Bilan : interpréter
et comparer des séries

Statistiques descriptives n°7 — Feuille d'exercices — 2nde

Choisir un indicateur Interpréter Comparer des séries

📌 Bien choisir et croiser ses indicateurs

① Quel indicateur central choisir ?
La moyenne est facile à calculer, mais très sensible aux valeurs extrêmes. La médiane est plus robuste : elle est souvent préférable pour décrire une série qui contient des valeurs extrêmes ou une répartition asymétrique.
② Quel indicateur de dispersion choisir ?
L'étendue est simple mais très sensible aux valeurs extrêmes. L'écart interquartile et l'écart-type donnent une image plus fidèle de la dispersion « typique » de la série.
③ Comparer plusieurs séries
Un seul indicateur ne suffit jamais à décrire une série ! Il faut toujours croiser un indicateur de position (moyenne ou médiane) avec un indicateur de dispersion (étendue, écart interquartile ou écart-type) pour se faire une idée complète.
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Exercice 1 / 7

Choisir un indicateur Moyenne ou médiane
✓ Vu

Pour chacune des situations suivantes, indiquer quel indicateur — la moyenne ou la médiane — semble le plus adapté pour décrire la valeur « typique » de la série, et justifier.

a) Le salaire « typique » des habitants d'une ville, sachant qu'une poignée de millionnaires y résident.
b) La taille des élèves d'une classe de 2nde, une série homogène et sans valeur extrême.
c) Le temps de trajet domicile-travail des employés d'une entreprise, sachant qu'un employé habite exceptionnellement loin.

💡 Indices

Demande-toi si la série contient une ou plusieurs valeurs très éloignées des autres.
a) Salaires avec millionnaires
La médiane est plus adaptée. Les salaires très élevés des millionnaires tireraient la moyenne vers le haut, la rendant peu représentative du salaire réellement perçu par la majorité des habitants.
b) Taille des élèves (série homogène)
La moyenne convient bien ici. Sans valeur extrême, moyenne et médiane sont proches et toutes deux représentatives ; la moyenne reste l'indicateur le plus intuitif et le plus simple à utiliser.
c) Temps de trajet avec un cas extrême
La médiane est préférable. Le temps de trajet exceptionnellement long d'un seul employé ferait fortement augmenter la moyenne, sans que cela reflète la situation de la majorité des employés.

Exercice 2 / 7

Bilan complet Comparer deux séries
✓ Vu

Voici un résumé statistique des notes sur 20 obtenues par deux classes à un même contrôle :

ClasseMoyenneMédianeÉcart-typeMinimumMaximum
A12121,5915
B12113,8419
a) Comparer les moyennes et les médianes de chaque classe. Que remarque-t-on pour la classe A ? Pour la classe B ?
b) Comparer les écarts-types. Que peut-on en conclure sur l'homogénéité de chaque classe ?
c) Dans la classe B, la moyenne (12) est supérieure à la médiane (11). Que peut-on en déduire sur la répartition des notes de cette classe ?

💡 Indices

Repense à l'exercice sur les salaires : quand la moyenne dépasse la médiane, c'est souvent le signe de quelques valeurs plus élevées qui « tirent » la moyenne vers le haut.
a) Moyennes et médianes
Dans la classe A, moyenne et médiane sont égales (12) : la répartition des notes semble assez équilibrée (symétrique). Dans la classe B, la moyenne (12) est supérieure à la médiane (11) : la répartition des notes y est donc moins équilibrée.
b) Écarts-types
L'écart-type de la classe A (1,5) est bien plus petit que celui de la classe B (3,8) : la classe A est beaucoup plus homogène, ses notes sont resserrées autour de la moyenne, alors que celles de la classe B sont bien plus dispersées.
c) Interprétation pour la classe B
Une moyenne supérieure à la médiane suggère que quelques notes plutôt élevées tirent la moyenne vers le haut, alors que la moitié des élèves de la classe a une note inférieure ou égale à 11. La classe B semble donc contenir un petit groupe d'élèves très performants, qui côtoie une majorité de résultats plus modestes.

