La médiane

Statistiques descriptives n°3 — Feuille d'exercices — 2nde

Effectif impair Effectif pair Tableau / ECC

📌 Déterminer une médiane

① Définition
La médiane d'une série est une valeur qui partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif : au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales, et au moins la moitié lui sont supérieures ou égales.
② Sur une liste de valeurs
On trie d'abord la série par ordre croissant.
  • Effectif \(n\) impair : la médiane est la valeur du milieu, à la position \(\frac{n+1}{2}\).
  • Effectif \(n\) pair : la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales, aux positions \(\frac{n}{2}\) et \(\frac{n}{2}+1\).
③ Sur un tableau d'effectifs
On utilise les effectifs cumulés croissants (ECC) pour repérer la position médiane, ou la fréquence cumulée croissante (FCC) : la médiane est la première valeur pour laquelle la FCC atteint ou dépasse 50 %.
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Exercice 1 / 6

Médiane Effectif impair
✓ Vu

Voici les temps, en minutes, mis par 7 coureurs pour terminer une course :

34 · 28 · 41 · 22 · 37 · 30 · 45
a) Ranger cette série dans l'ordre croissant.
b) Déterminer la médiane de cette série, et interpréter le résultat dans le contexte de l'énoncé.

💡 Indices

Il y a 7 valeurs (effectif impair). La médiane est la valeur située à la position \(\frac{7+1}{2}=4\), une fois la série triée.
La médiane partage la série en deux groupes de même effectif : autant de coureurs plus rapides que la médiane que de coureurs plus lents.
a) Série triée
22 · 28 · 30 · 34 · 37 · 41 · 45
b) Médiane
L'effectif est \(n=7\) (impair), donc la médiane est la valeur à la position \(\frac{7+1}{2}=4\) : c'est la 4e valeur de la série triée.
La médiane de cette série est 34 minutes.
Interprétation : la moitié des coureurs (3 sur 7) ont mis moins de 34 minutes, et l'autre moitié (3 sur 7) ont mis plus de 34 minutes.

Exercice 2 / 6

Médiane Effectif pair
✓ Vu

Voici les prix, en euros, de 8 articles vendus dans une brocante :

12 · 18 · 9 · 25 · 15 · 20 · 11 · 17
a) Déterminer la médiane de cette série de prix.
b) Expliquer pourquoi, dans ce cas, la médiane n'est pas égale à l'une des valeurs de la série initiale.

💡 Indices

Commence par ranger la série dans l'ordre croissant.
Avec 8 valeurs (effectif pair), il n'y a pas une seule valeur au milieu, mais deux valeurs centrales, aux positions 4 et 5. La médiane est la moyenne de ces deux valeurs.
a) Médiane
Série triée : 9 · 11 · 12 · 15 · 17 · 18 · 20 · 25.
L'effectif est \(n=8\) (pair) : il y a deux valeurs centrales, aux positions \(\frac{8}{2}=4\) et \(\frac{8}{2}+1=5\), soit 15 et 17.
Médiane\(\dfrac{15+17}{2} = 16\)
La médiane de cette série est 16 €.
b) Pourquoi ce n'est pas une valeur de la série
La médiane est ici la moyenne des deux valeurs centrales (15 et 17), et non l'une d'entre elles. Dès que l'effectif est pair, la médiane peut donc être un nombre absent de la série initiale.

Exercice 3 / 6

Tableau d'effectifs ECC
✓ Vu

Un club de sport a recensé l'âge de ses 24 adhérents dans le tableau suivant :

Âge \(x_i\)2025303540Total
Effectif \(n_i\)4783224
ECC?????—
a) Compléter la ligne des effectifs cumulés croissants (ECC).
b) À l'aide de l'ECC, situer les 12e et 13e adhérents (classés par âge croissant).
c) En déduire la médiane de l'âge des adhérents du club.

💡 Indices

L'effectif total est 24 (pair) : les deux positions centrales sont \(\frac{24}{2}=12\) et \(\frac{24}{2}+1=13\).
L'ECC d'une valeur indique le rang du dernier individu ayant cette valeur ou une valeur inférieure. Cherche dans quel « intervalle » d'ECC tombent les rangs 12 et 13.
a) Effectifs cumulés croissants
Âge \(x_i\)2025303540Total
Effectif \(n_i\)4783224
ECC411192224—
b) Position des rangs 12 et 13
Les adhérents d'âge 20 occupent les rangs 1 à 4, ceux d'âge 25 les rangs 5 à 11 (ECC=11), et ceux d'âge 30 les rangs 12 à 19 (ECC=19). Les rangs 12 et 13 tombent donc tous les deux dans le groupe d'âge 30.
c) Médiane
Les 12e et 13e adhérents ont tous les deux 30 ans, donc la médiane est :
Médiane\(\dfrac{30+30}{2} = 30\)
La médiane de l'âge des adhérents est 30 ans.

