La fonction
carrée

Chapitre 3 — Fonctions de référence — Feuille d'exercices n°1 — 2^nde

f(x) = x² Parabole Éq. / Inéq.

📌 Fonction carrée — l'essentiel

① Définition & variations

\(f(x) = x^2\) est définie sur \(\mathbb{R}\). Sa courbe est une parabole de sommet \(O(0\,;\,0)\).

Décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\)
Croissante sur \([0\,;\,+\infty[\)
Toujours \(x^2 \geq 0\)

② Résoudre \(x^2 = k\), \(x^2 < k\), \(x^2 > k\)

Tout dépend du signe de \(k\) :

\(k<0\) : aucune solution pour \(x^2=k\) ou \(x^2<k\)
\(k>0\) : \(x^2=k \Rightarrow x=\pm\sqrt{k}\)
\(k>0\) : \(x^2<k \Rightarrow -\sqrt{k}<x<\sqrt{k}\)

Corrections vues :

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Exercice 1 / 6

Calculer une image Ensemble de définition

✓ Vu

On considère la fonction carrée \(f(x) = x^2\). Calculer les images suivantes.

\(f(4)\)

\(f(-5)\)

\(f\!\left(\dfrac{1}{2}\right)\)

\(f(-0{,}1)\)

Existe-t-il un réel \(x\) pour lequel \(f(x)\) n'est pas défini ? Justifier.

💡 Indices

Attention au signe : \((-5)^2\) n'est pas la même chose que \(-5^2\). Ici on élève bien \(-5\) au carré.

On peut toujours élever un réel au carré, quel que soit son signe. Quel est l'ensemble de définition de la fonction carrée ?

a) \(f(4)\)

Calcul\(f(4) = 4^2 = 16\)

b) \(f(-5)\)

Calcul\(f(-5) = (-5)^2 = 25\)

c) \(f\!\left(\frac12\right)\)

Calcul\(f\!\left(\frac12\right) = \left(\frac12\right)^2 = \frac14\)

d) \(f(-0{,}1)\)

Calcul\(f(-0{,}1) = (-0{,}1)^2 = 0{,}01\)

Non, il n'existe aucun réel qui pose problème : tout réel peut être élevé au carré. L'ensemble de définition de \(f\) est \(\mathbb{R}\).

Exercice 2 / 6

Équations Inéquations

✓ Vu

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations et inéquations suivantes.

\(x^2 = 25\)

\(x^2 = -4\)

\(x^2 = 10\)

\(x^2 \leq 9\)

\(x^2 > 2\)

\(x^2 < -1\)

💡 Indices

\(x^2 \leq 9\) revient à dire que \(x\) est compris (au sens large) entre \(-\sqrt{9}\) et \(\sqrt{9}\).

Pour \(x^2 > k\) avec \(k>0\), la solution est en dehors de l'intervalle \([-\sqrt{k}\,;\,\sqrt{k}]\). Pour f), regarde d'abord le signe du second membre.

a) \(x^2 = 25\)

25 > 0\(x = \sqrt{25} = 5\) ou \(x=-5\)

\(\mathcal{S} = \{-5\,;\,5\}\)

b) \(x^2 = -4\)

\(-4 < 0\) : impossible, car un carré est toujours positif ou nul.

\(\mathcal{S} = \varnothing\)

c) \(x^2 = 10\)

10 > 0\(x = \sqrt{10}\) ou \(x=-\sqrt{10}\)

\(\mathcal{S} = \{-\sqrt{10}\,;\,\sqrt{10}\}\)

d) \(x^2 \leq 9\)

9 > 0\(-\sqrt{9} \leq x \leq \sqrt{9}\), soit \(-3 \leq x \leq 3\)

\(\mathcal{S} = [-3\,;\,3]\)

e) \(x^2 > 2\)

2 > 0\(x < -\sqrt{2}\) ou \(x > \sqrt{2}\)

\(\mathcal{S} = \left]-\infty\,;\,-\sqrt{2}\right[\, \cup\, \left]\sqrt{2}\,;\,+\infty\right[\)

f) \(x^2 < -1\)

Un carré est toujours \(\geq 0\), il ne peut donc jamais être strictement inférieur à \(-1\).

