L'écart-type

Statistiques descriptives n°5 — Feuille d'exercices — 2^nde

Comprendre Lire un tableau Comparer des séries

📌 Comprendre et lire un écart-type

① Qu'est-ce que l'écart-type ?

L'écart-type est un nombre (toujours positif) qui mesure la dispersion des valeurs d'une série autour de sa moyenne. Il est donné par la calculatrice ou un tableur — on ne le calcule pas à la main pour une grande série.

② Comment l'interpréter ?

Écart-type petit (proche de 0) : les valeurs sont resserrées autour de la moyenne → série homogène.
Écart-type grand : les valeurs sont dispersées, éloignées de la moyenne → série hétérogène.

③ Ce qu'il faut savoir faire

Lire un tableau donnant, pour plusieurs séries, leur moyenne et leur écart-type, afin de les comparer. Attention : deux séries peuvent avoir la même moyenne et des écarts-types très différents — la moyenne seule ne suffit jamais à décrire une série.

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Exercice 1 / 6

Lecture de tableau Comparer deux séries

✓ Vu

Deux classes de 2^nde, A et B, ont passé le même contrôle de mathématiques. Voici un tableau résumant leurs résultats :

Classe	Moyenne	Écart-type
A	12,5	1,8
B	12,5	4,3

a) Que remarque-t-on en comparant les moyennes des deux classes ?

b) Que remarque-t-on en comparant les écarts-types ?

c) Dans laquelle des deux classes les notes sont-elles les plus dispersées autour de la moyenne ? Justifier sans calcul.

💡 Indices

Un écart-type plus grand signifie des valeurs plus dispersées, donc une classe moins homogène.

a) Comparaison des moyennes

Les deux classes ont exactement la même moyenne : 12,5.

b) Comparaison des écarts-types

L'écart-type de la classe B (4,3) est bien plus grand que celui de la classe A (1,8).

c) Classe la plus dispersée

C'est en classe B que les notes sont les plus dispersées : son écart-type est plus grand, ce qui signifie que les notes s'éloignent davantage de la moyenne. En classe A, au contraire, les notes sont resserrées autour de 12,5 : la classe est plus homogène.

Exercice 2 / 6

Lecture de tableau Classement

✓ Vu

Un professeur d'EPS a chronométré le temps mis par 4 groupes d'élèves pour effectuer un même parcours. Voici les résultats :

Groupe	1	2	3	4
Moyenne (s)	45	45	45	45
Écart-type (s)	2	8	5	0,5

a) Que peut-on dire des performances moyennes des 4 groupes ?

b) Classer les groupes du plus homogène au moins homogène, à l'aide des écarts-types.

c) Quel groupe a des temps individuels les plus réguliers, d'un élève à l'autre ?

💡 Indices

Le groupe le plus homogène est celui dont l'écart-type est le plus petit.

a) Performances moyennes

Les 4 groupes ont exactement la même performance moyenne : 45 secondes.

b) Classement par homogénéité

Du plus homogène (écart-type le plus petit) au moins homogène (écart-type le plus grand) :

Groupe 4 (0,5) < Groupe 1 (2) < Groupe 3 (5) < Groupe 2 (8)

c) Groupe le plus régulier

C'est le groupe 4 : son écart-type (0,5 s) est le plus faible, donc les temps des élèves de ce groupe sont les plus proches les uns des autres.

Exercice 3 / 6

Interprétation Contexte réel

✓ Vu

Deux fabricants d'ampoules annoncent la même durée de vie moyenne de 1000 heures pour leurs ampoules. Le fabricant A annonce un écart-type de 50 heures, le fabricant B un écart-type de 200 heures.

a) Que signifie, concrètement, un écart-type plus petit pour le fabricant A par rapport au fabricant B ?

b) Pour un usage nécessitant une durée de vie fiable et prévisible, quel fabricant choisiriez-vous ? Justifier.

💡 Indices

Repense à la définition de l'écart-type : que mesure-t-il par rapport à la moyenne ?

a) Signification

Chez le fabricant A, les durées de vie des ampoules sont peu dispersées autour de 1000 heures : la grande majorité des ampoules durent une durée très proche de la moyenne. Chez le fabricant B, les durées de vie sont beaucoup plus dispersées : certaines ampoules tombent en panne bien avant 1000 heures, d'autres durent bien plus longtemps.

b) Choix

Pour un usage nécessitant fiabilité et prévisibilité, il vaut mieux choisir le fabricant A. Son écart-type plus faible garantit une plus grande régularité : le risque d'avoir une ampoule qui tombe en panne très rapidement est bien plus faible que chez le fabricant B, même si la durée de vie moyenne annoncée est identique.

