Fonctions caractéristiques 2nde : cours et exercices corrigés

Trois fonctions essentielles, dites fonctions de référence, dont il faut maîtriser l'ensemble de définition, les variations, le signe, et la résolution des équations et inéquations associées.

I. La fonction carré

1Définition et ensemble de définition

📘 Définition

La fonction carré est la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\(f(x) = x^2\)

Elle est définie pour tout réel \(x\). Son ensemble de définition est \(\mathbb{R}\).

2Tableau de valeurs

\(x\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(f(x)=x^2\)	9	4	1	0	1	4	9

💡 Les valeurs symétriques par rapport à \(0\) (comme \(-2\) et \(2\)) donnent le même résultat : la courbe sera symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

3Représentation graphique

🖊 Courbe de la fonction carré — parabole

La courbe est une parabole de sommet \(O(0\,;\,0)\), ouverte vers le haut, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées \((Oy)\).

\((-3\,;\,9)\)\((-2\,;\,4)\)\((-1\,;\,1)\) \((0\,;\,0)\) ← sommet \((1\,;\,1)\)\((2\,;\,4)\)\((3\,;\,9)\)

💡 Clique sur un point pour faire apparaître ses coordonnées sur le graphique.

4Tableau de variations

📗 Propriété

La fonction carré est décroissante sur \(\left]-\infty\,;\,0\right]\) et croissante sur \(\left[0\,;\,+\infty\right[\). Elle atteint son minimum \(0\) en \(x=0\).

x	\(-\infty\)				\(0\)				\(+\infty\)
Variations de \(x^2\)	\(+\infty\)	↘			0	↗			\(+\infty\)

5Tableau de signes

📗 Propriété

Pour tout réel \(x\) : \(x^2 \geq 0\). La fonction carré est toujours positive ou nulle, et vaut \(0\) uniquement en \(x=0\).

x	\(-\infty\)				\(0\)				\(+\infty\)
Signe de \(x^2\)		+			0	+

6Propriétés de comparaison

📙 Propriété

Soient \(a\) et \(b\) deux réels.

Si \(0 \leq a \leq b\), alors \(a^2 \leq b^2\) (\(f\) croissante sur \([0\,;\,+\infty[\), l'inégalité se conserve)
Si \(a \leq b \leq 0\), alors \(a^2 \geq b^2\) (\(f\) décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\), l'inégalité s'inverse)

✏️ Exemple

Comparer \((-3)^2\) et \((-1)^2\) sans calculer.

On a \(-3 \leq -1 \leq 0\) : deux négatifs. La fonction carré est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\), donc l'inégalité s'inverse : \((-3)^2 \geq (-1)^2\), soit \(9 \geq 1\). ✓

7Résolution d'équations et d'inéquations

🔑 Méthode — Résoudre \(x^2 = k\)

Si \(k < 0\) : aucune solution (car \(x^2 \geq 0\)).
Si \(k = 0\) : une solution : \(x = 0\).
Si \(k > 0\) : deux solutions : \(x = \sqrt{k}\) ou \(x = -\sqrt{k}\).

🔑 Méthode — Résoudre \(x^2 < k\) ou \(x^2 > k\)

Si \(k \leq 0\) et \(x^2 < k\) : aucune solution.
Si \(k > 0\) et \(x^2 < k\) : \(x \in \left]-\sqrt{k}\,;\,\sqrt{k}\right[\).
Si \(k > 0\) et \(x^2 > k\) : \(x \in \left]-\infty\,;\,-\sqrt{k}\right[ \cup \left]\sqrt{k}\,;\,+\infty\right[\).

✏️ Exemple 1 — Résoudre \(x^2 = 9\)

\(9 > 0\) donc deux solutions :

Algébrique

Solutions\(x = \sqrt{9} = 3\) ou \(x = -3\)

Conclusion : \(\mathcal{S} = \{-3\,;\,3\}\)

Graphique

On cherche les abscisses des points où la parabole \(y=x^2\) coupe la droite \(y=9\).

Les deux intersections sont en \(x=-3\) et \(x=3\).

✏️ Exemple 2 — Résoudre \(x^2 < 5\)

Algébrique

\(5>0\), donc les solutions sont les \(x\) vérifiant :

Condition\(-\sqrt{5} < x < \sqrt{5}\)

Conclusion : \(\mathcal{S} = \left]-\sqrt{5}\,;\,\sqrt{5}\right[\)

Graphique

La parabole \(y=x^2\) est en dessous de \(y=5\) entre les deux intersections.