\(\mathcal{S} = \varnothing\)

Exercice 3 / 6

Lecture graphique Symétrie

✓ Vu

Voici la courbe représentative \(\mathcal{C}_f\) de la fonction carrée.

Sans calculatrice, en utilisant uniquement le graphique et la symétrie de la parabole :

a) Lire l'abscisse du point \(A\), puis en déduire son ordonnée par le calcul.

b) Le point \(B\) a la même ordonnée que \(A\). Que peut-on dire de son abscisse ? Justifier à l'aide de la symétrie de la courbe.

c) Le point de coordonnées \((3\,;\,10)\) appartient-il à \(\mathcal{C}_f\) ? Justifier par le calcul.

💡 Indices

La parabole est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées : deux points d'abscisses opposées ont toujours la même image.

Un point \((x_0\,;\,y_0)\) appartient à \(\mathcal{C}_f\) si et seulement si \(f(x_0) = y_0\).

a) Point \(A\)

Graphiquement, \(A\) a pour abscisse \(2\). Donc \(f(2) = 2^2 = 4\) : le point \(A\) a pour coordonnées \((2\,;\,4)\).

b) Point \(B\)

\(B\) a la même ordonnée que \(A\), donc \(y_B = 4\). Par symétrie de la parabole par rapport à l'axe \((Oy)\), son abscisse est l'opposée de celle de \(A\) : \(x_B = -2\). On vérifie : \(f(-2) = (-2)^2 = 4\). ✓

c) Le point \((3\,;\,10)\)

Calcul\(f(3) = 3^2 = 9 \neq 10\)

❌ NON — le point \((3\,;\,10)\) n'appartient pas à \(\mathcal{C}_f\), car l'image de \(3\) par \(f\) est \(9\), et non \(10\).

Exercice 4 / 6

Sens de variation Comparer sans calculer

✓ Vu

En utilisant le sens de variation de la fonction carrée (sans calculer les carrés), comparer les nombres suivants.

a) \(2{,}3^2\) et \(2{,}7^2\)

b) \((-4)^2\) et \((-6)^2\)

c) \((-1{,}5)^2\) et \(1^2\)

d) \(x^2\) et \(4\), sachant que \(-2 \leq x \leq 2\)

💡 Indices

Commence par regarder si les deux nombres sont positifs, négatifs, ou de signes différents, pour savoir quel intervalle de monotonie utiliser.

Pour c), les deux nombres ne sont pas dans le même intervalle : compare directement leur valeur absolue. Pour d), utilise le fait que \(f\) est décroissante puis croissante autour de 0.

Méthode : sur \([0\,;\,+\infty[\), la fonction carrée est croissante (l'ordre se conserve). Sur \(]-\infty\,;\,0]\), elle est décroissante (l'ordre s'inverse).

a) \(2{,}3^2\) et \(2{,}7^2\)

\(0 \leq 2{,}3 \leq 2{,}7\) : deux positifs, \(f\) croissante sur \([0\,;\,+\infty[\), l'inégalité se conserve : \(2{,}3^2 \leq 2{,}7^2\).

b) \((-4)^2\) et \((-6)^2\)

\(-6 \leq -4 \leq 0\) : deux négatifs, \(f\) décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\), l'inégalité s'inverse : \((-4)^2 \leq (-6)^2\) (soit \(16 \leq 36\)).

c) \((-1{,}5)^2\) et \(1^2\)

Les nombres ne sont pas du même signe : on compare leur distance à \(0\). Comme \(|-1{,}5| = 1{,}5 > 1 = |1|\), on a \((-1{,}5)^2 \geq 1^2\) (soit \(2{,}25 \geq 1\)).

d) \(x^2\) et \(4\), avec \(-2 \leq x \leq 2\)

Le minimum de \(f\) sur \([-2\,;\,2]\) est atteint en \(0\) (où \(f(0)=0\)), et le maximum est atteint aux bornes \(-2\) et \(2\) (où \(f(\pm 2) = 4\)). On en déduit que pour tout \(x \in [-2\,;\,2]\) : \(0 \leq x^2 \leq 4\).

