Signe d'un produit —
et d'un quotient

Fonctions — Feuille d'exercices — 2nde

f(x)·g(x) Tableau de signes Règle des signes

📌 Signe d'un produit / quotient — la règle et la méthode

① La règle des signes
Le signe d'un produit (ou d'un quotient) ne dépend que du signe de chacun des deux facteurs — jamais de leur valeur.
× ou ÷+−
++−
−−+
② Méthode du tableau de signes
On étudie le signe de chaque facteur séparément, on reporte tous les zéros sur la ligne des \(x\), puis on applique la règle des signes intervalle par intervalle.
\(f(x)\cdot g(x)\) ou \(\dfrac{f(x)}{g(x)}\)
Même signe \(\Rightarrow\) résultat \(+\)
Signes différents \(\Rightarrow\) résultat \(-\)
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Exercice 1 / 6

Règle des signes Sans étude de fonction
✓ Vu

Déterminer le signe de chaque produit ou quotient, sans calculer sa valeur exacte.

a)
\((-5) \times 3\)
b)
\((-7) \times (-2)\)
c)
\(8 \div (-4)\)
d)
\((-9) \div (-3)\)

💡 Indices

Deux facteurs de même signe donnent un résultat positif ; deux facteurs de signes différents donnent un résultat négatif. Cette règle vaut aussi bien pour un produit que pour un quotient.
Commence par repérer le signe de chaque nombre : dans a), \(-5\) est négatif et \(3\) est positif. Sont-ils de même signe ?
Règle : même signe \(\Rightarrow\) résultat \(+\)  |  signes différents \(\Rightarrow\) résultat \(-\).
a) \((-5) \times 3\)
Signes\(-\) et \(+\) → signes différents
Conclusionnégatif : \((-5)\times 3 = -15\)
b) \((-7) \times (-2)\)
Signes\(-\) et \(-\) → même signe
Conclusionpositif : \((-7)\times(-2) = 14\)
c) \(8 \div (-4)\)
Signes\(+\) et \(-\) → signes différents
Conclusionnégatif : \(8 \div (-4) = -2\)
d) \((-9) \div (-3)\)
Signes\(-\) et \(-\) → même signe
Conclusionpositif : \((-9) \div (-3) = 3\)

Exercice 2 / 6

Tableau de signes Produit de deux facteurs
✓ Vu

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = (x-2)(x+4)\).

a) Déterminer le zéro de chaque facteur.
b) Étudier le signe de chaque facteur sur \(\mathbb{R}\).
c) Dresser le tableau de signes de \(f(x)\) sur \(\mathbb{R}\).
d) En déduire le signe de \(f(x)\) selon les valeurs de \(x\).

💡 Indices

\(x-2\) s'annule pour \(x=2\). \(x+4\) s'annule pour \(x=-4\). Place-les dans l'ordre croissant sur la ligne des \(x\).
Un facteur du type \(x-a\) (coefficient de \(x\) positif) est négatif avant \(a\) et positif après \(a\).
a) Zéros de chaque facteur

\(x-2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\)  |  \(x+4 = 0 \Leftrightarrow x = -4\)

b) Signe de chaque facteur

\(x-2\) est négatif sur \(]-\infty\,;\,2[\) et positif sur \(]2\,;\,+\infty[\).
\(x+4\) est négatif sur \(]-\infty\,;\,-4[\) et positif sur \(]-4\,;\,+\infty[\).

c) et d) Tableau de signes de \(f(x)\)
x −∞ −4 2 +∞
\(x+4\) − 0+ ++
\(x-2\) − −− 0+
\(f(x)\) + 0− 0+
Sur ]−∞ ; −4[\(-\) × \(-\) = +
Sur ]−4 ; 2[\(+\) × \(-\) = −
Sur ]2 ; +∞[\(+\) × \(+\) = +
\(f(x) \geqslant 0\) sur \(]-\infty\,;\,-4] \cup [2\,;\,+\infty[\) et \(f(x) \leqslant 0\) sur \([-4\,;\,2]\).