Zone en surbrillance : \(x \in ]-\!\sqrt{5}\,;\,\sqrt{5}[\)

🧩 Exercice

Résoudre les équations et inéquations suivantes :

\(\textbf{a)}\;\) \(x^2 = 16\) · \(\textbf{b)}\;\) \(x^2 = -3\) · \(\textbf{c)}\;\) \(x^2 \leq 4\) · \(\textbf{d)}\;\) \(x^2 > 7\)

Algébrique

a)\(16>0\) : \(x=4\) ou \(x=-4\). \(\;\mathcal{S}=\{-4\,;\,4\}\)

b)\(-3<0\) : aucune solution. \(\;\mathcal{S}=\varnothing\)

c)\(4>0\) : \(-2 \leq x \leq 2\). \(\;\mathcal{S}=[-2\,;\,2]\)

d)\(7>0\) : \(x<-\sqrt{7}\) ou \(x>\sqrt{7}\). \(\;\mathcal{S}=\left]-\infty\,;\,-\sqrt{7}\right[\cup\left]\sqrt{7}\,;\,+\infty\right[\)

Graphique — c) \(x^2 \leq 4\)

La parabole est sous ou sur la droite \(y=4\).

Entre les intersections \(x=-2\) et \(x=2\).

Graphique — d) \(x^2 > 7\)

La parabole est strictement au-dessus de \(y=7\).

À gauche de \(-\!\sqrt{7}\) et à droite de \(\sqrt{7}\).

II. La fonction inverse

1Définition et ensemble de définition

📘 Définition

La fonction inverse est la fonction \(g\) définie par :

\(g(x) = \dfrac{1}{x}\)

On ne peut pas diviser par zéro : \(x=0\) est interdit. L'ensemble de définition est \(\mathbb{R}\setminus\{0\}=\left]-\infty\,;\,0\right[\cup\left]0\,;\,+\infty\right[\).

⚠️ Attention

\(\dfrac{1}{0}\) n'a aucun sens. La valeur \(x=0\) est exclue du domaine de définition.

2Tableau de valeurs

\(x\)	\(-4\)	\(-2\)	\(-1\)	\(-\tfrac{1}{2}\)	\(0\)	\(\tfrac{1}{2}\)	\(1\)	\(2\)	\(4\)
\(g(x)=\tfrac{1}{x}\)	\(-\tfrac{1}{4}\)	\(-\tfrac{1}{2}\)	\(-1\)	\(-2\)	interdit	\(2\)	\(1\)	\(\tfrac{1}{2}\)	\(\tfrac{1}{4}\)

3Représentation graphique

🖊 Courbe de la fonction inverse — hyperbole

La courbe est une hyperbole formée de deux branches (une pour \(x<0\), une pour \(x>0\)). Elle se rapproche indéfiniment des axes sans jamais les atteindre : les axes sont des asymptotes. La courbe est symétrique par rapport à l'origine \(O\).

\((-4\,;\,-\tfrac{1}{4})\) \((-2\,;\,-\tfrac{1}{2})\) \((-1\,;\,-1)\) \((1\,;\,1)\) \((2\,;\,\tfrac{1}{2})\) \((4\,;\,\tfrac{1}{4})\)

💡 Clique sur un point pour faire apparaître ses coordonnées sur le graphique.

4Tableau de variations

📗 Propriété

La fonction inverse est décroissante sur \(\left]-\infty\,;\,0\right[\) et décroissante sur \(\left]0\,;\,+\infty\right[\). Attention : ces deux intervalles sont séparés ; on ne peut pas les réunir.

x	\(-\infty\)			\(0\)			\(+\infty\)
Variations de \(\tfrac{1}{x}\)	\(0\)	↘		\|\|	↘		\(0\)

💡 Les doubles barres \(\|\) signalent l'interruption du domaine de définition en \(x=0\). Les \(0\) aux extrémités des flèches indiquent que la courbe s'approche de l'axe \((Ox)\) sans jamais l'atteindre.

5Tableau de signes

📗 Propriété

\(\dfrac{1}{x}\) a le même signe que \(x\) : négatif pour \(x<0\), positif pour \(x>0\).

x	\(-\infty\)			\(0\)			\(+\infty\)
Signe de \(\tfrac{1}{x}\)		−		\|\|	+

6Propriétés de comparaison

📙 Propriété

Soient \(a\) et \(b\) deux réels de même signe (non nuls).

