Synthèse — Variations & Signes

Fonctions — Feuille d'exercices n°3 — 2nde

↗ ↘ Variations + / − Signes Ne pas confondre !

📌 Deux outils, deux informations différentes

↗↘ Tableau de variations
Renseigne sur le sens dans lequel varie \(f\) (elle monte ou elle descend) et sur ses extremums. Les double-barres marquent les abscisses des maximums/minimums.
+/− Tableau de signes
Renseigne sur la position de la courbe par rapport à l'axe des abscisses (au-dessus ou en dessous). Les double-barres marquent les zéros de \(f\).

⚠ Ces deux tableaux n'ont, en général, pas les mêmes double-barres : les abscisses des extremums et les zéros de \(f\) sont des valeurs différentes, sauf coïncidence.

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Exercice 1 / 6

Synthèse À partir d'une courbe
✓ Vu

On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction \(f\) définie sur \([-4\,;\,5]\).

x y O −4 −2 −1 (min) 1 2 (max) 4 5
Zéro de f
Maximum local
Minimum local
On lit sur le graphique : \(f(-4)=2\), \(f(-2)=0\), \(f(-1)=-3\) (minimum), \(f(1)=0\), \(f(2)=5\) (maximum), \(f(4)=0\), \(f(5)=-2\).
a) Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \([-4\,;\,5]\).
b) Dresser le tableau de signes de \(f\) sur \([-4\,;\,5]\).

💡 Indices

Pour les variations, seules les abscisses des extremums comptent comme double-barres : ici \(-1\) et \(2\). Les zéros \(-2\), \(1\) et \(4\) n'apparaissent pas dans ce tableau !
Pour les signes, seuls les zéros comptent comme double-barres : ici \(-2\), \(1\) et \(4\). Les extremums \(-1\) et \(2\) n'apparaissent pas dans ce tableau !
a) Tableau de variations de f
x −4 −1 2 5
f (x) 2 −3 5 −2
b) Tableau de signes de f
x −4 −2 1 4 5
f (x) + 0 − 0 + 0 −
⚠ À observer : les double-barres du tableau de variations (\(-1\) et \(2\)) et celles du tableau de signes (\(-2\), \(1\) et \(4\)) ne sont pas du tout aux mêmes endroits ! Ce sont deux lectures différentes de la même courbe.

Exercice 2 / 6

Réflexion Indépendance des deux notions
✓ Vu

Voici uniquement le tableau de variations d'une fonction \(g\) définie sur \([-3\,;\,4]\), avec \(g(-3)=-4\), \(g(1)=5\) et \(g(4)=-2\).

x −3 1 4
g (x) −4 5 −2
a) Peut-on affirmer que \(g\) est positive sur \([1\,;\,4]\) simplement parce qu'elle atteint un maximum positif en \(x=1\) ? Justifier.
b) Sachant que \(g(-3)=-4 < 0\) et \(g(1)=5>0\), et que \(g\) est strictement croissante et « continue » (sans saut) sur \([-3\,;\,1]\), que peut-on en déduire sur le nombre de fois où \(g\) s'annule sur cet intervalle ?
c) Même question entre \(x=1\) et \(x=4\), sachant que \(g(1)=5>0\) et \(g(4)=-2<0\).
d) Peut-on construire le tableau de signes complet de \(g\) uniquement à partir du tableau de variations ?

💡 Indices

Le tableau de variations dit seulement que \(g\) descend après \(x=1\), pas jusqu'où. Regarde la valeur \(g(4)=-2\) : que peux-tu en conclure ?
Une fonction qui monte (ou descend) sans saut d'une valeur négative vers une valeur positive doit forcément passer par \(0\) au moins une fois. Mais sait-on où exactement ?
a) g positive sur [1 ; 4] ?

