Lire une courbe, construire un tableau — deux outils pour tout comprendre d'une fonction
Tu pars d'une vallée, tu grimpes jusqu'à un col, tu redescends dans une combe, puis tu remontes vers le pic final. À mesure que tu avances (\(x\) augmente), ton altitude change : elle monte, descend, remonte.
Une fonction, c'est exactement ça. Le tableau de variations, c'est le profil d'altitude de ta randonnée : il dit quand ça monte, quand ça descend, et à quelle hauteur on est aux sommets et fonds de vallée. Pas besoin de calculer — il suffit de lire la courbe.
Le profil de randonnée = le sens de variation de la fonction. Montée ↗ = croissante, descente ↘ = décroissante.
On dit que \(f\) est croissante sur \([a\,;\,b]\) si : pour tous \(x_1 < x_2\) dans \([a\,;\,b]\), on a \(f(x_1) < f(x_2)\).
Quand \(x\) augmente, l'image augmente aussi. La courbe monte de gauche à droite.
On dit que \(f\) est décroissante sur \([a\,;\,b]\) si : pour tous \(x_1 < x_2\) dans \([a\,;\,b]\), on a \(f(x_1) > f(x_2)\).
Quand \(x\) augmente, l'image diminue. La courbe descend de gauche à droite.
Quand \(f\) passe de croissante à décroissante, elle atteint un maximum local (sommet de montagne). Quand elle passe de décroissante à croissante, elle atteint un minimum local (fond de vallée). Ces valeurs remarquables sont les extremums de \(f\).
On lit la courbe de gauche à droite et on remplit le tableau colonne par colonne.
Ligne x : écris les bornes à gauche et à droite. Place les abscisses des extremums au milieu, séparés par des double-barres violettes.
Sens : entre chaque paire, la courbe monte → flèche ↗ verte ; elle descend → flèche ↘ rouge.
Ligne f(x) : la valeur d'un maximum se place en haut de la cellule. La valeur d'un minimum se place en bas. La flèche relie visuellement ces deux étages.
La courbe ci-dessus donne le tableau suivant. Les flèches SVG relient les valeurs d'un étage à l'autre.
| x | −3 | −1 | 1 | 2 | |||
| f (x) | −5 | 4 | −2 | 3 |
⚠️ Pièges fréquents
- L'abscisse du maximum (\(x=-1\)) ≠ la valeur du maximum (\(f(-1)=4\)).
- Les images aux bornes (\(-5\) et \(3\)) ne sont pas forcément des extremums — elles se placent à l'étage correspondant à la hauteur réelle de la courbe.
Une fonction \(g\) est définie sur \([-2\,;\,3]\). Sa courbe descend de \(-2\) à \(0\), puis monte de \(0\) à \(3\).
On sait que \(g(-2) = 5\), \(g(0) = -1\) et \(g(3) = 6\).
Saisis les valeurs dans les cases bleues et clique sur la bonne flèche pour chaque intervalle.
| x | −2 | 0 | 3 | ||
| g(x) |
Sens ?
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Sens ?
|
Le tableau de variations de \(h\) sur \([-4\,;\,4]\) est donné ci-dessous. Réponds aux questions.
| x | −4 | −1 | 2 | 4 | |||
| h(x) | −3 | 7 | 1 | 5 |
Imagine que l'axe des abscisses est le niveau de la mer. La courbe de la fonction, c'est le relief : un plateau au-dessus de l'eau (f positive), une tranchée sous-marine (f négative), ou exactement au niveau de la mer (f s'annule).
Le tableau de signes est la carte bathymétrique : il dit, pour chaque portion de l'axe des \(x\), si la fonction est au-dessus (\(+\)), en dessous (\(-\)), ou à zéro.
Terre (au-dessus du niveau) → signe +. Tranchée sous-marine (en-dessous) → signe −. Littoral (sur l'axe) → valeur 0.
Pour un réel \(x_0\) :
Une fonction ne peut changer de signe qu'en s'annulant. Entre deux zéros consécutifs, la courbe reste entièrement au-dessus ou entièrement en dessous de l'axe.
Ligne x : écris les bornes. Repère les zéros (croisements avec l'axe des \(x\)) et place-les dans l'ordre croissant, séparés par des double-barres violettes.
Ligne signe : sous chaque zéro, écris 0. Dans chaque intervalle entre deux zéros, lis si la courbe est au-dessus (+) ou en dessous (−) de l'axe.
Astuce : le signe change à chaque zéro. Détermine le signe du premier intervalle, les autres alternent.
