La moyenne

Statistiques descriptives n°2 — Feuille d'exercices — 2nde

Moyenne simple Moyenne pondérée Coefficients

📌 Calculer une moyenne

① Moyenne simple
Quand on dispose d'une liste de \(n\) valeurs \(x_1, x_2, \dots, x_n\) (chacune comptée une seule fois) :
\(\bar{x} = \dfrac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}\)
② Moyenne pondérée
Quand chaque valeur \(x_i\) est associée à un effectif \(n_i\) (ou une fréquence \(f_i\), ou un coefficient) :
\(\bar{x} = \dfrac{n_1x_1+n_2x_2+\dots+n_px_p}{n_1+n_2+\dots+n_p}\)
ou, avec les fréquences : \(\bar{x} = f_1x_1+f_2x_2+\dots+f_px_p\)
③ Piège classique à éviter
La moyenne de deux groupes n'est pas la moyenne de leurs moyennes, sauf si les deux groupes ont le même effectif ! Il faut repondérer par les effectifs de chaque groupe.
Un coefficient se traite exactement comme un effectif dans la formule de la moyenne pondérée.
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Exercice 1 / 6

Moyenne simple Calcul direct
✓ Vu

Voici les notes sur 20 obtenues par Léa lors de 6 devoirs de mathématiques :

12 · 14 · 9 · 16 · 11 · 13
a) Calculer la moyenne des notes de Léa.
b) Sans calculer, dire si la moyenne de Léa augmenterait ou diminuerait si on retirait la note de 9. Vérifier ensuite par le calcul.

💡 Indices

La moyenne simple est la somme de toutes les valeurs, divisée par le nombre de valeurs.
Compare la note retirée (9) à la moyenne calculée en a). Une valeur en dessous de la moyenne tire la moyenne vers le bas : la retirer devrait donc la faire augmenter.
a) Moyenne des 6 devoirs
Somme\(12+14+9+16+11+13 = 75\)
Moyenne\(\bar{x} = \dfrac{75}{6} = 12,5\)
La moyenne de Léa est 12,5.
b) Effet du retrait de la note 9
La note 9 est inférieure à la moyenne (12,5) : elle « tirait la moyenne vers le bas ». En la retirant, la moyenne des notes restantes doit donc augmenter.
Nouvelle somme\(75 - 9 = 66\)
Nouvelle moyenne\(\dfrac{66}{5} = 13,2\)
13,2 > 12,5 : la moyenne augmente bien, comme prévu.

Exercice 2 / 6

Moyenne pondérée Tableau d'effectifs
✓ Vu

Lors d'un contrôle, les notes obtenues par une classe de 25 élèves sont résumées dans le tableau suivant :

Note \(x_i\)610121518Total
Effectif \(n_i\)36104225
a) Vérifier que l'effectif total de la classe est bien de 25 élèves.
b) Calculer la moyenne pondérée des notes de la classe (arrondie au centième).

💡 Indices

Il faut multiplier chaque note par son effectif, additionner tous ces produits, puis diviser par l'effectif total.
Ne fais surtout pas la moyenne simple des 5 notes (6, 10, 12, 15, 18) : chaque note ne « pèse » pas pareil, il faut tenir compte des effectifs.
a) Effectif total
Somme des \(n_i\)\(3+6+10+4+2 = 25\)
On retrouve bien 25 élèves.
b) Moyenne pondérée
Somme \(n_ix_i\)\(6\times3 + 10\times6 + 12\times10 + 15\times4 + 18\times2\)
\(= 18+60+120+60+36 = 294\)
Moyenne\(\bar{x} = \dfrac{294}{25} = 11,76\)
La moyenne pondérée de la classe est 11,76.

Exercice 3 / 6

Valeur manquante Équation
✓ Vu

Amir a obtenu les notes suivantes à 4 devoirs de SVT : 12 ; 15 ; 10 et une quatrième note qu'il a oublié de noter. Sa moyenne sur les 4 devoirs est de 13.

a) En notant \(x\) la note manquante, écrire une équation traduisant la situation.
b) Résoudre cette équation pour déterminer la note manquante d'Amir.

💡 Indices

Reprends la formule de la moyenne simple avec les 4 notes (dont \(x\)), et remplace la moyenne par 13.
Commence par multiplier les deux membres de l'équation par 4 pour faire disparaître la fraction.
a) Mise en équation
La moyenne des 4 notes vaut 13, donc :
Équation\(\dfrac{12+15+10+x}{4} = 13\)
b) Résolution
On multiplie par 4\(12+15+10+x = 13\times4\)
\(37 + x = 52\)
On isole \(x\)\(x = 52 - 37 = 15\)
La note manquante d'Amir est 15.

