La fonction cube

Fonctions de référence — Feuille d'exercices — 2nde

\(f(x)=x^3\) Strictement croissante Cubes parfaits

📌 La fonction cube — l'essentiel

① Définition et signe
La fonction cube est définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^3\). Elle passe par l'origine \(O(0\,;\,0)\).
\(f(x) = x^3\)
\(x^3\) a le même signe que \(x\)
② Croissance et résolution de \(x^3=k\)
La fonction cube est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) : \(a < b \;\Leftrightarrow\; a^3 < b^3\). L'équation \(x^3=k\) admet toujours une unique solution, retrouvée par essai sur les cubes parfaits.
💡 À connaître : \(1, 8, 27, 64, 125, 216, 1000\) (et leurs opposés).
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Exercice 1 / 6

Calcul d'images \(f(x)=x^3\)
✓ Vu

On considère la fonction cube \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^3\). Calculer chaque image.

a)
\(f(2)\)
b)
\(f(-3)\)
c)
\(f(0)\)
d)
\(f(5)\)

💡 Indices

\(f(x) = x^3 = x \times x \times x\). Remplace \(x\) par la valeur donnée, puis calcule.
Pour un nombre négatif, le cube garde le même signe : \((-3)^3 = (-3)\times(-3)\times(-3)\) est négatif.
Méthode : \(f(x) = x^3\) — on remplace \(x\) par la valeur donnée et on calcule le cube.
a) \(f(2)\)

\(f(2) = 2^3 = 2\times 2\times 2 = \) 8

b) \(f(-3)\)

\(f(-3) = (-3)^3 = (-3)\times(-3)\times(-3) = \) −27

c) \(f(0)\)

\(f(0) = 0^3 = \) 0

d) \(f(5)\)

\(f(5) = 5^3 = 5\times 5\times 5 = \) 125

Exercice 2 / 6

Comparaison Fonction strictement croissante
✓ Vu

Sans calculer les cubes, comparer chaque paire de nombres en utilisant la croissance de la fonction cube.

a)
\(3^3\) et \(5^3\)
b)
\((-2)^3\) et \((-6)^3\)
c)
\((-4)^3\) et \(2^3\)
d)
\(7^3\) et \(7{,}5^3\)

💡 Indices

\(a < b \;\Leftrightarrow\; a^3 < b^3\). Il suffit donc de comparer les deux nombres de départ, sans calculer leur cube.
Compare d'abord \(-2\) et \(-6\) sur une droite graduée : lequel est le plus grand ?
Propriété : la fonction cube étant strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), \(a < b \Leftrightarrow a^3 < b^3\).
a) \(3^3\) et \(5^3\)

\(3 < 5\) donc \(3^3 < 5^3\)

b) \((-2)^3\) et \((-6)^3\)

\(-6 < -2\) donc \((-6)^3 < (-2)^3\)

c) \((-4)^3\) et \(2^3\)

\(-4 < 2\) donc \((-4)^3 < 2^3\)

d) \(7^3\) et \(7{,}5^3\)

\(7 < 7{,}5\) donc \(7^3 < 7{,}5^3\)

Exercice 3 / 6

Résoudre \(x^3=k\) Cubes parfaits
✓ Vu

Résoudre chaque équation en s'appuyant sur les cubes parfaits.

a)
\(x^3 = 27\)
b)
\(x^3 = -64\)
c)
\(x^3 = 1\)
d)
\(x^3 = -216\)

💡 Indices

Retiens : \(1^3=1\), \(2^3=8\), \(3^3=27\), \(4^3=64\), \(5^3=125\), \(6^3=216\). Cherche quel nombre, mis au cube, donne le résultat demandé.
Pour un résultat négatif, cherche le cube positif correspondant, puis prends l'opposé : si \(a^3=64\), alors \((-a)^3=-64\).
Méthode : l'équation \(x^3=k\) admet une unique solution ; on la retrouve par essai grâce aux cubes parfaits.
a) \(x^3 = 27\)

\(3^3 = 27\) donc \(x = 3\)

b) \(x^3 = -64\)

\(4^3 = 64\) donc \((-4)^3 = -64\) : \(x = -4\)

c) \(x^3 = 1\)

\(1^3 = 1\) donc \(x = 1\)

d) \(x^3 = -216\)

\(6^3 = 216\) donc \((-6)^3 = -216\) : \(x = -6\)

Exercice 4 / 6

Vrai / Faux Pièges classiques
✓ Vu

Chaque affirmation est-elle vraie ou fausse ? Justifier la réponse.

a) \(x^3\) a toujours le même signe que \(x\).
b) L'équation \(x^3=k\) possède toujours deux solutions distinctes.
c) Comme la fonction cube est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), elle conserve l'ordre : \(a < b \Rightarrow a^3 < b^3\).
d) \(x^3 \geqslant 0\) pour tout réel \(x\).

💡 Indices

Regarde le tableau de variations de la fonction cube : est-elle croissante partout, ou change-t-elle de sens quelque part ? Combien de fois chaque valeur \(k\) est-elle donc atteinte ?
Teste avec un nombre négatif, par exemple \(x=-2\) : que vaut \(x^3\) ?
a) \(x^3\) a toujours le même signe que \(x\).

