Seconde — Statistiques · Activité d'introduction

Découvrir l'écart-type

Mesurer la dispersion autour de la moyenne · Construire la notion pas à pas
Situation de départ
🎯 Le problème qui donne naissance à l'écart-type

Deux classes de Seconde passent le même contrôle de maths. Le professeur regarde les résultats et dit :
"Les deux classes ont exactement la même moyenne : 11 sur 20."
Pourtant, en regardant les notes de plus près, il voit quelque chose de très différent…

🏫 Classe A

10 · 11 · 11 · 11 · 12 · 11 · 10 · 12 · 11 · 11

Tout le monde est groupé…

🏫 Classe B

2 · 4 · 6 · 8 · 10 · 12 · 14 · 16 · 18 · 20

Du 2 au 20, toute la gamme !

🎮 Regarde la différence visuellement

Chaque point représente un élève. Clique pour voir les deux classes s'afficher.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Moyenne = 11 A A A B
❓ Question de départ

En regardant le dot plot, tu vois clairement que les deux classes sont très différentes malgré la même moyenne.
Comment inventer un seul nombre qui mesure cette différence ?

C'est exactement la question que se posaient les statisticiens au XIXe siècle — et leur réponse s'appelle l'écart-type.

Partie 1 — L'idée : mesurer l'éloignement à la moyenne

Pour mesurer à quel point les valeurs sont "éparpillées", l'idée naturelle est de regarder à quelle distance chaque valeur se trouve de la moyenne. On appelle ça l'écart à la moyenne.

🔍 Exploration — Classe A

Les notes de la Classe A sont : 10 · 11 · 11 · 11 · 12 · 11 · 10 · 12 · 11 · 11
Moyenne = 11

Pour chaque note, on calcule : note − moyenne. Si le résultat est positif, l'élève est au-dessus de la moyenne. S'il est négatif, il est en dessous.

NoteÉcart (note − 11)
1010 − 11 = −1
1111 − 11 = 0
110
110
1212 − 11 = +1
110
10−1
12+1
110
110
Somme des écarts−1+0+0+0+1+0−1+1+0+0 = 0
🤔 Problème !La somme des écarts est toujours égale à zéro — les valeurs positives et négatives s'annulent. Ce n'est donc pas un bon indicateur de dispersion !

🎮 Vois pourquoi la somme des écarts vaut toujours zéro

Chaque barre montre l'écart d'un élève à la moyenne. Les barres bleues (au-dessus) et rouges (en dessous) se compensent exactement.

Moy=11 −1 10 0 11 0 11 0 11 +1 12 0 11 −1 10 +1 12 0 11 0 11 Au-dessus En dessous Égal
↑ Les barres bleues (+1 et +1) et rouges (−1 et −1) s'annulent parfaitement → somme = 0. C'est toujours vrai pour n'importe quelle série !
💡 La solution : mettre les écarts au carré

Pour que les valeurs positives et négatives ne s'annulent plus, les statisticiens ont eu une idée ingénieuse : mettre chaque écart au carré avant de les additionner.

  • Un écart de −3 devient (−3)² = 9 → toujours positif !
  • Un écart de +3 devient (+3)² = 9 → même valeur !
  • Un écart de 0 reste 0² = 0 → pas de contribution.

En mettant au carré, on ne perd plus d'information et les grandes distances comptent encore plus fort — ce qui est logique.

Partie 2 — Construire l'écart-type pas à pas
🍳 La recette de l'écart-type en 4 étapes
1Calculer la moyenne de la série.
2Pour chaque valeur, calculer son écart à la moyenne (valeur − moyenne), puis le mettre au carré.
3Additionner tous ces carrés, puis diviser par le nombre de valeurs. Ce résultat s'appelle la variance.
4Prendre la racine carrée de la variance. On obtient l'écart-type !

🎮 Construis l'écart-type de la Classe A — étape par étape

Clique sur chaque bouton dans l'ordre pour révéler chaque colonne du tableau.

