La boîte à moustaches

Statistiques descriptives n°6 — Feuille d'exercices — 2nde

Construction Lecture Comparaison

📌 Construire et lire une boîte à moustaches

① Construction
On construit une boîte à moustaches à partir du résumé en cinq nombres (minimum, \(Q_1\), médiane, \(Q_3\), maximum) : un rectangle (la « boîte ») s'étend de \(Q_1\) à \(Q_3\), avec un trait vertical à la médiane ; deux segments (les « moustaches ») relient la boîte au minimum et au maximum.
② Lecture
Sur une boîte à moustaches donnée, on peut lire directement le minimum, \(Q_1\), la médiane, \(Q_3\) et le maximum, puis en déduire l'étendue (\(\text{Max}-\text{Min}\)) et l'écart interquartile (\(Q_3-Q_1\)).
③ Ce que représente chaque partie
La boîte à moustaches découpe la série en 4 parties contenant chacune environ 25 % des valeurs : de min à \(Q_1\), de \(Q_1\) à la médiane, de la médiane à \(Q_3\), et de \(Q_3\) à max.
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Exercice 1 / 6

Résumé en 5 nombres Étape préalable
✓ Vu

Voici l'âge, en années, de 12 spectateurs interrogés à la sortie d'un cinéma :

22 · 35 · 19 · 41 · 28 · 33 · 25 · 38 · 21 · 30 · 45 · 27
a) Déterminer le résumé en cinq nombres de cette série (minimum, \(Q_1\), médiane, \(Q_3\), maximum).
b) Expliquer à quoi correspond chacune de ces 5 valeurs dans la construction d'une boîte à moustaches.

💡 Indices

Range d'abord la série dans l'ordre croissant : \(n=12\), donc rang de \(Q_1=\frac{12}{4}=3\), rang de \(Q_3=\frac{3\times12}{4}=9\), médiane entre les rangs 6 et 7.
Série triée
19 · 21 · 22 · 25 · 27 · 28 · 30 · 33 · 35 · 38 · 41 · 45
a) Résumé en cinq nombres
Minimum\(Q_1\)Médiane\(Q_3\)Maximum
1922293545
(médiane = moyenne des 6e et 7e valeurs : \(\frac{28+30}{2}=29\))
b) Rôle de chaque valeur
Le minimum et le maximum marquent les extrémités des moustaches. \(Q_1\) et \(Q_3\) sont les bords du rectangle (la « boîte »). La médiane est représentée par un trait vertical à l'intérieur de la boîte.

Exercice 2 / 6

Lecture Boîte à moustaches
✓ Vu

Voici la boîte à moustaches représentant une série de valeurs :

a) Lire sur le graphique le minimum, le maximum, ainsi que \(Q_1\), la médiane et \(Q_3\).
b) En déduire l'étendue et l'écart interquartile de cette série.
c) Que peut-on dire de la répartition de la « moitié centrale » des valeurs (entre \(Q_1\) et \(Q_3\)) par rapport à l'étendue totale de la série ?

💡 Indices

Les extrémités des moustaches donnent le minimum et le maximum ; les bords de la boîte donnent \(Q_1\) et \(Q_3\) ; le trait rouge à l'intérieur de la boîte donne la médiane.
a) Lecture des 5 valeurs
Minimum\(Q_1\)Médiane\(Q_3\)Maximum
512182532
b) Étendue et écart interquartile
Étendue\(32 - 5 = 27\)
Écart interquartile\(25 - 12 = 13\)
c) Interprétation
La moitié centrale des valeurs (50 % de la série) s'étale sur seulement 13 unités, alors que la série entière s'étend sur 27 unités. La zone centrale (autour de la médiane) est donc relativement resserrée par rapport à l'étendue globale, ce qui traduit une certaine homogénéité au cœur de la série malgré des valeurs extrêmes plus éloignées.

Exercice 3 / 6

Comparaison Deux classes
✓ Vu

Deux classes ont passé le même devoir de mathématiques (notes sur 20). Voici les boîtes à moustaches de leurs résultats :

a) Comparer les médianes des deux classes. Que peut-on en conclure sur le niveau général de chaque classe ?
b) Comparer les écarts interquartiles des deux classes. Laquelle est la plus homogène au centre ?
c) Comparer les étendues des deux classes. Laquelle a des résultats globalement les plus dispersés ?

💡 Indices

Lis d'abord les 5 valeurs de chaque boîte (minimum, \(Q_1\), médiane, \(Q_3\), maximum) avant de comparer.
Lecture des deux boîtes
ClasseMinimum\(Q_1\)Médiane\(Q_3\)Maximum
A811131518
B49131720
a) Médianes
Les deux classes ont exactement la même médiane (13) : le niveau général (« typique ») des deux classes est donc identique.
b) Écarts interquartiles
EIQ classe A\(15-11=4\)
EIQ classe B\(17-9=8\)
La classe A est plus homogène au centre : son écart interquartile (4) est deux fois plus petit que celui de la classe B (8).
c) Étendues
Étendue classe A\(18-8=10\)
Étendue classe B\(20-4=16\)
La classe B a des résultats globalement plus dispersés : son étendue (16) est plus grande que celle de la classe A (10).