Si \(0 < a < b\), alors \(\dfrac{1}{b} < \dfrac{1}{a}\) (l'inégalité s'inverse)
Si \(a < b < 0\), alors \(\dfrac{1}{b} < \dfrac{1}{a}\) (l'inégalité s'inverse)

⚠️ Cette propriété ne s'applique que si \(a\) et \(b\) sont de même signe.

7Résolution d'équations et d'inéquations

🔑 Méthode — Résoudre \(\dfrac{1}{x} = k\)

Si \(k=0\) : aucune solution (\(\tfrac{1}{x}\) ne vaut jamais \(0\)).
Si \(k\neq 0\) : on passe à l'inverse : \(x=\dfrac{1}{k}\).

🔑 Méthode — Résoudre \(\dfrac{1}{x} > k\)

On ramène l'inéquation à un quotient de signe positif en mettant tout au même dénominateur \(x\) :

\(\dfrac{1}{x} - k > 0 \iff \dfrac{1 - kx}{x} > 0\)

On dresse ensuite le tableau de signes de \(\dfrac{1-kx}{x}\).

✏️ Exemple 1 — Résoudre \(\dfrac{1}{x} = 4\)

\(k=4\neq 0\), donc on passe à l'inverse :

Inverse\(x=\dfrac{1}{4}\)

Conclusion : \(\mathcal{S}=\left\{\dfrac{1}{4}\right\}\)

✏️ Exemple 2 — Résoudre \(\dfrac{1}{x} > 2\)

Algébrique

On met au même dénominateur :

Réécriture\(\dfrac{1}{x}-2>0 \iff \dfrac{1-2x}{x}>0\)

Tableau de signes de \(\dfrac{1-2x}{x}\) :

x		\(0\)		\(\tfrac{1}{2}\)
\(1-2x\)	+	+	+	0	−
\(x\)	−	\|\|	+	+	+
\(\frac{1-2x}{x}\)	−	\|\|	+	0	−

Conclusion : \(\mathcal{S}=\left]0\,;\,\dfrac{1}{2}\right[\)

Graphique

On cherche les \(x\) pour lesquels la courbe \(y=\tfrac{1}{x}\) est au-dessus de \(y=2\).

Seule la partie de la branche \(x>0\) au-dessus de \(y=2\).

🧩 Exercice

Résoudre les équations et inéquations suivantes :

\(\textbf{a)}\;\) \(\dfrac{1}{x}=3\) · \(\textbf{b)}\;\) \(\dfrac{1}{x}<0\) · \(\textbf{c)}\;\) \(\dfrac{1}{x}>4\)

a)\(k=3\neq 0\) : on passe à l'inverse, \(x=\tfrac{1}{3}\). \(\;\mathcal{S}=\left\{\tfrac{1}{3}\right\}\)

b) \(\frac{1}{x} < 0\) — algébrique

\(\dfrac{1}{x}<0\) ssi \(x<0\) (même signe que \(\tfrac{1}{x}\)).

Conclusion : \(\mathcal{S}=\left]-\infty\,;\,0\right[\)

b) \(\frac{1}{x} < 0\) — graphique

Branche de l'hyperbole en dessous de \(y=0\).

c) \(\frac{1}{x} > 4\) — algébrique

Réécriture\(\dfrac{1-4x}{x}>0\)

x		\(0\)		\(\tfrac{1}{4}\)
\(1-4x\)	+	+	+	0	−
\(x\)	−	\|\|	+	+	+
\(\frac{1-4x}{x}\)	−	\|\|	+	0	−

Conclusion : \(\mathcal{S}=\left]0\,;\,\tfrac{1}{4}\right[\)

c) \(\frac{1}{x} > 4\) — graphique

Portions au-dessus de \(y=4\).

III. La fonction racine carrée

1Définition et ensemble de définition

📘 Définition

La fonction racine carrée est la fonction \(h\) définie par :

\(h(x) = \sqrt{x}\)

La contrainte est \(x\geq 0\). L'ensemble de définition est \(\left[0\,;\,+\infty\right[\).

⚠️ Rappel

Pour tout \(x\geq 0\), \(\sqrt{x}\) est l'unique réel positif ou nul dont le carré vaut \(x\).

\(\sqrt{x}\geq 0 \qquad\text{et}\qquad \left(\sqrt{x}\right)^2=x\)

En particulier : \(\sqrt{x^2}=|x|\), et non \(x\) (qui peut être négatif).

