La fonction
racine carrée

Chapitre 3 — Fonctions de référence — Feuille d'exercices n°3 — 2^nde

h(x) = √x Demi-parabole Éq. / Inéq.

📌 Fonction racine carrée — l'essentiel

① Définition & variations

\(h(x) = \sqrt{x}\) est définie sur \(\left[0\,;\,+\infty\right[\). Sa courbe est une demi-parabole.

Croissante sur \(\left[0\,;\,+\infty\right[\)
Toujours \(\sqrt{x} \geq 0\)
Attention : \(\sqrt{x^2} = |x|\), et non \(x\) (qui peut être négatif)

② Résoudre \(\sqrt{x} = k\), \(\sqrt{x} < k\), \(\sqrt{x} > k\)

Tout dépend du signe de \(k\) :

\(k<0\) : \(\sqrt{x}=k\) et \(\sqrt{x}<k\) n'ont aucune solution
\(k\geq 0\) : \(\sqrt{x}=k \iff x=k^2\)
\(k>0\) : \(\sqrt{x}<k \iff x\in\left[0\,;\,k^2\right[\)
\(k\geq 0\) : \(\sqrt{x}>k \iff x\in\left]k^2\,;\,+\infty\right[\)

Corrections vues :

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Exercice 1 / 6

Calculer une image Ensemble de définition

✓ Vu

On considère la fonction racine carrée \(h(x) = \sqrt{x}\). Calculer les images suivantes.

\(h(9)\)

\(h(2)\)

\(h(0)\)

\(h\!\left(\dfrac{1}{4}\right)\)

Existe-t-il un réel \(x\) pour lequel \(h(x)\) n'est pas défini ? Justifier.

💡 Indices

\(2\) n'est pas un carré parfait : \(\sqrt{2}\) ne se simplifie pas, on laisse le résultat sous cette forme (valeur exacte).

On ne peut pas calculer la racine carrée d'un nombre strictement négatif. Quel est l'ensemble de définition de la fonction racine carrée ?

a) \(h(9)\)

Calcul\(h(9) = \sqrt{9} = 3\)

b) \(h(2)\)

Calcul\(h(2) = \sqrt{2}\) (valeur exacte, \(\approx 1{,}41\))

c) \(h(0)\)

Calcul\(h(0) = \sqrt{0} = 0\)

d) \(h\!\left(\frac14\right)\)

Calcul\(h\!\left(\frac14\right) = \sqrt{\frac14} = \frac12\)

Oui : pour tout réel \(x<0\), \(h(x)\) n'est pas défini, car on ne peut pas calculer la racine carrée d'un nombre négatif. L'ensemble de définition de \(h\) est \(\left[0\,;\,+\infty\right[\).

Exercice 2 / 6

Équations Inéquations

✓ Vu

Résoudre dans \(\left[0\,;\,+\infty\right[\) les équations et inéquations suivantes.

\(\sqrt{x} = 6\)

\(\sqrt{x} = -3\)

\(\sqrt{x} = 0\)

\(\sqrt{x} < 4\)

\(\sqrt{x} > 5\)

\(\sqrt{x} > -2\)

💡 Indices

Une racine carrée est toujours positive ou nulle : peut-elle être égale à un nombre négatif ?

\(\sqrt{x}\) est toujours \(\geq 0\), donc toujours strictement supérieur à un nombre négatif comme \(-2\), quel que soit \(x\) dans le domaine.

a) \(\sqrt{x} = 6\)

6 ≥ 0\(x = 6^2 = 36\)

\(\mathcal{S} = \{36\}\)

b) \(\sqrt{x} = -3\)

\(-3<0\) : impossible, car une racine carrée est toujours positive ou nulle.