Exercice 3 / 6

Quotient Valeur interdite
✓ Vu

On considère la fonction \(q\) définie par \(q(x) = \dfrac{x+3}{x-2}\) pour tout \(x \neq 2\).

a) Déterminer le zéro du numérateur puis celui du dénominateur.
b) Étudier séparément le signe du numérateur et du dénominateur.
c) Dresser le tableau de signes de \(q(x)\). Que se passe-t-il en \(x=2\) ?
d) En déduire le signe de \(q(x)\) selon les valeurs de \(x\).

💡 Indices

Un dénominateur ne peut jamais être nul. En \(x=2\), on inscrit une double barre ‖ car \(q(x)\) n'existe pas — jamais un 0 à cet endroit.
\(x+3\) s'annule en \(x=-3\) : il est négatif avant, positif après. En \(x=-3\), le quotient vaut bien \(0\) puisque \(q(x)\) existe à cet endroit.
a) Zéros

Numérateur : \(x+3 = 0 \Leftrightarrow x = -3\). Dénominateur : \(x-2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\) (valeur interdite).

b) Signe du numérateur et du dénominateur

\(x+3\) est négatif sur \(]-\infty\,;\,-3[\) et positif sur \(]-3\,;\,+\infty[\).
\(x-2\) est négatif sur \(]-\infty\,;\,2[\) et positif sur \(]2\,;\,+\infty[\).

c) et d) Tableau de signes de \(q(x)\)
x −∞ −3 2 +∞
\(x+3\) − 0+ ++
\(x-2\) − −− ‖+
\(q(x)\) + 0− ‖+
Sur ]−∞ ; −3[\(-\) ÷ \(-\) = +
Sur ]−3 ; 2[\(+\) ÷ \(-\) = −
En x = 2valeur interdite → double barre ‖, \(q(x)\) n'existe pas
Sur ]2 ; +∞[\(+\) ÷ \(+\) = +
\(q(x) \geqslant 0\) sur \([-3\,;\,2[ \cup ]2\,;\,+\infty[\) et \(q(x) \leqslant 0\) sur \(]-\infty\,;\,-3]\). \(q(x)\) n'est pas définie en \(x=2\).

Exercice 4 / 6

Vrai / Faux Pièges classiques
✓ Vu

Chaque affirmation est-elle vraie ou fausse ? Justifier la réponse.

a) Le produit de deux nombres négatifs est toujours négatif.
b) Un zéro du dénominateur d'un quotient est une valeur interdite.
c) Aux zéros du dénominateur, on inscrit un 0 dans le tableau de signes du quotient.
d) Pour étudier le signe de \((x-1)(x+5)\), il suffit d'étudier séparément le signe de chaque facteur puis d'appliquer la règle des signes.

💡 Indices

Deux facteurs de même signe... même s'ils sont tous les deux négatifs, quel est le signe du résultat ?
Un dénominateur nul rend la division impossible. Peut-on alors dire que le quotient « vaut 0 » à cet endroit ?
a) Le produit de deux nombres négatifs est toujours négatif.

❌ FAUX — deux facteurs de même signe donnent toujours un résultat positif. Exemple : \((-3)\times(-2) = 6 > 0\).

b) Un zéro du dénominateur d'un quotient est une valeur interdite.

✓ VRAI — diviser par 0 est impossible ; cette valeur de \(x\) n'appartient pas à l'ensemble de définition du quotient.

c) Aux zéros du dénominateur, on inscrit un 0 dans le tableau de signes du quotient.

❌ FAUX — on inscrit une double barre \(\|\), jamais un 0. Le quotient n'existe tout simplement pas à cet endroit.

d) Pour étudier le signe de \((x-1)(x+5)\), il suffit d'étudier séparément le signe de chaque facteur puis d'appliquer la règle des signes.

✓ VRAI — c'est exactement la méthode du tableau de signes vue dans le rappel.

⚠ Piège : ne confonds jamais « zéro du numérateur » (le quotient vaut 0, c'est une valeur qui existe) et « zéro du dénominateur » (valeur interdite, double barre \(\|\)).

