Étendue et quartiles

Statistiques descriptives n°4 — Feuille d'exercices — 2^nde

Étendue Quartiles Q1 / Q3 Écart interquartile

📌 Étendue, quartiles et écart interquartile

① Étendue

L'étendue mesure l'écart entre la plus grande et la plus petite valeur d'une série.

\(\text{Étendue} = \text{Max} - \text{Min}\)

Elle est très sensible aux valeurs extrêmes.

② Quartiles \(Q_1\) et \(Q_3\)

Pour une série de \(n\) valeurs triées par ordre croissant :

\(Q_1\) est la valeur au rang \(\left\lceil \frac{n}{4} \right\rceil\) (premier entier \(\geqslant \frac{n}{4}\)).
\(Q_3\) est la valeur au rang \(\left\lceil \frac{3n}{4} \right\rceil\) (premier entier \(\geqslant \frac{3n}{4}\)).

③ Écart interquartile

Il mesure l'étalement de la « moitié centrale » de la série (50 % des valeurs).

\(EI\text{Q} = Q_3 - Q_1\)

Contrairement à l'étendue, il n'est pas influencé par les valeurs extrêmes : c'est un indicateur de dispersion plus robuste.

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Exercice 1 / 6

Étendue Calcul direct

✓ Vu

Voici les températures maximales, en °C, relevées chaque jour d'une semaine :

18 · 22 · 15 · 25 · 20 · 19 · 23

a) Déterminer l'étendue de cette série de températures.

b) Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.

💡 Indices

L'étendue s'obtient en soustrayant la plus petite valeur à la plus grande.

a) Étendue

Maximum\(25\)°C

Minimum\(15\)°C

Étendue\(25 - 15 = 10\)

L'étendue de cette série est 10 °C.

b) Interprétation

Sur cette semaine, il y a un écart de 10 °C entre le jour le plus chaud (25 °C) et le jour le plus froid (15 °C).

Exercice 2 / 6

Quartiles Rang

✓ Vu

Voici les notes sur 20 obtenues par 12 élèves à un devoir :

8 · 14 · 10 · 17 · 9 · 12 · 15 · 11 · 13 · 6 · 16 · 10

a) Déterminer le rang, puis la valeur, du premier quartile \(Q_1\).

b) Déterminer le rang, puis la valeur, du troisième quartile \(Q_3\).

c) Calculer l'écart interquartile de cette série et interpréter le résultat.

💡 Indices

Commence par ranger la série dans l'ordre croissant : cela facilite tout le reste.

Ici \(n=12\), donc rang de \(Q_1 = \dfrac{12}{4} = 3\) (c'est déjà un entier) et rang de \(Q_3 = \dfrac{3\times12}{4} = 9\).

Série triée

6 · 8 · 9 · 10 · 10 · 11 · 12 · 13 · 14 · 15 · 16 · 17

a) Premier quartile \(Q_1\)

Rang de \(Q_1\)\(\dfrac{n}{4} = \dfrac{12}{4} = 3\)

\(Q_1\) est la 3^e valeur de la série triée : \(Q_1 = 9\).

b) Troisième quartile \(Q_3\)

Rang de \(Q_3\)\(\dfrac{3n}{4} = \dfrac{36}{4} = 9\)

\(Q_3\) est la 9^e valeur de la série triée : \(Q_3 = 14\).

c) Écart interquartile

Calcul\(Q_3 - Q_1 = 14 - 9 = 5\)

L'écart interquartile vaut 5 : les 50 % de notes centrales de la classe sont comprises entre 9 et 14, un écart de 5 points.

Exercice 3 / 6

Quartiles Arrondi au rang

✓ Vu

Voici les prix, en euros, de 10 articles vendus lors d'un vide-grenier :

22 · 15 · 30 · 18 · 25 · 12 · 28 · 20 · 16 · 24

a) Déterminer \(Q_1\) et \(Q_3\) de cette série de prix.

b) Calculer et interpréter l'écart interquartile.

💡 Indices

\(n=10\), donc \(\dfrac{n}{4} = 2,5\), qui n'est pas un entier : le rang de \(Q_1\) est le premier entier supérieur ou égal à 2,5, donc 3.

\(\dfrac{3n}{4} = 7,5\) : le rang de \(Q_3\) est le premier entier supérieur ou égal à 7,5, donc 8.

Série triée

12 · 15 · 16 · 18 · 20 · 22 · 24 · 25 · 28 · 30

a) Quartiles

Rang de \(Q_1\)\(\dfrac{10}{4} = 2,5 \Rightarrow\) rang 3

\(Q_1 = 16\)

Rang de \(Q_3\)\(\dfrac{3\times10}{4} = 7,5 \Rightarrow\) rang 8

\(Q_3 = 25\)

\(Q_1 = 16\) € et \(Q_3 = 25\) €.

b) Écart interquartile

Calcul\(25 - 16 = 9\)

L'écart interquartile est de 9 € : les 50 % de prix centraux s'étalent sur 9 €.

Exercice 4 / 6

Tableau d'effectifs ECC

✓ Vu

Un professeur a recensé le nombre de fautes d'orthographe dans les rédactions de ses 20 élèves :

Fautes \(x_i\)	0	1	2	3	4	5	Total
Effectif \(n_i\)	2	4	6	4	3	1	20
ECC	?	?	?	?	?	?	—

a) Compléter la ligne des effectifs cumulés croissants (ECC).

b) Déterminer le rang de \(Q_1\), puis sa valeur, à l'aide de l'ECC.

c) Déterminer le rang de \(Q_3\), puis sa valeur.

d) Calculer et interpréter l'écart interquartile.