\(\mathcal{S} = \varnothing\)

c) \(\sqrt{x} = 0\)

Résolution\(x = 0^2 = 0\)

\(\mathcal{S} = \{0\}\)

d) \(\sqrt{x} < 4\)

4 > 0\(0 \leq x < 4^2\), soit \(0 \leq x < 16\)

\(\mathcal{S} = \left[0\,;\,16\right[\)

e) \(\sqrt{x} > 5\)

5 ≥ 0\(x > 5^2 = 25\)

\(\mathcal{S} = \left]25\,;\,+\infty\right[\)

f) \(\sqrt{x} > -2\)

Pour tout \(x\) du domaine, \(\sqrt{x} \geq 0 > -2\) : l'inégalité est donc toujours vraie, sans aucune condition sur \(x\).

\(\mathcal{S} = \left[0\,;\,+\infty\right[\)

Exercice 3 / 6

Lecture graphique Domaine de définition

✓ Vu

Voici la courbe représentative \(\mathcal{C}_h\) de la fonction racine carrée : une demi-parabole.

La courbe ne s'étend que pour \(x \geq 0\) : à gauche de l'axe des ordonnées, il n'y a rien.

a) Lire les coordonnées du point \(A\).

b) Le point \(B\) a pour abscisse \(9\). Lire son ordonnée sur le graphique, puis vérifier ce résultat par le calcul.

c) Le point de coordonnées \((-1\,;\,1)\) appartient-il à \(\mathcal{C}_h\) ? Justifier.

💡 Indices

Repère d'abord l'abscisse du point sur l'axe horizontal, puis son ordonnée sur l'axe vertical.

Regarde d'abord si \(-1\) fait partie de l'ensemble de définition de \(h\), avant même de calculer quoi que ce soit.

a) Point \(A\)

Graphiquement, \(A\) a pour abscisse \(4\). Donc \(h(4) = \sqrt{4} = 2\) : le point \(A\) a pour coordonnées \((4\,;\,2)\).

b) Point \(B\)

Graphiquement, \(B\) semble avoir pour ordonnée \(3\). Par le calcul : \(h(9) = \sqrt{9} = 3\). ✓ Le point \(B\) a pour coordonnées \((9\,;\,3)\).

c) Le point \((-1\,;\,1)\)

❌ NON — \(-1\) n'appartient pas à l'ensemble de définition de \(h\) (qui est \(\left[0\,;\,+\infty\right[\)). Le nombre \(h(-1)\) n'existe donc pas : le point ne peut pas appartenir à \(\mathcal{C}_h\).

Exercice 4 / 6

Sens de variation Comparer sans calculatrice

✓ Vu

En utilisant le sens de variation de la fonction racine carrée, comparer les nombres suivants sans calculatrice.

a) \(\sqrt{7}\) et \(\sqrt{11}\)

b) \(\sqrt{50}\) et \(7\)

c) \(\sqrt{3}\) et \(\sqrt{3{,}5}\)

d) \(\sqrt{x}\), sachant que \(4 \leq x \leq 9\)

💡 Indices

Écris \(7\) sous la forme d'une racine carrée : \(7 = \sqrt{49}\). Il ne reste plus qu'à comparer \(49\) et \(50\).

La fonction racine carrée est croissante : applique-la aux trois membres de l'encadrement \(4 \leq x \leq 9\).

Méthode : la fonction racine carrée est croissante sur \(\left[0\,;\,+\infty\right[\) : elle conserve l'ordre entre deux réels positifs.

a) \(\sqrt{7}\) et \(\sqrt{11}\)

\(0 \leq 7 \leq 11\), et la fonction racine carrée est croissante, donc \(\sqrt{7} \leq \sqrt{11}\).

b) \(\sqrt{50}\) et \(7\)

On écrit \(7 = \sqrt{49}\). Comme \(0 \leq 49 \leq 50\), la croissance de la racine carrée donne \(\sqrt{49} \leq \sqrt{50}\), soit \(7 \leq \sqrt{50}\).

c) \(\sqrt{3}\) et \(\sqrt{3{,}5}\)

\(0 \leq 3 \leq 3{,}5\), donc par croissance : \(\sqrt{3} \leq \sqrt{3{,}5}\).

d) \(\sqrt{x}\) avec \(4 \leq x \leq 9\)

La racine carrée étant croissante, on applique la fonction aux trois membres sans changer le sens des inégalités : \(2 \leq \sqrt{x} \leq 3\).