Exercice 3 / 7

Lecture croisée Boîte + moyenne
✓ Vu

Voici la boîte à moustaches des notes sur 20 obtenues par une classe de 30 élèves à un contrôle. La moyenne de la classe, qui n'apparaît pas sur ce type de graphique, est de 12,8.

a) Lire sur le graphique le résumé en cinq nombres de cette série.
b) Comparer la moyenne (12,8) et la médiane. Que peut-on en dire sur la répartition des notes ?
c) Combien d'élèves, parmi les 30, ont une note comprise entre \(Q_1\) et \(Q_3\) ?
d) Un élève affirme : « Comme la moyenne est 12,8, la moitié de la classe a plus de 12,8 et l'autre moitié moins. » Cette affirmation est-elle correcte ? Justifier en utilisant la médiane.

💡 Indices

C'est un indicateur bien précis, vu dès la Fiche 3, qui partage toujours une série en deux effectifs égaux — pas la moyenne.
a) Résumé en cinq nombres
Minimum\(Q_1\)Médiane\(Q_3\)Maximum
610131619
b) Moyenne et médiane
La moyenne (12,8) est très proche de la médiane (13), légèrement inférieure. La répartition des notes est donc relativement équilibrée, sans déséquilibre marqué causé par des valeurs extrêmes.
c) Élèves entre \(Q_1\) et \(Q_3\)
Par définition, 50 % des élèves ont une note entre \(Q_1\) et \(Q_3\).
Calcul\(0,50 \times 30 = 15\)
15 élèves ont une note comprise entre \(Q_1\) et \(Q_3\).
d) L'affirmation de l'élève
Cette affirmation est fausse. C'est la médiane (et non la moyenne) qui, par définition, partage la série en deux groupes de même effectif. Ici, la médiane est 13, pas 12,8 : c'est donc par rapport à 13 (et non 12,8) que la classe se partage en deux moitiés égales. La moyenne peut être influencée par la répartition exacte des valeurs et ne joue pas ce rôle de partage.

Exercice 4 / 7

Étude de cas Choix argumenté
✓ Vu

Une agence immobilière hésite entre deux quartiers pour ouvrir une nouvelle agence, selon le prix de vente au m² des appartements. Voici le résumé statistique des ventes de l'année dans chaque quartier :

QuartierMoyenneMédianeÉcart-type\(Q_1\)\(Q_3\)
Nord3200 €3150 €250 €3000 €3400 €
Sud3200 €2900 €900 €2600 €3600 €
a) Comparer les prix moyens des deux quartiers. Cette seule information suffit-elle à choisir un quartier ?
b) Comparer les médianes. Que remarque-t-on pour le quartier Sud ?
c) Comparer les écarts-types et les écarts interquartiles. Que peut-on en déduire sur l'homogénéité du marché de chaque quartier ?
d) Si l'agence recherche un marché prévisible et stable, quel quartier recommanderiez-vous ? Justifiez en mobilisant au moins trois indicateurs différents.

💡 Indices

Une moyenne identique ne dit rien sur la dispersion des prix : il faut regarder d'autres indicateurs pour se faire une idée complète.
a) Comparaison des moyennes
Les deux quartiers ont exactement le même prix moyen (3200 €/m²). Cette seule information ne suffit pas à choisir un quartier : elle ne renseigne pas sur la dispersion des prix, qui peut être très différente d'un quartier à l'autre.
b) Comparaison des médianes
La médiane du quartier Sud (2900 €) est nettement inférieure à sa moyenne (3200 €). Cela suggère que quelques ventes exceptionnellement chères (des biens de standing) tirent la moyenne vers le haut, alors que la majorité des ventes se font à des prix plus modestes.
c) Écarts-types et écarts interquartiles
EIQ Nord\(3400-3000=400\) €
EIQ Sud\(3600-2600=1000\) €
L'écart-type (250 € contre 900 €) et l'écart interquartile (400 € contre 1000 €) sont tous deux bien plus faibles dans le quartier Nord. Le marché y est donc beaucoup plus homogène, alors que le quartier Sud connaît de fortes disparités de prix.
d) Recommandation
Le quartier Nord est recommandé pour un marché stable et prévisible : sa moyenne est identique à celle du Sud, mais sa médiane (3150 €) reste très proche de sa moyenne (3200 €) — signe d'une répartition équilibrée — et son écart-type comme son écart interquartile sont nettement plus faibles. Le quartier Sud, à l'inverse, présente un écart marqué entre moyenne et médiane ainsi qu'une forte dispersion, révélateurs d'un marché plus irrégulier.