💡 Indices

Calcule d'abord les rangs de \(Q_1\) et \(Q_3\) comme d'habitude (\(n=20\)), puis utilise l'ECC pour savoir dans quel groupe ces rangs se situent — exactement comme pour la médiane.

a) Effectifs cumulés croissants

Fautes \(x_i\)	0	1	2	3	4	5	Total
Effectif \(n_i\)	2	4	6	4	3	1	20
ECC	2	6	12	16	19	20	—

b) Premier quartile \(Q_1\)

Rang de \(Q_1\)\(\dfrac{20}{4} = 5\)

Le rang 5 : les élèves avec 0 faute occupent les rangs 1 à 2 (ECC=2), ceux avec 1 faute les rangs 3 à 6 (ECC=6). Le rang 5 tombe donc dans le groupe « 1 faute ».

\(Q_1 = 1\) faute.

c) Troisième quartile \(Q_3\)

Rang de \(Q_3\)\(\dfrac{3\times20}{4} = 15\)

Le rang 15 : les élèves avec 2 fautes occupent les rangs 7 à 12 (ECC=12), ceux avec 3 fautes les rangs 13 à 16 (ECC=16). Le rang 15 tombe donc dans le groupe « 3 fautes ».

\(Q_3 = 3\) fautes.

d) Écart interquartile

Calcul\(3 - 1 = 2\)

L'écart interquartile vaut 2 : la moitié centrale des élèves a fait entre 1 et 3 fautes.

Exercice 5 / 6

Étendue / EIQ Valeur extrême

✓ Vu

Un vendeur de brocante propose 9 objets aux prix suivants, en euros :

12 · 15 · 18 · 10 · 14 · 16 · 13 · 11 · 95 (objet de collection)

a) Calculer l'étendue de cette série de prix.

b) Calculer l'écart interquartile de cette série.

c) Lequel de ces deux indicateurs est le plus perturbé par le prix de l'objet de collection ? Expliquer pourquoi.

💡 Indices

L'étendue ne dépend que du minimum et du maximum. L'écart interquartile, lui, exclut les 25 % de valeurs les plus petites et les 25 % les plus grandes.

Série triée

10 · 11 · 12 · 13 · 14 · 15 · 16 · 18 · 95

a) Étendue

Calcul\(95 - 10 = 85\)

L'étendue est de 85 €.

b) Écart interquartile

Rang de \(Q_1\)\(\dfrac{9}{4} = 2,25 \Rightarrow\) rang 3 \(\Rightarrow Q_1=12\)

Rang de \(Q_3\)\(\dfrac{27}{4} = 6,75 \Rightarrow\) rang 7 \(\Rightarrow Q_3=16\)

Écart interquartile\(16-12 = 4\)

L'écart interquartile est de 4 €.

c) Comparaison

L'étendue est complètement déformée par le prix de l'objet de collection : elle passe de quelques euros à 85 € à cause d'une seule valeur extrême, car elle ne dépend que du maximum et du minimum. L'écart interquartile (4 €), lui, reste représentatif du prix des objets « courants », car il ignore les 25 % de valeurs les plus élevées — dont fait justement partie l'objet de collection.

Exercice 6 / 6

Synthèse Résumé en 5 nombres

✓ Vu

Voici le temps de trajet domicile-travail, en minutes, de 16 salariés d'une entreprise :

18 · 10 · 25 · 15 · 31 · 20 · 14 · 27 · 22 · 16 · 35 · 19 · 12 · 24 · 29 · 21

a) Déterminer le minimum, le maximum et l'étendue de cette série.

b) Déterminer la médiane de cette série.

c) Déterminer \(Q_1\) et \(Q_3\), puis l'écart interquartile.

d) Résumer cette série à l'aide de ses cinq valeurs clés (minimum, \(Q_1\), médiane, \(Q_3\), maximum) — ce résumé sera très utile pour construire une boîte à moustaches.

💡 Indices

Range d'abord toute la série dans l'ordre croissant une bonne fois pour toutes : tu pourras ensuite répondre à toutes les questions à partir de cette même liste triée.

\(n=16\) : médiane entre les rangs 8 et 9, rang de \(Q_1 = \dfrac{16}{4}=4\), rang de \(Q_3 = \dfrac{3\times16}{4}=12\).

Série triée

10 · 12 · 14 · 15 · 16 · 18 · 19 · 20 · 21 · 22 · 24 · 25 · 27 · 29 · 31 · 35

a) Minimum, maximum, étendue

Min / Max\(10\) et \(35\)

Étendue\(35-10=25\)

b) Médiane

\(n=16\) (pair) : la médiane est la moyenne des 8^e et 9^e valeurs (20 et 21).

Médiane\(\dfrac{20+21}{2} = 20,5\)

c) Quartiles et écart interquartile

Rang de \(Q_1\)\(\dfrac{16}{4}=4 \Rightarrow Q_1=15\)

Rang de \(Q_3\)\(\dfrac{3\times16}{4}=12 \Rightarrow Q_3=25\)

Écart interquartile\(25-15=10\)

d) Résumé en cinq nombres

Minimum	\(Q_1\)	Médiane	\(Q_3\)	Maximum
10	15	20,5	25	35

Ce résumé en cinq nombres (10 ; 15 ; 20,5 ; 25 ; 35) est exactement ce dont on aura besoin pour construire une boîte à moustaches !