Exercice 4 / 6

Médiane / Moyenne Valeur extrême
✓ Vu

Voici les salaires mensuels, en euros, de 5 employés d'une petite entreprise :

1800 · 1950 · 2100 · 1850 · 9500 (salaire du gérant)
a) Calculer la moyenne de ces salaires.
b) Calculer la médiane de ces salaires.
c) Lequel de ces deux indicateurs représente le mieux le salaire « typique » d'un employé de cette entreprise ? Justifier.

💡 Indices

Regarde l'effet du salaire de 9500 € sur chacun des deux indicateurs calculés en a) et b).
a) Moyenne
Somme\(1800+1950+2100+1850+9500 = 17\,200\)
Moyenne\(\dfrac{17\,200}{5} = 3440\)
La moyenne des salaires est 3 440 €.
b) Médiane
Série triée : 1800 · 1850 · 1950 · 2100 · 9500. L'effectif est 5 (impair), la médiane est la 3e valeur.
La médiane des salaires est 1 950 €.
c) Quel indicateur choisir ?
La médiane (1 950 €) représente bien mieux le salaire typique d'un employé. La moyenne (3 440 €) est fortement tirée vers le haut par le salaire exceptionnel du gérant (9 500 €), une valeur extrême qui ne reflète pas la situation des autres employés. La médiane, elle, n'est pas sensible à ce genre de valeur isolée.

Exercice 5 / 6

Valeur manquante Équation
✓ Vu

Une série statistique de 6 valeurs est composée de 8 ; 12 ; 15 ; 20 ; 24 et d'une valeur inconnue \(x\), avec \(15 \lt x \lt 20\). On sait que la médiane de cette série vaut 16.

a) En utilisant la définition de la médiane pour un effectif pair, écrire une équation vérifiée par \(x\), puis la résoudre.

💡 Indices

Commence par ranger la série dans l'ordre croissant. Comme \(15 \lt x \lt 20\), la valeur \(x\) se place juste après 15 et juste avant 20.
Il y a 6 valeurs (effectif pair) : la médiane est la moyenne des 3e et 4e valeurs de la série triée.
Série triée
Puisque \(15 \lt x \lt 20\), la série ordonnée est :
8 · 12 · 15 · x · 20 · 24
Équation et résolution
L'effectif est \(n=6\) (pair), donc la médiane est la moyenne des 3e et 4e valeurs, soit 15 et \(x\) :
Équation\(\dfrac{15+x}{2} = 16\)
On multiplie par 2\(15+x = 32\)
On isole \(x\)\(x = 32-15 = 17\)
On trouve \(x=17\), ce qui est bien cohérent avec la condition \(15 \lt x \lt 20\).

Exercice 6 / 6

Synthèse FCC
✓ Vu

Voici la répartition des notes sur 20 obtenues par 40 élèves à un devoir commun :

Note \(x_i\)69121417Total
Effectif \(n_i\)59148440
ECC?????—
FCC (%)?????—
a) Compléter les lignes ECC et FCC (%).
b) À l'aide de la FCC, indiquer entre quelles notes se situe la médiane (repérer la première valeur pour laquelle la FCC atteint ou dépasse 50 %).
c) En déduire précisément la médiane de cette série de notes.

💡 Indices

FCC = ECC ÷ effectif total × 100.
Une fois la valeur repérée grâce à la FCC, reviens à l'ECC pour vérifier précisément quels rangs (positions 20 et 21) tombent dans ce groupe.
a) Tableau complet
Note \(x_i\)69121417Total
Effectif \(n_i\)59148440
ECC514283640—
FCC (%)12,5 %35 %70 %90 %100 %—
b) Repérage via la FCC
La FCC vaut 35 % pour la note 9 (moins de 50 %), puis passe directement à 70 % pour la note 12 (plus de 50 %). La médiane se situe donc au niveau de la note 12.
c) Médiane précise
L'effectif total est \(n=40\) (pair) : les positions médianes sont 20 et 21.
Précisément : la note 6 occupe les rangs 1 à 5, la note 9 les rangs 6 à 14, et la note 12 les rangs 15 à 28. Les rangs 20 et 21 tombent donc tous les deux dans le groupe de note 12.
Médiane\(\dfrac{12+12}{2} = 12\)
La médiane de cette série de notes est 12.

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