \([-4\,;\,5]\).

c) Résoudre \(f(x) \leqslant 0\) sur \([-4\,;\,5]\).

💡 Indices

Repère dans quelle colonne se trouve chaque valeur : \(-3\) est entre \(-4\) et \(-2\), \(0\) est entre \(-2\) et \(1\), \(4\) est entre \(3\) et \(5\).

« \(\leqslant\) » signifie « négatif OU nul » : il faut donc inclure les intervalles où \(f\) est négative, mais aussi les zéros eux-mêmes.

a) Signes de f(−3), f(0), f(4)

\(-3 \in\,]-4\,;\,-2[\) où \(f\) est négative : \(f(-3) < 0\).
\(0 \in\,]-2\,;\,1[\) où \(f\) est positive : \(f(0) > 0\).
\(4 \in\,]3\,;\,5[\) où \(f\) est positive : \(f(4) > 0\).

b) Résoudre f(x) > 0

On lit les intervalles marqués « + » :

\(\mathcal{S} = \;]-2\,;\,1[\; \cup \;]3\,;\,5[\)

c) Résoudre f(x) ≤ 0

On lit les intervalles marqués « − », auxquels on ajoute les zéros \(-2\), \(1\) et \(3\) :

\(\mathcal{S} = [-4\,;\,-2] \cup [1\,;\,3]\)

Exercice 2 / 6

Lecture Strict / large

✓ Vu

Voici le tableau de signes d'une fonction \(g\) définie sur \([-5\,;\,4]\).

x	−5		−3		0		2		4
g (x)		−	0	+	0	−	0	+

a) Donner le signe de \(g(-4)\), \(g(-1)\), \(g(1)\) et \(g(3)\).

b) Résoudre \(g(x) < 0\) sur \([-5\,;\,4]\).

c) Résoudre \(g(x) \geqslant 0\) sur \([-5\,;\,4]\).

d) Le nombre \(0\) est-il solution de \(g(x) \geqslant 0\) ? de \(g(x) > 0\) ?

💡 Indices

\(g(0)=0\). Est-ce que \(0 \geqslant 0\) est vrai ? Est-ce que \(0 > 0\) est vrai ?

Pour une inégalité stricte (\(<\), \(>\)), les zéros ne font jamais partie de la solution. Pour une inégalité large (\(\leqslant\), \(\geqslant\)), on les ajoute.

a) Signes demandés

\(g(-4) < 0\) · \(g(-1) > 0\) · \(g(1) < 0\) · \(g(3) > 0\)

b) Résoudre g(x) < 0

Intervalle strict, sans les zéros :

\(\mathcal{S} = \;]-5\,;\,-3[\; \cup \;]0\,;\,2[\)

c) Résoudre g(x) ≥ 0

Intervalles « + » plus les zéros \(-3\), \(0\) et \(2\) :

\(\mathcal{S} = [-3\,;\,0] \cup [2\,;\,4]\)

d) Le nombre 0

\(g(0)=0\). Comme \(0 \geqslant 0\) est vrai, \(0\) est solution de \(g(x)\geqslant 0\). Comme \(0>0\) est faux, \(0\) n'est pas solution de \(g(x)>0\).

⚠ À retenir : une inégalité stricte exclut toujours les zéros ; une inégalité large les inclut toujours.

Exercice 3 / 6

Construction À partir d'une courbe

✓ Vu

On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction \(f\) définie sur \([-5\,;\,4]\).

Zéro de f (la courbe coupe l'axe des abscisses)

En observant la position de la courbe par rapport à l'axe des abscisses, dresser le tableau de signes de \(f\) sur \([-5\,;\,4]\).

💡 Indices

Les zéros de \(f\) sont les abscisses des points où la courbe traverse l'axe des \(x\) : ici \(x=-3\) et \(x=1\).

Quand la courbe est en dessous de l'axe des \(x\), \(f(x)\) est négative. Quand elle est au-dessus, \(f(x)\) est positive.

Tableau de signes de f sur [−5 ; 4]

x	−5		−3		1		4
f (x)		−	0	+	0	−

La courbe est sous l'axe sur \([-5\,;\,-3[\), coupe l'axe en \(-3\), passe au-dessus sur \(]-3\,;\,1[\), coupe à nouveau l'axe en \(1\), puis repasse en dessous sur \(]1\,;\,4]\).

Exercice 4 / 6

Construction À partir d'un énoncé

✓ Vu

Dresser le tableau de signes de chacune des fonctions suivantes, décrites sans courbe.

a) \(f\) est définie sur \([-4\,;\,3]\). Elle est strictement négative sur \([-4\,;\,-1[\), s'annule en \(-1\), puis strictement positive sur \(]-1\,;\,3]\).

b) \(g\) est définie sur \([-6\,;\,5]\). Elle est strictement positive sur \([-6\,;\,-2[\), s'annule en \(-2\), strictement négative sur \(]-2\,;\,2[\), s'annule en \(2\), puis strictement positive sur \(]2\,;\,5]\).

