Chapitre 3 — Fonctions de référence — Feuille d'exercices n°4 — 2nde
📌 Les trois fonctions de référence — tableau comparatif
| Fonction carré | Fonction inverse | Fonction racine carrée | |
|---|---|---|---|
| Expression | \(f(x)=x^2\) | \(g(x)=\dfrac{1}{x}\) | \(h(x)=\sqrt{x}\) |
| Ensemble de définition | \(\mathbb{R}\) | \(\left]-\infty\,;\,0\right[\,\cup\,\left]0\,;\,+\infty\right[\) | \(\left[0\,;\,+\infty\right[\) |
| Sens de variation | Décroît puis croît | Décroît sur chaque intervalle | Croît |
| Signe | Toujours \(\geq 0\) | Signe de \(x\) | Toujours \(\geq 0\) |
| Valeur en 1 | \(1\) | \(1\) | \(1\) |
On considère les trois fonctions de référence \(f(x)=x^2\), \(g(x)=\dfrac{1}{x}\) et \(h(x)=\sqrt{x}\).
d) Ranger les trois résultats obtenus dans l'ordre croissant.
💡 Indices
Donner l'ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes.
💡 Indices
\(m(x)\) est défini si et seulement si \(\sqrt{x}\) et \(\dfrac1x\) sont définis en même temps, c'est-à-dire \(x\geq 0\) et \(x\neq 0\).
On considère les trois fonctions de référence \(f(x)=x^2\), \(g(x)=\dfrac{1}{x}\) et \(h(x)=\sqrt{x}\). En t'appuyant sur le tableau comparatif du rappel, réponds aux questions suivantes.
💡 Indices
\(f\) est croissante sur \(\left[0\,;\,+\infty\right[\), et \(h\) est croissante sur tout son domaine \(\left[0\,;\,+\infty\right[\). Elles sont donc toutes les deux croissantes sur \(\left[0\,;\,+\infty\right[\).
❌ NON — \(g\) est décroissante sur \(\left]-\infty\,;\,0\right[\) et décroissante sur \(\left]0\,;\,+\infty\right[\), mais ces deux intervalles sont séparés (\(0\) n'appartient pas au domaine). On ne peut donc pas affirmer que \(g\) est décroissante sur la réunion des deux : par exemple, \(-1<1\) mais \(g(-1)=-1<1=g(1)\), l'ordre n'est pas inversé entre ces deux intervalles.
\(f(0)=0\) et \(h(0)=0\) existent, mais \(g(0)=\dfrac10\) n'existe pas. Seules \(f\) et \(h\) sont définies en \(0\).
\(f\) grandit beaucoup plus vite que \(h\) : plus \(x\) est grand, plus l'écart entre \(x^2\) et \(\sqrt{x}\) se creuse.
Résoudre les équations et inéquations suivantes (chacune fait appel à une fonction de référence différente).
💡 Indices
| \(-\infty\) | 0 | \(\frac12\) | \(+\infty\) | |
|---|---|---|---|---|
| Signe de \(1-2x\) | + | − | ||
| Signe de \(x\) | − | + | ||
| Signe du quotient | − | ‖ | + | − |
On considère les trois fonctions de référence \(f(x)=x^2\), \(g(x)=\dfrac{1}{x}\) et \(h(x)=\sqrt{x}\). Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier chaque réponse.
💡 Indices
❌ FAUX — contre-exemple : pour \(x=-2\), \(x^2=4\geq0\) ✓, mais \(\dfrac1x=-0{,}5 < 0\). Le signe de \(\dfrac1x\) dépend de celui de \(x\), il n'est pas toujours positif.
✓ VRAI — \(f(1)=1^2=1\), \(g(1)=\dfrac11=1\) et \(h(1)=\sqrt{1}=1\) : les trois fonctions valent \(1\) en \(x=1\). C'est d'ailleurs le seul point (avec les valeurs négatives où certaines ne sont pas définies) où les trois courbes se croisent d'aussi près.
❌ FAUX — \(D_g = \left]-\infty\,;\,0\right[\,\cup\,\left]0\,;\,+\infty\right[\) alors que \(D_h = \left[0\,;\,+\infty\right[\). Par exemple, \(g(-1)\) existe (\(=-1\)) mais \(h(-1)\) n'existe pas.
❌ FAUX — \(f(x)=x^2\) est toujours \(\geq 0\), et \(h(x)=\sqrt{x}\) (quand elle est définie) est toujours \(\geq 0\) également. Il est donc impossible que \(f(x)\) et \(h(x)\) soient toutes deux strictement négatives, quel que soit \(x\).
Un club de sport possède un terrain d'entraînement carré d'aire \(100\) m².
💡 Indices