Exercice 5 / 6

Vrai / Faux Pièges classiques

✓ Vu

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier chaque réponse.

a) \(-5^2 = 25\)

b) Pour tout réel \(x\), \(x^2 \geq 0\).

c) Si \(a < b\), alors \(a^2 < b^2\).

d) L'équation \(x^2 = -9\) n'a aucune solution.

💡 Indices

Attention à la priorité des opérations : \(-5^2\) signifie \(-(5^2)\), et non \((-5)^2\).

Cherche un contre-exemple avec deux nombres négatifs, par exemple \(a=-3\) et \(b=-1\).

a) \(-5^2 = 25\)

❌ FAUX — sans parenthèses, on élève d'abord \(5\) au carré, puis on applique le signe \(-\) : \(-5^2 = -(5^2) = -25\). Pour obtenir \(25\), il faudrait écrire \((-5)^2\).

b) \(x^2 \geq 0\) pour tout réel \(x\)

✓ VRAI — un carré est toujours positif ou nul, c'est une propriété de la fonction carrée.

c) Si \(a<b\), alors \(a^2<b^2\)

❌ FAUX — contre-exemple : \(a=-3\) et \(b=-1\) vérifient \(a<b\), mais \(a^2 = 9 > 1 = b^2\). La fonction carrée n'est pas croissante sur \(\mathbb{R}\) tout entier (elle décroît sur les négatifs).

d) \(x^2=-9\) n'a aucune solution

✓ VRAI — un carré est toujours \(\geq 0\), il ne peut donc jamais être égal à \(-9\), qui est strictement négatif. \(\mathcal{S} = \varnothing\).

⚠ Erreur très fréquente : ne pas confondre \(-5^2\) (\(=-25\)) et \((-5)^2\) (\(=25\)). Les parenthèses changent tout !

Exercice 6 / 6

Problème Aire d'un carré

✓ Vu

Un carré a un côté de longueur \(x\) centimètres, avec \(x>0\). On note \(\mathcal{A}(x)\) son aire, en cm².

1) Exprimer \(\mathcal{A}(x)\) en fonction de \(x\).

2) Calculer l'aire du carré lorsque \(x = 6\).

3) On veut que l'aire du carré soit exactement égale à \(49\) cm². Quelle doit être la longueur du côté ?

4) On veut à présent que l'aire du carré ne dépasse pas \(64\) cm². Déterminer, à l'aide d'une inéquation, les longueurs de côté possibles.

💡 Indices

Il faut résoudre \(x^2 = 49\), mais n'oublie pas la contrainte \(x>0\) donnée par l'énoncé : une seule des deux solutions mathématiques a un sens ici.

Traduis « l'aire ne dépasse pas 64 » par une inéquation du type \(x^2 \leq 64\), puis résous-la en tenant compte de \(x>0\).

1) Expression de l'aire

Aire\(\mathcal{A}(x) = x \times x = x^2\)

2) Aire pour \(x=6\)

Calcul\(\mathcal{A}(6) = 6^2 = 36\)

L'aire du carré est de 36 cm² lorsque \(x=6\).

3) Aire égale à 49 cm²

Équation\(x^2 = 49\)

Solutions\(49>0\) : \(x = 7\) ou \(x=-7\)

Contexte\(x>0\) (longueur), donc on rejette \(x=-7\)

Le côté du carré mesure 7 cm.

4) Aire au plus égale à 64 cm²

Inéquation\(x^2 \leq 64\)

Résolution\(64>0\) : \(-8 \leq x \leq 8\)

Contexte\(x>0\), donc on ne garde que \(0 < x \leq 8\)

Le côté du carré doit mesurer au plus 8 cm (et strictement plus de 0 cm).