❌ Non — le tableau de variations indique seulement que \(g\) est décroissante sur \([1\,;\,4]\), de \(5\) à \(-2\). Comme \(g(4)=-2<0\), \(g\) devient forcément négative à un moment sur cet intervalle : elle n'est donc pas positive partout.

b) Entre −3 et 1

\(g\) passe de manière continue et croissante d'une valeur négative (\(-4\)) à une valeur positive (\(5\)) : elle s'annule donc exactement une fois sur \(]-3\,;\,1[\), mais on ne connaît pas la valeur exacte de ce zéro avec ce seul tableau.

c) Entre 1 et 4

De même, \(g\) passe de manière continue et décroissante d'une valeur positive (\(5\)) à une valeur négative (\(-2\)) : elle s'annule exactement une fois sur \(]1\,;\,4[\).

d) Tableau de signes complet ?

❌ Non — on sait qu'il existe un zéro de chaque côté de \(x=1\), mais le tableau de variations seul ne donne pas leur valeur exacte. Il faudrait une information supplémentaire (une courbe, une factorisation, un calcul...) pour compléter le tableau de signes.

⚠ À retenir : le tableau de variations ne suffit jamais, à lui seul, à construire le tableau de signes — et réciproquement. Ce sont deux outils complémentaires mais indépendants.

Exercice 3 / 6

Vrai / Faux Pièges classiques
✓ Vu

On reprend la fonction \(f\) de l'exercice 1, dont voici les deux tableaux.

Variations

x −4 −1 2 5
f (x) 2 −3 5 −2

Signes

x −4 −2 1 4 5
f (x) + 0 − 0 + 0 −

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant à l'aide des deux tableaux.

a) \(f\) est positive sur tout l'intervalle où elle est croissante.
b) Le maximum de \(f\), atteint en \(x=2\), est une valeur strictement positive.
c) Les zéros de \(f\) coïncident avec ses extremums.
d) Sur l'intervalle \([2\,;\,5]\) où \(f\) est décroissante, le signe de \(f\) change une fois.

💡 Indices

\(f\) est croissante sur \([-1\,;\,2]\). Regarde le tableau de signes sur ce même intervalle : le signe y est-il constant ?
Compare simplement les valeurs marquées en double-barre dans chaque tableau : sont-elles les mêmes ?
a) Positive sur tout l'intervalle croissant

❌ FAUX — \(f\) est croissante sur \([-1\,;\,2]\), mais son signe change en \(x=1\) sur cet intervalle : elle est négative sur \(]-1\,;\,1[\) puis positive sur \(]1\,;\,2]\).

b) Maximum strictement positif

✓ VRAI — \(f(2)=5>0\).

c) Zéros = extremums ?

❌ FAUX — les zéros de \(f\) sont \(-2\), \(1\) et \(4\), tandis que ses extremums sont atteints en \(-1\) et \(2\) : ce sont des abscisses totalement différentes.

d) Signe change une fois sur [2 ; 5]

✓ VRAI — \(f\) est positive juste après \(2\), puis négative après le zéro en \(x=4\) : un seul changement de signe sur cet intervalle.

Exercice 4 / 6

Synthèse Croiser les informations
✓ Vu

On reprend une nouvelle fois les deux tableaux de la fonction \(f\) (exercice 1).

Variations

x −4 −1 2 5
f (x) 2 −3 5 −2

Signes

x −4 −2 1 4 5
f (x) + 0 − 0 + 0 −
a) Sur quel(s) intervalle(s) \(f\) est-elle à la fois croissante et positive ?
b) Sur quel(s) intervalle(s) \(f\) est-elle à la fois croissante et négative ?
c) Sur quel(s) intervalle(s) \(f\) est-elle à la fois décroissante et négative ?