Exercice 5 / 6

Réflexion Résoudre une inéquation
✓ Vu

Utiliser un tableau de signes pour résoudre chaque inéquation.

a) \((x-3)(x+2) > 0\)
b) \((x-3)(x+2) \leqslant 0\)
c) \(\dfrac{2x-4}{x+1} \geqslant 0\)
d) \((-x+5)(x+1) < 0\)

💡 Indices

Dresse le tableau de signes de l'expression, puis lis directement les intervalles où le signe correspond à l'inégalité demandée. N'oublie pas d'exclure les valeurs interdites.
Le facteur \(-x+5\) a un coefficient négatif devant \(x\) : il est donc positif avant 5 et négatif après — le sens est inversé par rapport à un facteur \(x-a\) classique.
a) et b) \((x-3)(x+2)\)
x −∞ −2 3 +∞
\((x-3)(x+2)\) + 0− 0+
a) \(S = \;]-\infty\,;\,-2[\, \cup\, ]3\,;\,+\infty[\)   b) \(S = [-2\,;\,3]\)
c) \(\dfrac{2x-4}{x+1} \geqslant 0\)
Zérosnumérateur : \(x=2\)  |  dénominateur : \(x=-1\) (interdit)
Sur ]−∞;−1[\(-\) ÷ \(-\) = +
Sur ]−1;2[\(-\) ÷ \(+\) = −
Sur ]2;+∞[\(+\) ÷ \(+\) = +
\(S = \;]-\infty\,;\,-1[\, \cup\, [2\,;\,+\infty[\)  (\(x=2\) est inclus car le quotient y vaut 0 ; \(x=-1\) est exclu, valeur interdite).
d) \((-x+5)(x+1) < 0\)
Zéros\(-x+5=0 \Leftrightarrow x=5\)  |  \(x+1=0 \Leftrightarrow x=-1\)
Signe de \(-x+5\)positif avant 5, négatif après (coefficient négatif : sens inversé)
Sur ]−∞;−1[\(+\) × \(-\) = −
Sur ]−1;5[\(+\) × \(+\) = +
Sur ]5;+∞[\(-\) × \(+\) = −
\(S = \;]-\infty\,;\,-1[\, \cup\, ]5\,;\,+\infty[\)

Exercice 6 / 6

Problème Application Signe d'un produit
✓ Vu

Une entreprise fabrique et vend \(x\) objets, avec \(x \in [0\,;\,40]\). Le bénéfice réalisé, en euros, est modélisé par \(B(x) = (x-5)(40-x)\).

1) Déterminer les valeurs de \(x\) pour lesquelles chaque facteur s'annule.
2) Étudier le signe de chaque facteur sur \([0\,;\,40]\).
3) Dresser le tableau de signes de \(B(x)\) sur \([0\,;\,40]\).
4) En déduire pour quelles quantités \(x\) l'entreprise réalise un bénéfice strictement positif.

💡 Indices

Ici \(x\) varie seulement sur \([0\,;\,40]\) : le tableau de signes se limite à cet intervalle, avec \(0\) et \(40\) comme bornes (pas \(-\infty\) et \(+\infty\)).
« Bénéfice strictement positif » signifie \(B(x) > 0\). Regarde sur quel intervalle du tableau le signe de \(B(x)\) est \(+\), sans les zéros.
1) Zéros de chaque facteur

\(x-5 = 0 \Leftrightarrow x=5\)  |  \(40-x = 0 \Leftrightarrow x=40\)

2) Signe de chaque facteur sur [0 ; 40]

\(x-5\) est négatif sur \([0\,;\,5[\) et positif sur \(]5\,;\,40]\).
\(40-x\) est positif sur \([0\,;\,40[\) et nul en \(x=40\).

3) Tableau de signes de B(x)
x 0 5 40
\(x-5\) − 0+
\(40-x\) + ++ 0
\(B(x)\) − 0+ 0
Sur [0 ; 5[\(-\) × \(+\) = −
Sur ]5 ; 40[\(+\) × \(+\) = +
4) Conclusion
L'entreprise réalise un bénéfice strictement positif pour \(x \in\; ]5\,;\,40[\), c'est-à-dire en vendant strictement entre 5 et 40 objets.

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