Exercice 4 / 6

Lecture de tableau Contexte réel

✓ Vu

Voici un tableau présentant, pour trois fonds de placement, le rendement annuel moyen sur les 10 dernières années, ainsi que l'écart-type de ce rendement :

Fonds	Rendement moyen	Écart-type
A	6 %	1 %
B	6 %	8 %
C	3 %	0,5 %

a) Quel(s) fonds ont le rendement moyen le plus élevé ?

b) Entre les fonds A et B, lequel présente la variabilité (le risque) la plus importante d'une année à l'autre ? Justifier.

c) Un investisseur prudent, qui privilégie la prévisibilité, devrait-il plutôt choisir le fonds A ou le fonds C ? Justifier en utilisant à la fois la moyenne et l'écart-type.

💡 Indices

Ne compare pas seulement les écarts-types : mets aussi en balance ce que rapporte chaque fonds en moyenne.

a) Rendement moyen le plus élevé

Les fonds A et B ont le rendement moyen le plus élevé, à égalité (6 %).

b) Fonds le plus risqué

Le fonds B présente la variabilité la plus importante : son écart-type (8 %) est beaucoup plus grand que celui du fonds A (1 %). Le rendement du fonds B varie donc fortement d'une année à l'autre, alors que celui du fonds A reste plus stable.

c) Choix pour un investisseur prudent

Le fonds A semble être le meilleur compromis : son rendement moyen (6 %) est le double de celui du fonds C (3 %), pour un écart-type qui reste faible (1 %, contre 0,5 % pour C). L'investisseur profite donc d'un bien meilleur rendement tout en conservant une bonne prévisibilité — un écart-type faible ne suffit pas à lui seul si le rendement associé est trop bas.

Exercice 5 / 6

Vrai / Faux Comprendre l'écart-type

✓ Vu

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, et justifier.

a) Un écart-type égal à 0 signifie que toutes les valeurs de la série sont égales.

b) Plus l'écart-type est grand, plus les valeurs sont proches de la moyenne.

c) L'écart-type se définit toujours par rapport à la moyenne de la série.

d) Deux séries peuvent avoir la même moyenne mais des écarts-types très différents.

💡 Indices

Relis bien l'affirmation : ne confonds pas ce qui se passe quand l'écart-type est grand et quand il est petit.

Repense à l'exercice 1 de cette fiche (les classes A et B).

a) VRAI

Un écart-type de 0 signifie qu'il n'y a aucune dispersion : toutes les valeurs sont identiques, et donc égales à la moyenne.

b) FAUX

C'est l'inverse : plus l'écart-type est grand, plus les valeurs sont éloignées (dispersées) autour de la moyenne. Ce sont les écarts-types petits qui indiquent des valeurs proches de la moyenne.

c) VRAI

L'écart-type mesure justement la dispersion des valeurs autour de la moyenne : il n'a de sens que par rapport à elle.

d) VRAI

La moyenne et l'écart-type sont deux indicateurs indépendants l'un de l'autre : deux séries peuvent tout à fait partager la même moyenne tout en ayant des dispersions très différentes (voir l'exercice 1 de cette fiche, avec les classes A et B).

Exercice 6 / 6

Synthèse Choix argumenté

✓ Vu

Trois usines produisent des pièces mécaniques dont le diamètre doit être le plus proche possible de 50 mm. Voici un tableau résumant la production quotidienne de chaque usine :

Usine	Diamètre moyen (mm)	Écart-type (mm)
Usine 1	50,0	0,05
Usine 2	50,0	1,2
Usine 3	49,7	0,08

a) Quelle(s) usine(s) produisent des pièces dont le diamètre moyen correspond exactement à l'objectif de 50 mm ?

b) Entre les usines 1 et 2 (même diamètre moyen), laquelle produit des pièces les plus régulières ? Justifier.

c) L'usine 3 a un écart-type très faible : cela suffit-il à dire qu'elle est la plus fiable pour cet objectif de fabrication ? Justifier en utilisant à la fois la moyenne et l'écart-type.

d) Si vous étiez responsable qualité, quelle usine choisiriez-vous pour ce cahier des charges ? Justifier votre choix en une phrase.

💡 Indices

Un écart-type faible garantit la régularité, mais ne dit rien sur le fait que la production soit centrée sur la bonne valeur.

a) Diamètre moyen conforme à l'objectif

Les usines 1 et 2 ont un diamètre moyen exactement égal à l'objectif de 50,0 mm.

b) Usine la plus régulière

C'est l'usine 1 : son écart-type (0,05 mm) est bien plus petit que celui de l'usine 2 (1,2 mm). Ses pièces sont donc beaucoup plus régulières, proches les unes des autres.

c) L'usine 3 est-elle fiable pour autant ?

Non, ce n'est pas suffisant. Bien que l'écart-type de l'usine 3 soit très faible (peu de dispersion, donc une production régulière), sa moyenne (49,7 mm) est décalée par rapport à l'objectif (50 mm). Les pièces sont donc régulières, mais systématiquement trop petites. Un faible écart-type ne compense pas un mauvais centrage de la moyenne.

d) Choix final

L'usine 1 est le meilleur choix : elle combine une moyenne exactement centrée sur l'objectif (50,0 mm) et un écart-type très faible (0,05 mm), garantissant à la fois précision et régularité.