2Tableau de valeurs

\(x\)	\(0\)	\(\tfrac{1}{4}\)	\(1\)	\(4\)	\(9\)	\(16\)
\(h(x)=\sqrt{x}\)	\(0\)	\(\tfrac{1}{2}\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)

💡 On choisit des carrés parfaits (0, 1, 4, 9, 16…) pour que les images soient des entiers.

3Représentation graphique

🖊 Courbe de la fonction racine carrée — demi-parabole

La courbe est une demi-parabole définie pour \(x\geq 0\), partant de l'origine et croissant de plus en plus lentement. La zone \(x<0\) est non définie.

\((0\,;\,0)\) ← départ \((1\,;\,1)\) \((4\,;\,2)\) \((9\,;\,3)\) \((16\,;\,4)\)

💡 Clique sur un point pour faire apparaître ses coordonnées sur le graphique.

4Tableau de variations

📗 Propriété

La fonction racine carrée est croissante sur \(\left[0\,;\,+\infty\right[\).

x	\(0\)					\(+\infty\)
Variations de \(\sqrt{x}\)	0	↗				\(+\infty\)

5Tableau de signes

📗 Propriété

Pour tout \(x\geq 0\) : \(\sqrt{x}\geq 0\). La fonction racine carrée est toujours positive ou nulle.

x	\(0\)					\(+\infty\)
Signe de \(\sqrt{x}\)	0	+

6Propriétés de comparaison

📙 Propriété

Soient \(a\) et \(b\) avec \(0\leq a\leq b\). Alors \(\sqrt{a}\leq\sqrt{b}\).

La fonction racine carrée conserve les inégalités entre réels positifs.

✏️ Exemple

Comparer \(\sqrt{7}\) et \(\sqrt{11}\) sans calculatrice.

On a \(0\leq 7\leq 11\) et \(\sqrt{\phantom{x}}\) est croissante, donc \(\sqrt{7}\leq\sqrt{11}\). ✓

7Résolution d'équations et d'inéquations

🔑 Méthode — Résoudre \(\sqrt{x}=k\)

Si \(k<0\) : aucune solution (car \(\sqrt{x}\geq 0\)).
Si \(k\geq 0\) : une solution : on élève au carré, \(x=k^2\).

🔑 Méthode — Résoudre \(\sqrt{x}<k\) ou \(\sqrt{x}>k\)

Si \(k\leq 0\) et \(\sqrt{x}aucune solution.
Si \(k>0\) et \(\sqrt{x}
Si \(k\geq 0\) et \(\sqrt{x}>k\) : \(x>k^2\), soit \(x\in\left]k^2\,;\,+\infty\right[\).

✏️ Exemple 1 — Résoudre \(\sqrt{x}=5\)

Carré\(x=5^2=25\)

Vérif.\(\sqrt{25}=5\) ✓

Conclusion : \(\mathcal{S}=\{25\}\)

✏️ Exemple 2 — Résoudre \(\sqrt{x}\geq 3\)

Algébrique

\(k=3\geq 0\), la fonction est croissante, on élève au carré en conservant l'inégalité :

Carré\(x\geq 3^2=9\)

Conclusion : \(\mathcal{S}=\left[9\,;\,+\infty\right[\)

Graphique

La courbe \(y=\sqrt{x}\) au-dessus ou sur \(y=3\).

À partir de l'intersection \(x=9\).

🧩 Exercice

Résoudre les équations et inéquations suivantes :

\(\textbf{a)}\;\) \(\sqrt{x}=4\) · \(\textbf{b)}\;\) \(\sqrt{x}=-1\) · \(\textbf{c)}\;\) \(\sqrt{x}\leq 2\) · \(\textbf{d)}\;\) \(\sqrt{x}>5\)

Algébrique

a)\(4\geq 0\) : \(x=4^2=16\). \(\;\mathcal{S}=\{16\}\)

b)\(-1<0\) : aucune solution. \(\;\mathcal{S}=\varnothing\)

c)\(2>0\) : \(x\leq 4\), avec \(x\geq 0\). \(\;\mathcal{S}=[0\,;\,4]\)

d)\(5\geq 0\) : \(x>25\). \(\;\mathcal{S}=\left]25\,;\,+\infty\right[\)

Graphique — c) \(\sqrt{x}\leq 2\)

Courbe sous ou sur \(y=2\).

De \(x=0\) à \(x=4\).

Graphique — d) \(\sqrt{x}>5\)

Courbe au-dessus de \(y=5\).

À partir de \(x=25\).