💡 Indices

Un seul zéro ici : \(x=-1\). Place-le en double-barre, avec un « − » à gauche et un « + » à droite.

Deux zéros : \(x=-2\) et \(x=2\). Le signe alterne à chaque zéro : \(+\), puis \(-\), puis à nouveau \(+\).

a) Tableau de f sur [−4 ; 3]

x	−4		−1		3
f (x)		−	0	+

b) Tableau de g sur [−6 ; 5]

x	−6		−2		2		5
g (x)		+	0	−	0	+

Exercice 5 / 6

Vrai / Faux Pièges classiques

✓ Vu

Voici le tableau de signes d'une fonction \(f\) définie sur \([-4\,;\,5]\).

x	−4		−1		2		5
f (x)		−	0	−	0	+

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant.

a) \(f(-1)=0\) donc \(f\) change nécessairement de signe en \(x=-1\).

b) L'ensemble solution de \(f(x) \geqslant 0\) est l'intervalle \([2\,;\,5]\).

c) Sur \(]-4\,;\,-1[\) et sur \(]-1\,;\,2[\), \(f\) est de même signe.

d) \(f(0)\) est strictement négatif.

💡 Indices

Regarde le signe indiqué juste avant \(-1\) et juste après \(-1\) dans le tableau : sont-ils identiques ou différents ?

\(f(x)\geqslant 0\) est vrai sur \(]2\,;\,5]\), mais aussi exactement au point \(x=-1\) où \(f(-1)=0\). Cette valeur isolée fait-elle partie de la solution ?

a) f change de signe en x=−1 ?

❌ FAUX — \(f\) est négative juste avant \(-1\) et juste après \(-1\) (sur \(]-4\,;\,-1[\) et sur \(]-1\,;\,2[\)) : la courbe touche l'axe des abscisses en \(-1\) sans le traverser, le signe reste le même des deux côtés.

b) Solution de f(x) ≥ 0

❌ FAUX — il ne faut pas oublier le zéro isolé en \(x=-1\), où \(f(-1)=0 \geqslant 0\) est également vrai.

\(\mathcal{S} = \{-1\} \cup [2\,;\,5]\)

c) Même signe de part et d'autre de −1

✓ VRAI — \(f\) est négative sur les deux intervalles, ce qui confirme qu'un zéro ne change pas toujours le signe.

d) f(0) strictement négatif

✓ VRAI — \(0 \in\,]-1\,;\,2[\), intervalle où \(f\) est négative.

⚠ À retenir : un zéro de \(f\) ne provoque pas systématiquement un changement de signe — la courbe peut « toucher » l'axe des abscisses sans le traverser. Il faut aussi penser à inclure les zéros isolés dans les solutions d'une inégalité large.

Exercice 6 / 6

Problème Synthèse

✓ Vu

Une entreprise fabrique un objet. Son bénéfice \(B(q)\) (en milliers d'euros) en fonction de la quantité \(q\) produite (en centaines d'objets) est modélisé par une fonction définie sur \([0\,;\,10]\). On sait que :

\(B(q)\) est strictement négatif sur \([0\,;\,2[\) (l'entreprise est en perte).

\(B(q)\) s'annule en \(q=2\), est strictement positif sur \(]2\,;\,7[\), puis s'annule en \(q=7\).

\(B(q)\) est de nouveau strictement négatif sur \(]7\,;\,10]\).

1) Dresser le tableau de signes de \(B\) sur \([0\,;\,10]\).

2) Pour quelles quantités \(q\) l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice strictement positif ?

3) Que représentent concrètement les valeurs \(q=2\) et \(q=7\) pour l'entreprise ?

4) L'entreprise a-t-elle intérêt à produire \(9\) centaines d'objets ? Justifier à l'aide du tableau.

💡 Indices

En \(q=2\) et \(q=7\), le bénéfice est nul : ni perte, ni gain. Ce sont les quantités où l'entreprise passe de la perte au gain, ou inversement.

\(q=9\) appartient à quel intervalle du tableau ? Le signe de \(B\) y est-il positif ou négatif ?

1) Tableau de signes de B sur [0 ; 10]

q	0		2		7		10
B (q)		−	0	+	0	−

2) Bénéfice strictement positif

Pour \(q \in\,]2\,;\,7[\), c'est-à-dire entre 200 et 700 objets produits.

3) Signification de q=2 et q=7

Ce sont les seuils de rentabilité : les quantités pour lesquelles le bénéfice est nul, c'est-à-dire où l'entreprise passe de la perte au gain (\(q=2\)) puis du gain à la perte (\(q=7\)).

4) Produire 9 centaines d'objets ?

❌ Non — \(q=9\) appartient à \(]7\,;\,10]\), intervalle où \(B(q)\) est strictement négatif : l'entreprise serait en perte. Il vaudrait mieux produire une quantité dans \(]2\,;\,7[\).