Exercice 4 / 6

Fréquences Moyenne pondérée
✓ Vu

Le tableau suivant donne, en fréquences, la répartition du nombre d'enfants par foyer dans un quartier :

Nombre d'enfants \(x_i\)0123Total
Fréquence \(f_i\) (%)20353015100
a) Vérifier que la somme des fréquences est bien égale à 100 %.
b) Calculer le nombre moyen d'enfants par foyer dans ce quartier.

💡 Indices

Avec des fréquences, la moyenne pondérée s'obtient directement par \(\bar{x} = f_1x_1+f_2x_2+\dots\), en utilisant les fréquences sous forme décimale.
20 % s'écrit 0,20 en écriture décimale, 35 % s'écrit 0,35, etc.
a) Somme des fréquences
Somme\(20+35+30+15 = 100\%\)
La somme des fréquences vaut bien 100 %, comme attendu.
b) Nombre moyen d'enfants
Calcul\(\bar{x} = 0\times0,20 + 1\times0,35 + 2\times0,30 + 3\times0,15\)
\(= 0 + 0,35 + 0,6 + 0,45 = 1,4\)
Il y a en moyenne 1,4 enfant par foyer dans ce quartier.

Exercice 5 / 6

Deux groupes Piège classique
✓ Vu

Dans une classe de 20 élèves, les 12 filles ont une moyenne de 14 en histoire-géographie, et les 8 garçons ont une moyenne de 11.

a) Un élève affirme : « La moyenne générale de la classe est \(\dfrac{14+11}{2} = 12,5\) ». A-t-il raison ? Justifier.
b) Calculer la véritable moyenne générale de la classe.

💡 Indices

Compare l'effectif des filles (12) à celui des garçons (8) : sont-ils identiques ?
Traite les filles et les garçons comme deux « valeurs » (14 et 11), chacune pondérée par son propre effectif (12 et 8), comme dans une moyenne pondérée.
a) L'élève a-t-il raison ?
Non, il a tort. On ne peut faire la moyenne simple de deux moyennes que si les deux groupes ont le même effectif. Ici, il y a 12 filles mais seulement 8 garçons : les deux groupes ne pèsent pas pareil dans la moyenne générale.
b) Moyenne générale (pondérée par les effectifs)
Somme des points\(12\times14 + 8\times11 = 168+88 = 256\)
Moyenne générale\(\dfrac{256}{20} = 12,8\)
La véritable moyenne générale de la classe est 12,8 (et non 12,5).

Exercice 6 / 6

Synthèse Coefficients
✓ Vu

Sur son bulletin, Camille obtient les notes suivantes en mathématiques, chacune affectée d'un coefficient :

ÉvaluationDevoir 1Devoir 2Devoir 3Oral
Note \(x_i\)1491612
Coefficient \(c_i\)2131
a) Quelle est la somme des coefficients ?
b) Calculer la moyenne coefficientée de Camille en mathématiques (arrondie au dixième).
c) Camille pense que si elle obtient une très bonne note à son prochain devoir affecté d'un coefficient 4, sa moyenne va beaucoup progresser. Expliquer pourquoi un coefficient élevé a plus d'impact sur la moyenne qu'un coefficient faible.

💡 Indices

Un coefficient se traite exactement comme un effectif dans la formule de la moyenne pondérée.
Dans la somme pondérée, une note est multipliée par son coefficient : plus ce coefficient est grand, plus le produit (et donc le poids de la note) est important par rapport aux autres.
a) Somme des coefficients
Somme\(2+1+3+1 = 7\)
La somme des coefficients est 7.
b) Moyenne coefficientée
Somme \(c_ix_i\)\(14\times2 + 9\times1 + 16\times3 + 12\times1\)
\(= 28+9+48+12 = 97\)
Moyenne\(\dfrac{97}{7} \approx 13,9\)
La moyenne de Camille en mathématiques est environ 13,9.
c) Pourquoi un coefficient élevé pèse plus lourd
Dans la somme \(c_1x_1+c_2x_2+\dots\), chaque note est multipliée par son coefficient avant d'être additionnée aux autres. Une note affectée d'un coefficient 4 contribue donc quatre fois plus à cette somme qu'une note de coefficient 1 : elle a un poids bien plus important dans le résultat final, et fait donc davantage varier la moyenne — en bien comme en mal.

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