La fonction
inverse

Chapitre 3 — Fonctions de référence — Feuille d'exercices n°2 — 2^nde

g(x) = 1/x Hyperbole Éq. / Inéq.

📌 Fonction inverse — l'essentiel

① Définition & variations

\(g(x) = \dfrac{1}{x}\) est définie sur \(]-\infty\,;\,0[\,\cup\,]0\,;\,+\infty[\). Sa courbe est une hyperbole formée de deux branches.

Décroissante sur \(]-\infty\,;\,0[\)
Décroissante sur \(]0\,;\,+\infty[\)
Attention : ces deux intervalles sont séparés, on ne peut pas les réunir
\(\dfrac{1}{x}\) a le même signe que \(x\)

② Résoudre \(\dfrac{1}{x} = k\), \(\dfrac{1}{x} < k\), \(\dfrac{1}{x} > k\)

Méthodes :

\(\dfrac{1}{x}=k\) avec \(k \neq 0\) : on passe à l'inverse, \(x=\dfrac{1}{k}\)
\(\dfrac{1}{x}=0\) : aucune solution
Pour une inéquation, on ramène à un seul membre puis on étudie le signe d'un quotient : \(\dfrac{1}{x}-k>0 \iff \dfrac{1-kx}{x}>0\)

Corrections vues :

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Exercice 1 / 6

Calculer une image Ensemble de définition

✓ Vu

On considère la fonction inverse \(g(x) = \dfrac{1}{x}\). Calculer les images suivantes.

\(g(2)\)

\(g(-5)\)

\(g(0{,}25)\)

\(g\!\left(-\dfrac{1}{3}\right)\)

Existe-t-il un réel \(x\) pour lequel \(g(x)\) n'est pas défini ? Justifier.

💡 Indices

Prendre l'inverse de \(-\frac13\) revient à « retourner » la fraction : l'inverse de \(-\frac13\) est \(-3\).

On ne peut jamais diviser par \(0\). Quel est donc l'ensemble de définition de la fonction inverse ?

a) \(g(2)\)

Calcul\(g(2) = \dfrac{1}{2} = 0{,}5\)

b) \(g(-5)\)

Calcul\(g(-5) = \dfrac{1}{-5} = -0{,}2\)

c) \(g(0{,}25)\)

Calcul\(g(0{,}25) = \dfrac{1}{0{,}25} = 4\)

d) \(g\!\left(-\frac13\right)\)

Calcul\(g\!\left(-\frac13\right) = \dfrac{1}{-\frac13} = -3\)

Oui : \(g(0)\) n'est pas défini, car on ne peut pas diviser par \(0\). L'ensemble de définition de \(g\) est \(]-\infty\,;\,0[\,\cup\,]0\,;\,+\infty[\).

Exercice 2 / 6

Équations Inéquations

✓ Vu

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations et inéquations suivantes.

\(\dfrac{1}{x} = 5\)

\(\dfrac{1}{x} = 0\)

\(\dfrac{1}{x} < 0\)

\(\dfrac{1}{x} > 0\)

\(\dfrac{1}{x} > 3\)

\(\dfrac{1}{x} < -2\)

💡 Indices

\(\dfrac{1}{x}\) a toujours le même signe que \(x\) : pas besoin de calcul, un simple raisonnement sur le signe suffit.

Ramène tout du même côté : \(\dfrac{1}{x}-3>0 \iff \dfrac{1-3x}{x}>0\). Étudie ensuite le signe du numérateur et du dénominateur séparément dans un tableau.

a) \(\dfrac{1}{x} = 5\)

5 ≠ 0on passe à l'inverse : \(x = \dfrac{1}{5}\)

\(\mathcal{S} = \left\{\dfrac{1}{5}\right\}\)

b) \(\dfrac{1}{x} = 0\)

Un inverse n'est jamais nul : il n'existe aucun réel \(x\) tel que \(\dfrac{1}{x}=0\).

\(\mathcal{S} = \varnothing\)

c) \(\dfrac{1}{x} < 0\)

\(\dfrac{1}{x}\) a le même signe que \(x\), donc \(\dfrac{1}{x}<0 \iff x<0\).

\(\mathcal{S} = \,]-\infty\,;\,0[\)

d) \(\dfrac{1}{x} > 0\)

De même, \(\dfrac{1}{x}>0 \iff x>0\).