✓ VRAI — \(x^3\) est négatif quand \(x<0\), nul quand \(x=0\), positif quand \(x>0\).

b) L'équation \(x^3=k\) possède toujours deux solutions distinctes.

❌ FAUX — la fonction cube étant strictement croissante sur tout \(\mathbb{R}\), chaque valeur \(k\) n'est atteinte qu'une seule fois : l'équation \(x^3=k\) admet toujours une unique solution.

c) Comme la fonction cube est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), elle conserve l'ordre.

✓ VRAI — c'est exactement la propriété du cours : \(a < b \Leftrightarrow a^3 < b^3\).

d) \(x^3 \geqslant 0\) pour tout réel \(x\).

❌ FAUX — contre-exemple : \(x=-2\) donne \(x^3=(-2)^3=-8 < 0\). Le cube d'un nombre négatif est négatif.

⚠ Piège : ne confonds pas la fonction cube (qui peut donner des valeurs négatives) avec la fonction carré (qui donne toujours des valeurs positives ou nulles). Leurs comportements sont très différents.

Exercice 5 / 6

Réflexion Résoudre une inéquation
✓ Vu

Résoudre chaque inéquation en utilisant la croissance stricte de la fonction cube.

a)
\(x^3 < 8\)
b)
\(x^3 \geqslant -1\)
c)
\(x^3 > 1000\)
d)
\((x-2)^3 < 0\)

💡 Indices

Écris chaque nombre à droite de l'inégalité comme un cube parfait (par exemple \(8=2^3\)), puis utilise \(a^3 < b^3 \Leftrightarrow a < b\) pour retrouver directement une inégalité sur \(x\).
La même propriété s'applique même si \(x\) est remplacé par une expression comme \(x-2\) : \((x-2)^3 < 0 = 0^3 \Leftrightarrow x-2 < 0\).
a) \(x^3 < 8\)
Cube parfait\(8 = 2^3\)
Croissance\(x^3 < 2^3 \Leftrightarrow x < 2\)
\(S = \;]-\infty\,;\,2[\)
b) \(x^3 \geqslant -1\)
Cube parfait\(-1 = (-1)^3\)
Croissance\(x^3 \geqslant (-1)^3 \Leftrightarrow x \geqslant -1\)
\(S = [-1\,;\,+\infty[\)
c) \(x^3 > 1000\)
Cube parfait\(1000 = 10^3\)
Croissance\(x^3 > 10^3 \Leftrightarrow x > 10\)
\(S = \;]10\,;\,+\infty[\)
d) \((x-2)^3 < 0\)
Cube parfait\(0 = 0^3\)
Croissance\((x-2)^3 < 0^3 \Leftrightarrow x-2 < 0\)
Isole x\(x < 2\)
\(S = \;]-\infty\,;\,2[\)

Exercice 6 / 6

Problème Volume d'un cube
✓ Vu

Une entreprise fabrique des boîtes cubiques. Le volume, en \(\text{cm}^3\), d'une boîte d'arête \(x\) (en cm) est donné par \(V(x) = x^3\).

1) Calculer le volume d'une boîte d'arête \(4\) cm.
2) Une boîte a un volume de \(125\) cm³. Déterminer la longueur de son arête.
3) On veut que le volume d'une boîte soit au moins égal à \(64\) cm³. Résoudre l'inéquation \(x^3 \geqslant 64\), puis interpréter le résultat en termes d'arête minimale.
4) Sans calculer les volumes, comparer ceux de deux boîtes d'arêtes respectives \(6\) cm et \(9\) cm. Justifier.

💡 Indices

Il faut résoudre \(x^3=125\) : cherche quel cube parfait donne \(125\).
Écris \(64\) comme un cube parfait, puis utilise la croissance de la fonction cube pour transformer l'inéquation sur \(x^3\) en inéquation sur \(x\). N'oublie pas que l'arête \(x\) doit être positive.
1) Volume d'une boîte d'arête 4 cm

\(V(4) = 4^3 = 64\). Le volume est de 64 cm³.

2) Arête d'une boîte de volume 125 cm³
Équation\(x^3 = 125\)
Cube parfait\(5^3 = 125\)
L'arête mesure 5 cm.
3) Volume au moins égal à 64 cm³
Inéquation\(x^3 \geqslant 64\)
Cube parfait\(64 = 4^3\)
Croissance\(x^3 \geqslant 4^3 \Leftrightarrow x \geqslant 4\)
Il faut une arête \(x \geqslant 4\) cm : l'arête minimale est 4 cm pour obtenir un volume d'au moins 64 cm³.
4) Comparaison des volumes pour x = 6 et x = 9

\(6 < 9\), et la fonction cube étant strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), on a directement \(6^3 < 9^3\) : la boîte d'arête 9 cm a un volume plus grand que celle d'arête 6 cm, sans qu'il soit nécessaire de calculer les deux volumes.

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