La fonction \(f\) a trois zéros : \(x_1=-1\), \(x_2=1\), \(x_3=2\), sur \([-2\,;\,4]\). Elle est négative avant \(x_1\).
| x | −2 | −1 | 1 | 2 | 4 | ||||
| f (x) | − | 0 | + | 0 | − | 0 | + |
⚠️ Pièges fréquents
- Un extremum (sommet ou creux) ≠ un zéro. Un minimum peut rester positif s'il est au-dessus de l'axe.
- Si la courbe est tangente à l'axe sans le traverser, il y a bien un zéro, mais le signe ne change pas.
- Les cellules aux bornes du domaine restent toujours vides.
La courbe de \(k\) sur \([-3\,;\,4]\) coupe l'axe en \(x=-1\) et \(x=2\) uniquement.
Sur \(]-3\,;\,-1[\), la courbe est au-dessus de l'axe.
Clique sur + ou − pour remplir les cases colorées.
| x | −3 | −1 | 2 | 4 | |||
| k(x) |
|
0 |
|
0 |
|
Tu sais maintenant lire le signe d'une fonction. Mais en 2nde, on te demande souvent le signe d'un produit \(f(x) \cdot g(x)\) ou d'un quotient \(\dfrac{f(x)}{g(x)}\). Bonne nouvelle : une seule règle suffit.
Le signe d'un produit (ou d'un quotient) de deux facteurs ne dépend que des signes de chacun :
| × ou ÷ | \(+\) | \(-\) |
| \(+\) | + | − |
| \(-\) | − | + |
Construis le tableau de signes de \(f\) (ses zéros, son signe sur chaque intervalle).
Construis le tableau de signes de \(g\) en dessous, avec les mêmes colonnes. Reporte tous les zéros de \(f\) et de \(g\) sur la ligne \(x\).
Ajoute une 3ᵉ ligne pour le produit. Dans chaque intervalle, applique la règle des signes : même signe → +, signes différents → −. Aux zéros de \(f\) ou \(g\), le produit vaut 0.
On pose \(h(x) = (x+2)(x-3)\). Les zéros sont \(x=-2\) (pour \(x+2\)) et \(x=3\) (pour \(x-3\)).
Le facteur \((x+2)\) est négatif pour \(x < -2\) et positif pour \(x > -2\).
Le facteur \((x-3)\) est négatif pour \(x < 3\) et positif pour \(x > 3\).
| x | −∞ | −2 | 3 | +∞ | |||
| \(x+2\) | − | 0 | + | + | + | ||
| \(x-3\) | − | − | − | 0 | + | ||
| \(h(x)\) | + | 0 | − | 0 | + |
Le signe d'un quotient \(\dfrac{f(x)}{g(x)}\) suit la même règle que le produit. La seule différence : aux zéros du dénominateur \(g\), le quotient n'existe pas (division par zéro). On inscrit une double barre \(\|\) au lieu de \(0\).
On pose \(q(x) = \dfrac{x-1}{x+4}\). Zéro du numérateur : \(x=1\). Zéro du dénominateur : \(x=-4\) (valeur interdite).
| x | −∞ | −4 | 1 | +∞ | |||
| \(x-1\) | − | − | − | 0 | + | ||
| \(x+4\) | − | 0 | + | + | + | ||
| \(q(x)\) | + | ‖ | − | 0 | + |
⚠️ Pièges fréquents
- Zéro du numérateur → le quotient vaut 0 (c'est une valeur qui existe).
- Zéro du dénominateur → le quotient n'existe pas → double barre ‖, jamais 0.
- Ne pas oublier de reporter tous les zéros (de \(f\) et de \(g\)) sur la ligne \(x\), même ceux qui ne sont pas des zéros du produit/quotient lui-même.
On considère \(p(x) = (x+1)(x-4)\). Les zéros sont \(-1\) et \(4\).
Le facteur \((x+1)\) est négatif avant \(-1\), le facteur \((x-4)\) est négatif avant \(4\).
Clique sur + ou − pour compléter le signe du produit \(p(x)\) dans chaque intervalle.
| x | −∞ | −1 | 4 | +∞ | |||
| \(x+1\) | − | 0 | + | + | + | ||
| \(x-4\) | − | − | − | 0 | + | ||
| \(p(x)\) |
|
0 |
|
0 |
|
Question : La fonction monte ou descend-elle ?
Contenu : Flèches ↗ ↘, valeurs aux extremums.
Métaphore : Profil d'altitude d'une randonnée.
Question : La fonction est-elle positive ou négative ?
Contenu : Signes +/−, zéros de la fonction.
Métaphore : Carte mer (−) / terre (+).
Ces deux tableaux sont indépendants. Une fonction peut être croissante et négative (elle monte mais reste sous l'axe), ou décroissante et positive. Variations ≠ Signes.