Élève Note Écart (note − 11) Écart²
✏️ Calcul complet — Classe A

Notes : 10 · 11 · 11 · 11 · 12 · 11 · 10 · 12 · 11 · 11 — Moyenne = 11

1Moyenne (10+11+11+11+12+11+10+12+11+11) ÷ 10 = 110 ÷ 10 = 11 2Écarts au carré (10−11)² = (−1)² = 1
(11−11)² = 0² = 0  (×6 fois)
(12−11)² = 1² = 1  (×2 fois)
(10−11)² = 1 3Variance = somme des carrés ÷ nombre de valeurs (1+0+0+0+1+0+1+1+0+0) ÷ 10 = 4 ÷ 10 = 0,4 Variance = 0,4 4Écart-type = racine carrée de la variance √0,4 ≈ 0,63 σ (Classe A) ≈ 0,63
Interprétation ☀️ :L'écart-type de 0,63 est très petit — les notes ne s'éloignent que de 0,63 point de la moyenne en moyenne. C'est une classe très homogène !
✏️ Calcul complet — Classe B

Notes : 2 · 4 · 6 · 8 · 10 · 12 · 14 · 16 · 18 · 20 — Moyenne = 11

1Moyenne (2+4+6+8+10+12+14+16+18+20) ÷ 10 = 110 ÷ 10 = 11 2Écarts au carré (2−11)² = (−9)² = 81
(4−11)² = (−7)² = 49
(6−11)² = (−5)² = 25
(8−11)² = (−3)² = 9
(10−11)² = (−1)² = 1
(12−11)² = (1)² = 1
(14−11)² = (3)² = 9
(16−11)² = (5)² = 25
(18−11)² = (7)² = 49
(20−11)² = (9)² = 81 3Variance (81+49+25+9+1+1+9+25+49+81) ÷ 10 = 330 ÷ 10 = 33 Variance = 33 4Écart-type √33 ≈ 5,74 σ (Classe B) ≈ 5,74
Interprétation ⛈️ :L'écart-type de 5,74 est énorme — en moyenne, les élèves s'éloignent de presque 6 points de la moyenne ! C'est une classe extrêmement hétérogène.

🎮 La "météo" des deux classes côte à côte

Clique sur une classe pour voir où son écart-type se place sur le thermomètre.

☀️ Homogène (σ petit) ⛈️ Hétérogène (σ grand)
Partie 3 — Lire et interpréter un écart-type
📘 Ce que dit l'écart-type

L'écart-type, noté σ (sigma), répond à la question : "En moyenne, de combien les valeurs s'éloignent-elles de la moyenne ?"

  • σ proche de 0 → les valeurs sont très serrées autour de la moyenne → série homogène
  • σ grand → les valeurs sont très étalées → série hétérogène
  • L'écart-type est toujours positif ou nul (il est nul uniquement si toutes les valeurs sont identiques)
  • L'écart-type s'exprime dans la même unité que les données (si les données sont en cm, σ est en cm)

🎮 Explore l'effet de σ sur une distribution

Déplace le curseur pour changer l'écart-type. Observe comment les notes s'étalent ou se concentrent.

σ = 0 σ = 5
σ = 1,0
Moy=11 1 7 11 15 21
⚠️ Pièges classiques

1. Un grand écart-type n'est pas forcément "mauvais" !
Pour les tailles des humains sur Terre, un σ de plusieurs cm est tout à fait normal. Pour les notes d'une classe de grande école très sélective, un σ de 0,3 point peut être attendu. Tout dépend du contexte.

2. Écart-type ≠ Étendue !
L'étendue ne regarde que les deux extrêmes. L'écart-type tient compte de toutes les valeurs. Un seul élève hors-norme fait exploser l'étendue mais n'a qu'un impact limité sur σ.

3. On ne peut pas comparer des σ de grandeurs différentes.
Comparer le σ des notes (sur 20) avec le σ des tailles (en cm) n'a aucun sens !

Partie 4 — S'entraîner à calculer σ

Maintenant que tu comprends l'idée, voici comment calculer σ à la main sur des petites séries. Sur la calculatrice et le tableur, on obtiendra toujours le même résultat, mais comprendre le calcul t'aidera à interpréter le résultat.

🧩 Exercice guidé — à compléter

On donne les 5 notes suivantes : 8 · 10 · 12 · 10 · 10

Complète chaque étape en saisissant le résultat, puis clique sur ✓ pour vérifier.

1 Moyenne : (8 + 10 + 12 + 10 + 10) ÷ 5 = ?

② Écarts à la moyenne (qui est ?) au carré :

NoteÉcartÉcart²
88 − 10 = −2(−2)² = 4
1000
1212 − 10 = +2(+2)² = 4
1000
1000
3 Variance : (4 + 0 + 4 + 0 + 0) ÷ 5 = ?
4 Écart-type : √1,6 ≈ ?
(arrondi à 2 décimales)
🧩 À toi de jouer — calcul complet

Les 6 notes de maths d'un élève sur ses contrôles du trimestre :
7 · 9 · 11 · 13 · 11 · 9