IV. La fonction cube

1Définition et ensemble de définition

📘 Définition

La fonction cube est la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\(f(x) = x^3\)

Elle est définie pour tout réel \(x\). Son ensemble de définition est \(\mathbb{R}\).

2Tableau de valeurs et courbe

📊 Tableau de valeurs

\(x\)	−3	−2	−1	0	1	2	3
\(x^3\)	−27	−8	−1	0	1	8	27

La courbe de la fonction cube passe par l'origine et présente un point d'inflexion en \(O(0\,;\,0)\). Elle monte de gauche à droite, lentement au voisinage de 0 et très rapidement pour les grands \(|x|\).

3Tableau de variations

📗 Variations

La fonction cube est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

\(x\)	\(-\infty\)		\(+\infty\)
\(x^3\)	\(-\infty\)	↗	\(+\infty\)

4Signe

📗 Signe de \(x^3\)

\(x^3\) a le même signe que \(x\) : négatif quand \(x < 0\), nul quand \(x = 0\), positif quand \(x > 0\).

\(x\)	\(-\infty\)		0		\(+\infty\)
\(x^3\)		−	0	+

5Propriétés

📗 Comparaison des cubes

La fonction cube étant strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), les inégalités sont conservées :

\(a < b \;\Longleftrightarrow\; a^3 < b^3\)

6Résoudre \(x^3 = k\)

🔧 Résolution

L'équation \(x^3 = k\) admet toujours une unique solution (parfois appelée « racine cubique » de \(k\)). En 2nde, on retrouve la solution par essai sur des cas « évidents » — les cubes parfaits à connaître :

\(x^3 = 8 \;\Rightarrow\; x = 2\) car \(2^3 = 8\)
\(x^3 = -27 \;\Rightarrow\; x = -3\) car \((-3)^3 = -27\)
\(x^3 = 0 \;\Rightarrow\; x = 0\)
\(x^3 = 1 \;\Rightarrow\; x = 1\), \(x^3 = -1 \;\Rightarrow\; x = -1\)
\(x^3 = 64 \;\Rightarrow\; x = 4\), \(x^3 = 125 \;\Rightarrow\; x = 5\)

💡 Astuce : retiens les cubes parfaits courants : \(1, 8, 27, 64, 125, 216, 1000\). Pour les négatifs, c'est le même nombre en négatif !

🧩 Exercice

Résoudre : \(x^3 = 64\), puis \(x^3 = -125\), puis \(x^3 < 8\).

\(x^3 = 64\)\(x = 4\) car \(4^3 = 64\).

\(x^3 = -125\)\(x = -5\) car \((-5)^3 = -125\).

\(x^3 < 8\)Comme la fonction cube est croissante : \(x^3 < 2^3 \Leftrightarrow x < 2\). Solution : \(]-\infty\,;\,2[\).

📋 Bilan — Les quatre fonctions de référence

Propriété	\(f(x) = x^2\)	\(g(x) = \dfrac{1}{x}\)	\(h(x) = \sqrt{x}\)	\(k(x) = x^3\)
Ensemble de définition	\(\mathbb{R}\)	\(\mathbb{R} \setminus \{0\}\)	\(\left[0\,;\,+\infty\right[\)	\(\mathbb{R}\)
Courbe	Parabole sommet en \(O(0;0)\)	Hyperbole 2 branches, asymptotes \((Ox)\) et \((Oy)\)	Demi-parabole départ en \(O(0;0)\)	Cubique point d'inflexion en \(O\)
Variations	↘ sur \(\left]-\infty;0\right]\) ↗ sur \(\left[0;+\infty\right[\)	↘ sur \(\left]-\infty;0\right[\) ↘ sur \(\left]0;+\infty\right[\)	↗ sur \(\left[0;+\infty\right[\)	↗ sur \(\mathbb{R}\)
Signe	Toujours \(\geq 0\)	Même signe que \(x\)	Toujours \(\geq 0\)	Même signe que \(x\)
Résoudre \(f(x) = k > 0\)	\(x = \sqrt{k}\) ou \(x = -\sqrt{k}\)	\(x = \dfrac{1}{k}\)	\(x = k^2\)	Unique solution (par essai : cubes parfaits)
Point clé à retenir	\(x^2 \geq 0\) toujours minimum en \(0\)	\(x = 0\) interdit passer à l'inverse change le sens de \(\leq\)	\(x < 0\) interdit \(\sqrt{x^2} = \|x\|\), pas \(x\)	Croissante sur \(\mathbb{R}\) entier On résout \(x^3 = k\) par essai (cas simples)

Les fonctions de référence