\(\mathcal{S} = \,]0\,;\,+\infty[\)

e) \(\dfrac{1}{x} > 3\)

Réécriture\(\dfrac{1}{x} - 3 > 0 \iff \dfrac{1-3x}{x} > 0\)

	\(-\infty\)	0	\(\frac13\)	\(+\infty\)
Signe de \(1-3x\)	+		−
Signe de \(x\)	−	+
Signe du quotient	−	‖	+	−

\(\mathcal{S} = \left]0\,;\,\dfrac{1}{3}\right[\)

f) \(\dfrac{1}{x} < -2\)

Réécriture\(\dfrac{1}{x} + 2 < 0 \iff \dfrac{1+2x}{x} < 0\)

	\(-\infty\)	\(-\frac12\)	0	\(+\infty\)
Signe de \(1+2x\)	−	+
Signe de \(x\)	−		+
Signe du quotient	+	−	‖	+

\(\mathcal{S} = \left]-\dfrac{1}{2}\,;\,0\right[\)

Exercice 3 / 6

Lecture graphique Symétrie centrale

✓ Vu

Voici la courbe représentative \(\mathcal{C}_g\) de la fonction inverse : une hyperbole formée de deux branches.

Les deux axes du repère sont les asymptotes de l'hyperbole.

a) Lire les coordonnées du point \(A\).

b) Le point \(B\) est le symétrique de \(A\) par rapport à l'origine \(O\). Donner ses coordonnées, puis le vérifier par le calcul.

c) Le point de coordonnées \((4\,;\,0{,}4)\) appartient-il à \(\mathcal{C}_g\) ? Justifier par le calcul.

💡 Indices

La fonction inverse est impaire : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère. Le symétrique d'un point \((x\,;\,y)\) est le point \((-x\,;\,-y)\).

Un point \((x_0\,;\,y_0)\) appartient à \(\mathcal{C}_g\) si et seulement si \(g(x_0) = y_0\).

a) Point \(A\)

Graphiquement, \(A\) a pour abscisse \(2\). Donc \(g(2) = \dfrac{1}{2} = 0{,}5\) : le point \(A\) a pour coordonnées \((2\,;\,0{,}5)\).

b) Point \(B\)

\(B\) est le symétrique de \(A\) par rapport à \(O\), donc \(B\) a pour coordonnées \((-2\,;\,-0{,}5)\). On vérifie : \(g(-2) = \dfrac{1}{-2} = -0{,}5\). ✓

c) Le point \((4\,;\,0{,}4)\)

Calcul\(g(4) = \dfrac{1}{4} = 0{,}25 \neq 0{,}4\)

❌ NON — le point \((4\,;\,0{,}4)\) n'appartient pas à \(\mathcal{C}_g\), car l'image de \(4\) par \(g\) est \(0{,}25\), et non \(0{,}4\).

Exercice 4 / 6

Sens de variation Comparer sans calculer

✓ Vu

En utilisant le sens de variation de la fonction inverse (sans effectuer les divisions), comparer les nombres suivants.

a) \(\dfrac{1}{5}\) et \(\dfrac{1}{8}\)

b) \(\dfrac{1}{-7}\) et \(\dfrac{1}{-3}\)

c) \(\dfrac{1}{-2}\) et \(\dfrac{1}{5}\)

d) \(\dfrac{1}{x}\) par rapport à \(\dfrac{1}{5}\) et \(\dfrac{1}{2}\), sachant que \(2 \leq x \leq 5\)

💡 Indices

Vérifie d'abord que les deux nombres sont du même signe : la fonction inverse est décroissante sur chacun des deux intervalles \(]-\infty\,;\,0[\) et \(]0\,;\,+\infty[\) séparément.

Les deux nombres ne sont pas du même signe : pas besoin de règle particulière, compare directement leurs signes.

Méthode : la fonction inverse est décroissante sur \(]0\,;\,+\infty[\) et décroissante sur \(]-\infty\,;\,0[\), mais on ne peut comparer deux nombres avec ces règles que s'ils sont du même signe. Décroissante ⇒ l'ordre s'inverse.

a) \(\dfrac{1}{5}\) et \(\dfrac{1}{8}\)

\(0 < 5 < 8\) : deux positifs, \(g\) décroissante sur \(]0\,;\,+\infty[\), l'inégalité s'inverse : \(\dfrac{1}{5} > \dfrac{1}{8}\).

b) \(\dfrac{1}{-7}\) et \(\dfrac{1}{-3}\)

\(-7 < -3 < 0\) : deux négatifs, \(g\) décroissante sur \(]-\infty\,;\,0[\), l'inégalité s'inverse : \(\dfrac{1}{-3} < \dfrac{1}{-7}\) (soit \(-0{,}33 < -0{,}14\)).