Exercice 5 / 7

Vrai / Faux Bilan du chapitre
✓ Vu

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, et justifier brièvement.

a) La médiane d'une série est toujours égale à sa moyenne.
b) Deux séries peuvent avoir la même étendue mais des écarts interquartiles différents.
c) Sur une boîte à moustaches, la boîte (le rectangle) représente environ 50 % des valeurs de la série.
d) Un écart-type élevé signifie que les valeurs sont proches de la moyenne.
e) Pour une série contenant une valeur extrême, la médiane est en général plus représentative que la moyenne.

💡 Indices

L'étendue ne dépend que du minimum et du maximum ; l'écart interquartile ne dépend que de \(Q_1\) et \(Q_3\) : ce sont deux informations indépendantes.
a) FAUX
La médiane et la moyenne sont deux indicateurs différents, calculés de deux façons distinctes. Ils ne coïncident en général que pour des séries parfaitement symétriques.
b) VRAI
L'étendue ne dépend que du minimum et du maximum, alors que l'écart interquartile ne dépend que de \(Q_1\) et \(Q_3\). Deux séries peuvent donc avoir les mêmes valeurs extrêmes tout en ayant une répartition centrale plus ou moins dispersée.
c) VRAI
C'est la définition même de la boîte à moustaches : le rectangle s'étend de \(Q_1\) à \(Q_3\), qui délimitent justement la moitié centrale (50 %) des valeurs.
d) FAUX
C'est l'inverse : un écart-type élevé signifie que les valeurs sont dispersées, éloignées de la moyenne. Ce sont les écarts-types faibles qui indiquent des valeurs proches de la moyenne.
e) VRAI
Contrairement à la moyenne, la médiane n'est pas sensible aux valeurs extrêmes : elle reste donc, en général, un meilleur indicateur de la valeur « typique » d'une série qui en contient.

Exercice 6 / 7

Synthèse finale Rapport complet
✓ Vu

Voici le temps d'attente, en minutes, de 20 clients à la caisse d'un supermarché un samedi après-midi :

4 · 12 · 6 · 25 · 8 · 15 · 3 · 18 · 9 · 22 · 7 · 14 · 5 · 30 · 10 · 16 · 11 · 20 · 6 · 13
a) Calculer la moyenne du temps d'attente (arrondie au dixième).
b) Déterminer le résumé en cinq nombres de cette série (minimum, \(Q_1\), médiane, \(Q_3\), maximum).
c) Comparer moyenne et médiane. Que peut-on en dire sur la répartition des temps d'attente ?
d) Le responsable du magasin communique : « En moyenne, nos clients attendent moins de 13 minutes. » Cette communication est-elle trompeuse ? Justifier en vous appuyant sur l'écart interquartile et le maximum.
e) Rédiger, à destination de la direction, une phrase de conclusion résumant la qualité du service en caisse ce samedi après-midi, en mobilisant au moins deux indicateurs statistiques étudiés dans ce chapitre.