Exercice 4 / 6

Construction guidée Synthèse des chapitres précédents
✓ Vu

Voici le temps, en minutes, mis par 16 élèves pour résoudre une énigme :

14 · 22 · 9 · 31 · 18 · 25 · 12 · 28 · 20 · 16 · 35 · 19 · 11 · 24 · 29 · 21
a) Déterminer le résumé en cinq nombres de cette série.
b) Un nouvel élève met 45 minutes à résoudre l'énigme. Comment cette valeur se situerait-elle par rapport à la boîte à moustaches de la série ? Est-ce cohérent avec le reste des résultats ?

💡 Indices

\(n=16\) : rang de \(Q_1=\frac{16}{4}=4\), rang de \(Q_3=\frac{3\times16}{4}=12\), médiane entre les rangs 8 et 9.
Compare 45 minutes au maximum de la série trouvé en a).
Série triée
9 · 11 · 12 · 14 · 16 · 18 · 19 · 20 · 21 · 22 · 24 · 25 · 28 · 29 · 31 · 35
a) Résumé en cinq nombres
Minimum\(Q_1\)Médiane\(Q_3\)Maximum
91420,52535
b) Une valeur de 45 minutes
Le maximum de la série est de 35 minutes. Une valeur de 45 minutes se situerait donc largement au-delà de la moustache droite, bien au-dessus du maximum observé. Ce serait une valeur incohérente avec le reste de la série : on parlerait d'une valeur extrême (potentiellement aberrante), à examiner avant de l'inclure dans l'analyse.

Exercice 5 / 6

Lecture avancée Proportions
✓ Vu

Voici la boîte à moustaches représentant le salaire mensuel, en k€, des 200 employés d'une entreprise :

a) Quel pourcentage d'employés gagnent moins de \(Q_1\) ?
b) Quel pourcentage d'employés gagnent plus de \(Q_3\) ?
c) Un employé gagne 34 k€. Fait-il partie des 25 % les mieux payés de l'entreprise ? Justifier.
d) Combien d'employés, parmi les 200, gagnent entre \(Q_1\) et \(Q_3\) ?

💡 Indices

Par définition, 25 % des valeurs sont inférieures ou égales à \(Q_1\), et 25 % sont supérieures ou égales à \(Q_3\).
Lis d'abord la valeur de \(Q_3\) sur le graphique, puis compare-la à 34.
Lecture du graphique
Minimum = 18 ; \(Q_1\) = 24 ; Médiane = 30 ; \(Q_3\) = 38 ; Maximum = 65 (en k€).
a) Employés gagnant moins de \(Q_1\)
Par définition du premier quartile, 25 % des employés gagnent moins de \(Q_1\) = 24 k€.
b) Employés gagnant plus de \(Q_3\)
Par définition du troisième quartile, 25 % des employés gagnent plus de \(Q_3\) = 38 k€.
c) Le cas de l'employé à 34 k€
Non. Pour faire partie des 25 % les mieux payés, il faudrait gagner plus de \(Q_3\) = 38 k€. Or 34 k€ est inférieur à 38 k€ : cet employé se situe entre la médiane (30) et \(Q_3\) (38), donc dans la moitié supérieure de l'entreprise, mais pas dans le quart le mieux payé.
d) Nombre d'employés entre \(Q_1\) et \(Q_3\)
Entre \(Q_1\) et \(Q_3\) se trouvent 50 % des employés (la boîte représente la moitié centrale de la série).
Calcul\(0,50 \times 200 = 100\)
100 employés gagnent entre \(Q_1\) et \(Q_3\).

Exercice 6 / 6

Synthèse Trois séries
✓ Vu

Une entreprise de livraison a mesuré le temps de livraison, en heures, dans 3 régions différentes. Voici les boîtes à moustaches obtenues :

a) Comparer les médianes des trois régions. Que peut-on en conclure sur le temps de livraison « typique » ?
b) Quelle région présente l'écart interquartile le plus faible ? Que signifie ce résultat pour cette région ?
c) Quelle région présente l'étendue la plus grande ? Que peut suggérer ce résultat ?
d) En tant que client souhaitant un service de livraison le plus prévisible possible, quelle région choisiriez-vous ? Justifier en mobilisant plusieurs indicateurs.

💡 Indices

Commence par lire, pour chaque région, les 5 valeurs (minimum, \(Q_1\), médiane, \(Q_3\), maximum), puis compare-les une par une.
Lecture des trois boîtes
RégionMinimum\(Q_1\)Médiane\(Q_3\)Maximum
1246810
2136915
345679
a) Médianes
Les trois régions ont exactement la même médiane (6 heures) : le temps de livraison « typique » est donc identique dans les 3 régions.
b) Écart interquartile le plus faible
La région 3 a l'écart interquartile le plus faible (\(7-5=2\)). Cela signifie que la moitié centrale des livraisons y est très homogène : les délais y sont extrêmement réguliers.
c) Étendue la plus grande
La région 2 a l'étendue la plus grande (\(15-1=14\)). Cela peut suggérer la présence de cas exceptionnels (livraisons anormalement rapides ou très en retard), alors même que sa boîte centrale (\(Q_1\) à \(Q_3\)) reste large (\(9-3=6\)).
d) Choix pour un client
La région 3 serait le meilleur choix : sa médiane est identique à celle des deux autres régions (6 h), mais son écart interquartile est le plus faible (2 h) et son étendue la plus petite (5 h), donc ses délais de livraison sont les plus réguliers et prévisibles. La région 2, malgré une médiane identique, présente des cas extrêmes (étendue de 14 h) qui la rendent moins fiable en pratique.

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