c) \(\dfrac{1}{-2}\) et \(\dfrac{1}{5}\)

Les nombres ne sont pas du même signe : \(\dfrac{1}{-2}\) est négatif et \(\dfrac{1}{5}\) est positif, donc directement \(\dfrac{1}{-2} < \dfrac{1}{5}\).

d) \(\dfrac{1}{x}\) avec \(2 \leq x \leq 5\)

Sur \([2\,;\,5]\), tous les nombres sont positifs et \(g\) y est décroissante : l'ordre s'inverse complètement. On en déduit : \(\dfrac{1}{5} \leq \dfrac{1}{x} \leq \dfrac{1}{2}\).

Exercice 5 / 6

Vrai / Faux Pièges classiques

✓ Vu

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier chaque réponse.

a) \(\dfrac{1}{0} = 0\)

b) Pour tout \(x \neq 0\), \(\dfrac{1}{x}\) a le même signe que \(x\).

c) Si \(a<b\) (avec \(a,b\) non nuls), alors \(\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}\).

d) L'équation \(\dfrac{1}{x} = 0\) n'a aucune solution.

💡 Indices

On ne peut jamais diviser par \(0\) : \(\dfrac{1}{0}\) n'existe tout simplement pas.

Cherche un contre-exemple où \(a\) et \(b\) ne sont pas du même signe, par exemple \(a=-1\) et \(b=1\).

a) \(\dfrac{1}{0} = 0\)

❌ FAUX — la division par \(0\) est impossible. \(\dfrac{1}{0}\) n'existe pas, ce n'est pas égal à \(0\).

b) \(\dfrac{1}{x}\) a le même signe que \(x\)

✓ VRAI — c'est une propriété de la fonction inverse : si \(x>0\) alors \(\frac1x>0\), et si \(x<0\) alors \(\frac1x<0\).

c) Si \(a<b\), alors \(\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}\)

❌ FAUX — contre-exemple : \(a=-1\) et \(b=1\) vérifient \(a<b\), mais \(\dfrac{1}{a}=-1\) et \(\dfrac{1}{b}=1\), donc \(\dfrac{1}{a}<\dfrac{1}{b}\). La règle de décroissance ne s'applique que si \(a\) et \(b\) sont du même signe.

d) \(\dfrac{1}{x}=0\) n'a aucune solution

✓ VRAI — un inverse n'est jamais nul, quel que soit \(x \neq 0\). \(\mathcal{S} = \varnothing\).

⚠ Erreur très fréquente : les règles de comparaison de la fonction inverse ne s'appliquent qu'entre deux nombres de même signe. Si les signes diffèrent, il faut comparer directement, sans « règle magique ».

Exercice 6 / 6

Problème Partage d'une somme

✓ Vu

On partage équitablement une somme de \(60\) € entre \(x\) personnes, où \(x\) est un entier naturel non nul. Chaque personne reçoit alors \(f(x)\) euros.

1) Exprimer \(f(x)\) en fonction de \(x\).

2) Calculer \(f(4)\).

3) Combien doit-il y avoir de personnes pour que chacune reçoive exactement \(12\) € ?

4) On veut que chaque personne reçoive au moins \(5\) €. Déterminer, à l'aide d'une inéquation, les valeurs possibles de \(x\).

💡 Indices

Partager \(60\) € entre \(x\) personnes, c'est diviser \(60\) par \(x\).

Traduis « au moins 5 € » par \(f(x) \geq 5\), c'est-à-dire \(\dfrac{60}{x} \geq 5\). La fonction inverse étant décroissante sur \(]0\,;\,+\infty[\), l'inégalité s'inverse quand on isole \(x\).

1) Expression de \(f(x)\)

Partage\(f(x) = \dfrac{60}{x}\)

2) \(f(4)\)

Calcul\(f(4) = \dfrac{60}{4} = 15\)

Chaque personne reçoit 15 € lorsqu'elles sont 4.

3) Part égale à 12 €

Équation\(\dfrac{60}{x} = 12\)

Résolution\(x = \dfrac{60}{12} = 5\)

Il doit y avoir 5 personnes.

4) Part au moins égale à 5 €

Inéquation\(\dfrac{60}{x} \geq 5\)

Résolutionpour \(x>0\), \(\dfrac{60}{x}\) est décroissante, donc \(\dfrac{60}{x}\geq 5 \iff x \leq \dfrac{60}{5} = 12\)

Il peut y avoir de 1 à 12 personnes (\(0 < x \leq 12\)).