💡 Indices

Range d'abord toute la série dans l'ordre croissant une bonne fois pour toutes, avant de répondre aux questions suivantes.
\(n=20\) : médiane entre les rangs 10 et 11, rang de \(Q_1=\frac{20}{4}=5\), rang de \(Q_3=\frac{3\times20}{4}=15\).
Une affirmation peut être vraie sur le plan des chiffres tout en donnant une image incomplète, voire trompeuse, de la réalité.
Série triée
3 · 4 · 5 · 6 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11 · 12 · 13 · 14 · 15 · 16 · 18 · 20 · 22 · 25 · 30
a) Moyenne
Somme\(3+4+5+6+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+18+20+22+25+30 = 254\)
Moyenne\(\dfrac{254}{20} = 12,7\)
Le temps d'attente moyen est de 12,7 minutes.
b) Résumé en cinq nombres
\(n=20\) (pair) : médiane = moyenne des 10e et 11e valeurs (11 et 12) ; rang de \(Q_1=5\) ; rang de \(Q_3=15\).
Minimum\(Q_1\)Médiane\(Q_3\)Maximum
3611,51630
c) Moyenne et médiane
La moyenne (12,7) est légèrement supérieure à la médiane (11,5) : la répartition est un peu asymétrique, quelques temps d'attente longs (25 et 30 minutes) tirent la moyenne vers le haut.
d) Une communication trompeuse ?
Écart interquartile\(16-6=10\) minutes
Le chiffre annoncé (moins de 13 minutes en moyenne) est techniquement exact (12,7 < 13), mais il donne une image incomplète : l'écart interquartile (10 minutes) montre une forte dispersion, et le maximum (30 minutes) révèle que certains clients ont attendu bien plus longtemps que ce que la moyenne seule laisse penser. La communication, sans être fausse, est donc trompeuse si elle est présentée seule.
e) Conclusion pour la direction
Par exemple : « Si le temps d'attente moyen reste raisonnable (12,7 minutes), la forte dispersion observée (écart interquartile de 10 minutes, attente maximale de 30 minutes) révèle une irrégularité du service qu'il conviendrait d'améliorer, notamment aux heures de forte affluence. »

Exercice 7 / 7

Synthèse complète Tableau d'effectifs
✓ Vu

Voici la répartition des notes sur 20 obtenues par 40 élèves à un devoir commun de mathématiques :

Note \(x_i\)681012141618Total
Effectif \(n_i\)3581074340
ECC???????—
FCC (%)???????—
a) Compléter les lignes des effectifs cumulés croissants (ECC) et des fréquences cumulées croissantes (FCC), en %.
b) Calculer la moyenne pondérée de cette série.
c) À l'aide de l'ECC, déterminer la médiane de cette série.
d) Déterminer le rang puis la valeur de \(Q_1\), puis de \(Q_3\).
e) Calculer l'écart interquartile et l'étendue de cette série. Que peut-on en conclure sur la dispersion des notes de cette classe ?

💡 Indices

L'ECC s'obtient en additionnant les effectifs au fur et à mesure ; la FCC s'obtient en divisant chaque ECC par l'effectif total (40), puis en multipliant par 100.
\(n=40\) : médiane entre les rangs 20 et 21 ; rang de \(Q_1=\dfrac{40}{4}=10\) ; rang de \(Q_3=\dfrac{3\times40}{4}=30\). Utilise l'ECC pour situer chacun de ces rangs.
a) Effectifs et fréquences cumulés croissants
Note \(x_i\)681012141618Total
Effectif \(n_i\)3581074340
ECC381626333740—
FCC (%)7,520406582,592,5100—
b) Moyenne pondérée
Somme \(n_ix_i\)\(6\times3+8\times5+10\times8+12\times10+14\times7+16\times4+18\times3\)
\(=18+40+80+120+98+64+54 = 474\)
Moyenne\(\bar{x} = \dfrac{474}{40} = 11,85\)
La moyenne pondérée de cette série est 11,85.
c) Médiane
\(n=40\) (pair) : les rangs médians sont 20 et 21. Les élèves de note 10 occupent les rangs 9 à 16 (ECC=16), ceux de note 12 les rangs 17 à 26 (ECC=26). Les rangs 20 et 21 tombent donc tous les deux dans le groupe de note 12.
La médiane de cette série est 12.
d) Quartiles \(Q_1\) et \(Q_3\)
Rang de \(Q_1\)\(\dfrac{40}{4} = 10\)
Le rang 10 tombe dans le groupe de note 10 (rangs 9 à 16, ECC=16).
\(Q_1 = 10\)
Rang de \(Q_3\)\(\dfrac{3\times40}{4} = 30\)
Le rang 30 tombe dans le groupe de note 14 (rangs 27 à 33, ECC=33).
\(Q_3 = 14\)
e) Écart interquartile, étendue et conclusion
Écart interquartile\(14-10 = 4\)
Étendue\(18-6 = 12\)
L'écart interquartile (4) reste nettement plus petit que l'étendue (12) : la moitié centrale des notes de la classe est assez resserrée autour de la médiane, même si l'ensemble de la série s'étend sur une plage plus large (quelques notes basses et hautes viennent élargir l'étendue sans pour autant disperser fortement le cœur de la classe).

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