  1. Calcule la moyenne.
  2. Calcule les 6 écarts au carré.
  3. Calcule la variance (somme des carrés ÷ 6).
  4. Déduis l'écart-type (racine carrée de la variance).
  5. Interprète le résultat : cet élève est-il régulier ?
1Moyenne (7+9+11+13+11+9) ÷ 6 = 60 ÷ 6 = 10 2Écarts au carré (7−10)² = (−3)² = 9
(9−10)² = (−1)² = 1
(11−10)² = (1)² = 1
(13−10)² = (3)² = 9
(11−10)² = (1)² = 1
(9−10)² = (−1)² = 1 3Variance (9+1+1+9+1+1) ÷ 6 = 22 ÷ 6 ≈ 3,67 Variance ≈ 3,67 4Écart-type √3,67 ≈ 1,91 σ ≈ 1,91
Interprétation :Avec σ ≈ 1,91 pour une moyenne de 10, cet élève s'écarte en moyenne de moins de 2 points de sa moyenne. Il est plutôt régulier — ses notes oscillent essentiellement entre 8 et 12.
Partie 5 — Utiliser la calculatrice et le tableur

Pour des séries longues, on utilise toujours la calculatrice ou un tableur. Le calcul à la main reste utile pour comprendre, mais en pratique on le délègue à la machine.

📱 Sur calculatrice (Casio, TI…)
  1. Appuie sur Menu puis choisis Statistics
  2. Saisis tes valeurs dans la colonne List 1
  3. Appuie sur Calc → 1-Variable
  4. Lis la ligne σx ou σn → c'est l'écart-type !
⚠️ Certaines calculatrices notent l'écart-type σ et un autre indicateur s (ou σn−1). En Seconde, on utilise toujours σ (ou σn).
💻 Sur tableur (Excel, Sheets…)
  1. Entre tes données dans des cellules, ex. A1:A10
  2. Dans une cellule vide, tape :
    =ECARTYPE.PEARSON(A1:A10)
  3. Valide avec Entrée → le résultat est l'écart-type !
Sur Google Sheets, la fonction s'appelle ECARTYPE tout court.
🧩 À toi de jouer — avec la calculatrice

Un groupe de 12 élèves a ces temps d'écran quotidiens (en heures) :
1 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 4 · 5 · 5 · 6 · 7 · 7

  1. Entre ces 12 valeurs dans ta calculatrice en mode statistiques.
  2. Relève la moyenne et l'écart-type σ donnés par la calculatrice.
  3. Interprète : ce groupe est-il homogène dans ses habitudes d'écran ?
  • Somme1+2+2+3+3+3+4+5+5+6+7+7 = 48
  • Moyenne(1+2+2+3+3+3+4+5+5+6+7+7) ÷ 12 = 48 ÷ 12 = 4 heures
  • Variance[(1−4)²+(2−4)²+(2−4)²+(3−4)²+(3−4)²+(3−4)²+(4−4)²+(5−4)²+(5−4)²+(6−4)²+(7−4)²+(7−4)²] ÷ 12
    = [9+4+4+1+1+1+0+1+1+4+9+9] ÷ 12 = 44 ÷ 12 ≈ 3,67
  • Écart-type σ√3,67 ≈ 1,91 heure
Interprétation :La moyenne est de 4 h/jour, avec un écart-type de ≈ 1,91 h. Les habitudes d'écran sont assez dispersées : les élèves s'écartent en moyenne de presque 2 heures de la moyenne. Certains sont à 1 h, d'autres à 7 h — ce n'est pas un groupe très homogène.
Bilan — Ce qu'il faut retenir
σ
L'écart-type mesure à quel point les valeurs s'éloignent de la moyenne
QuestionRéponse
Qu'est-ce que σ mesure ?La dispersion des données autour de la moyenne — "l'éloignement moyen"
Comment le calculer ?① Moyenne → ② Écarts au carré → ③ Variance (÷ nb valeurs) → ④ Racine carrée
Que signifie σ petit ?☀️ Les valeurs sont serrées — série homogène
Que signifie σ grand ?⛈️ Les valeurs sont étalées — série hétérogène
σ peut-il être négatif ?Non, jamais. Il est toujours ≥ 0 (= 0 uniquement si toutes les valeurs sont égales)
En Seconde, comment le calculer vite ?Calculatrice mode stats → σx (ou σn) · Tableur → ECARTYPE.PEARSON
☀️
σ petit

Tout le monde est proche de la moyenne. Classe homogène.
Ex. : σ ≈ 0,63 (Classe A)

⛈️
σ grand

Grands écarts entre les élèves. Classe hétérogène.
Ex. : σ ≈ 5,74 (Classe B)

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