💡 Indices

Superpose mentalement les deux tableaux sur un même axe gradué de \(-4\) à \(5\), en reportant toutes les valeurs remarquables (\(-2\), \(-1\), \(1\), \(2\), \(4\)) dans l'ordre. Découpe alors l'intervalle en petits morceaux où variation ET signe sont tous les deux constants.
\(f\) est croissante sur \([-1\,;\,2]\). Sur ce même intervalle, à partir de quelle abscisse le signe devient-il positif ?
Découpage complet de [−4 ; 5]

En reportant les valeurs \(-4,-2,-1,1,2,4,5\) dans l'ordre, on obtient six petits intervalles, chacun avec un sens de variation et un signe constants :

]−4 ; −2[décroissante, positive
]−2 ; −1[décroissante, négative
]−1 ; 1[croissante, négative
]1 ; 2[croissante, positive
]2 ; 4[décroissante, positive
]4 ; 5[décroissante, négative
a) Croissante ET positive
\(]1\,;\,2]\)
b) Croissante ET négative
\(]-1\,;\,1[\)
c) Décroissante ET négative
\(]-2\,;\,-1] \cup\, ]4\,;\,5]\)

Exercice 5 / 6

Construction Les deux tableaux
✓ Vu

Une fonction \(h\) est définie sur \([-5\,;\,3]\). Elle est décroissante sur \([-5\,;\,0]\) puis croissante sur \([0\,;\,3]\). On sait que \(h(-5)=1\), \(h(0)=-4\) (minimum) et \(h(3)=2\). De plus, \(h\) s'annule en \(x=-3\) et en \(x=1\).

a) Dresser le tableau de variations de \(h\) sur \([-5\,;\,3]\).
b) Dresser le tableau de signes de \(h\) sur \([-5\,;\,3]\).

💡 Indices

Une seule double-barre pour les variations : \(x=0\), où \(h\) atteint son minimum \(-4\).
Deux double-barres pour les signes : \(x=-3\) et \(x=1\). Comme \(h(-5)=1>0\) et \(h\) décroît jusqu'à \(-4\) en passant par \(0\) en \(x=-3\), le signe est \(+\) avant \(-3\) et \(-\) après.
a) Tableau de variations de h
x −5 0 3
h (x) 1 −4 2
b) Tableau de signes de h
x −5 −3 1 3
h (x) + 0 − 0 +

Exercice 6 / 6

Problème Synthèse finale
✓ Vu

La température \(T(t)\) (en °C) relevée pendant une journée d'hiver, en fonction du temps \(t\) (en heures), est modélisée par une fonction définie sur \([0\,;\,24]\). On sait que :

\(T\) décroît de \(T(0)=-2\)°C à \(T(6)=-8\)°C (minimum, nuit).
\(T\) croît ensuite jusqu'à \(T(15)=6\)°C (maximum, après-midi).
\(T\) redécroît jusqu'à \(T(24)=-3\)°C.
\(T\) s'annule (passage au-dessus de \(0\)°C) en \(t=11\), puis repasse en dessous de \(0\)°C en \(t=21\).
1) Dresser le tableau de variations de \(T\) sur \([0\,;\,24]\).
2) Dresser le tableau de signes de \(T\) sur \([0\,;\,24]\).
3) Pendant quelles heures la température est-elle strictement positive ?
4) La température est-elle croissante pendant toute la période où elle est positive ? Justifier à l'aide des deux tableaux.

💡 Indices

La température est positive sur \(]11\,;\,21[\). Elle est croissante seulement jusqu'à \(t=15\). Que se passe-t-il donc entre \(15\) et \(21\) ?
1) Tableau de variations de T
t 0 6 15 24
T (t) −2 −8 6 −3
2) Tableau de signes de T
t 0 11 21 24
T (t) − 0 + 0 −
3) Température strictement positive
Sur \(]11\,;\,21[\), c'est-à-dire de 11 h à 21 h.
4) Croissante pendant toute la période positive ?

❌ Non — la température est positive sur \(]11\,;\,21[\), mais elle n'est croissante que jusqu'à \(t=15\) (le maximum). Sur \(]15\,;\,21[\), elle est décroissante tout en restant positive : elle redescend de \(6°C\) vers \(0°C\).

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