Exercice 5 / 6

Vrai / Faux Pièges classiques

✓ Vu

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier chaque réponse.

a) \(\sqrt{-4}\) existe et vaut \(-2\).

b) Pour tout \(x \geq 0\), \(\sqrt{x} \geq 0\).

c) Pour tout réel \(x\), \(\sqrt{x^2} = x\).

d) L'équation \(\sqrt{x} = -5\) n'a aucune solution.

💡 Indices

Une racine carrée n'est jamais négative. Et \(-4\) est-il seulement dans le domaine de définition ?

Teste l'affirmation avec un nombre négatif, par exemple \(x=-3\), pour voir si l'égalité tient toujours.

a) \(\sqrt{-4} = -2\)

❌ FAUX — \(-4\) n'est pas dans l'ensemble de définition de la fonction racine carrée (\(\left[0\,;\,+\infty\right[\)) : \(\sqrt{-4}\) n'existe tout simplement pas. De plus, une racine carrée n'est jamais négative.

b) \(\sqrt{x} \geq 0\) pour tout \(x\geq 0\)

✓ VRAI — c'est la définition même de la racine carrée : elle est toujours positive ou nulle.

c) \(\sqrt{x^2} = x\) pour tout réel \(x\)

❌ FAUX — contre-exemple : pour \(x=-3\), \(\sqrt{x^2} = \sqrt{9} = 3 \neq -3\). En réalité, \(\sqrt{x^2} = |x|\) (la valeur absolue de \(x\)), pas \(x\) lui-même.

d) \(\sqrt{x}=-5\) n'a aucune solution

✓ VRAI — une racine carrée est toujours \(\geq 0\), elle ne peut donc jamais être égale à \(-5\), qui est strictement négatif. \(\mathcal{S} = \varnothing\).

⚠ Erreur très fréquente : ne pas confondre \(\sqrt{x^2}\) (\(=|x|\)) et \(x\). Ces deux expressions ne sont égales que si \(x \geq 0\).

Exercice 6 / 6

Problème Côté d'un carré

✓ Vu

Un carré a une aire de \(x\) cm², avec \(x \geq 0\). Son côté mesure alors \(f(x)\) centimètres.

1) Exprimer \(f(x)\) en fonction de \(x\).

2) Calculer \(f(16)\).

3) On veut que le côté du carré mesure exactement \(7\) cm. Quelle est alors l'aire correspondante ?

4) On veut à présent que le côté ne dépasse pas \(5\) cm. Déterminer, à l'aide d'une inéquation, les valeurs possibles de l'aire \(x\).

💡 Indices

Le côté d'un carré est la racine carrée de son aire.

Traduis « ne dépasse pas 5 » par \(f(x) \leq 5\), c'est-à-dire \(\sqrt{x} \leq 5\), puis résous en utilisant la méthode du rappel.

1) Expression de \(f(x)\)

Côté\(f(x) = \sqrt{x}\)

2) \(f(16)\)

Calcul\(f(16) = \sqrt{16} = 4\)

Le côté mesure 4 cm lorsque l'aire vaut 16 cm².

3) Côté égal à 7 cm

Équation\(\sqrt{x} = 7\)

Résolution\(x = 7^2 = 49\)

L'aire correspondante est de 49 cm².

4) Côté au plus égal à 5 cm

Inéquation\(\sqrt{x} \leq 5\)

Résolution\(5 \geq 0\), donc \(0 \leq x \leq 5^2 = 25\)

L'aire \(x\) doit être comprise entre 0 et 25 cm² (\(0 \leq x \leq 25\)).