Vocabulaire de base —
Probabilités

Probabilités n°1 — Feuille d'exercices — 2nde

Expérience aléatoire Univers Ω Événement

📌 Les notions essentielles

① Expérience aléatoire & univers
Une expérience aléatoire, c'est une situation où l'on connaît à l'avance tous les résultats possibles, mais où l'on ne peut pas savoir lequel va se produire (lancer un dé, tirer une carte...). Chaque résultat possible s'appelle une issue. La liste de toutes les issues possibles s'appelle l'univers, notée \(\Omega\) : c'est simplement toutes les cases dans lesquelles on peut tomber.
\(\Omega = \{\text{issue}_1\,;\,\text{issue}_2\,;\,\dots\,;\,\text{issue}_n\}\)
② Événement
Un événement, c'est une phrase qui décrit une condition sur le résultat (par exemple « obtenir un nombre pair »). Il correspond à la liste des issues qui vérifient cette condition. On distingue plusieurs cas particuliers :
• élémentaire : ne contient qu'une seule issue
• composé : contient plusieurs issues
• certain : contient toutes les issues de \(\Omega\) (il se réalise à coup sûr)
• impossible : ne contient aucune issue (il ne peut jamais se réaliser)
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Exercice 1 / 6

Expérience aléatoire Reconnaître / justifier
✓ Vu

Parmi les situations suivantes, indiquer lesquelles sont des expériences aléatoires, en justifiant à chaque fois.

a)Lancer un dé à 8 faces (numéroté de 1 à 8) et lire le nombre obtenu.
b)Calculer \(12 \times 3\).
c)Tirer une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes et regarder sa couleur (rouge ou noire).
d)Mesurer avec un mètre la longueur d'une table qui ne bouge pas.
e)Tirer au sort le prénom d'un élève dans une urne contenant tous les prénoms de la classe.

💡 Indices

Une expérience aléatoire doit avoir un résultat qu'on ne peut pas prévoir à l'avance, même si l'on connaît toutes les issues possibles.
Le résultat d'un calcul est toujours le même : \(12 \times 3\) donne toujours 36, ce n'est jamais aléatoire. De même, mesurer un objet immobile donne toujours la même longueur.
Méthode : se demander « connaît-on toutes les issues possibles ? » puis « peut-on prévoir avec certitude laquelle va sortir ? ». Si la réponse est « oui » puis « non », c'est une expérience aléatoire.
a) Lancer un dé à 8 faces

Oui, c'est une expérience aléatoire. On connaît les 8 issues possibles (1 à 8), mais on ne peut pas prévoir laquelle sortira.

b) Calculer \(12 \times 3\)

Non, ce n'est pas une expérience aléatoire. Le résultat est toujours le même (36) : il n'y a aucun hasard.

c) Tirer une carte et regarder sa couleur

Oui, c'est une expérience aléatoire. On connaît les deux issues possibles (rouge, noire), mais on ignore laquelle sortira avant le tirage.

d) Mesurer une table immobile

Non, ce n'est pas une expérience aléatoire. La table ne change pas : la mesure donnera toujours (à peu près) le même résultat, ce n'est pas un tirage au hasard.

e) Tirer un prénom au sort

Oui, c'est une expérience aléatoire. On connaît tous les prénoms possibles (ceux de la classe), mais pas celui qui sera tiré.

Exercice 2 / 6

Univers Ω Lister les issues
✓ Vu

Pour chaque expérience aléatoire, écrire la liste de toutes les issues possibles (c'est-à-dire l'univers \(\Omega\)), puis dire combien Ω contient d'éléments.

a)On lance un dé à 8 faces (numéroté de 1 à 8) et on note le numéro obtenu.
b)Une urne contient 4 boules numérotées 1, 2, 3, 4. On tire une boule et on note son numéro.
c)On lance une pièce de monnaie 3 fois de suite et on note la suite des résultats (Pile ou Face).

💡 Indices

Pour c), il faut lister toutes les combinaisons possibles de 3 lettres P/F. Un arbre à 3 niveaux (2 branches à chaque étape) t'aide à n'en oublier aucune : il y en a \(2\times2\times2=8\).
On écrit la liste entre accolades, en séparant chaque issue par un point-virgule. Le nombre d'éléments de Ω est simplement le nombre d'issues qu'on a listées.
a) Dé à 8 faces
Liste des issues\(\Omega = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\,;\,7\,;\,8\}\)
Nombre d'élémentsΩ contient 8 éléments.
b) Urne à 4 boules numérotées
Liste des issues\(\Omega = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\}\)
Nombre d'élémentsΩ contient 4 éléments.
c) Pièce lancée 3 fois

Il faut lister toutes les suites possibles de 3 résultats Pile/Face. Comme il y a 2 choix à chaque lancer, et 3 lancers, cela fait \(2\times2\times2=8\) suites possibles.

Liste des issues\(\Omega = \{PPP\,;\,PPF\,;\,PFP\,;\,PFF\,;\,FPP\,;\,FPF\,;\,FFP\,;\,FFF\}\)
Nombre d'élémentsΩ contient 8 éléments.

Exercice 3 / 6

Événement Lister les issues
✓ Vu

On lance un dé équilibré à 8 faces (numéroté de 1 à 8). Rappel : un événement, c'est une phrase qui décrit une condition sur le résultat. On considère les événements suivants :

A
« obtenir un nombre pair »
B
« obtenir un multiple de 3 »
C
« obtenir un nombre strictement supérieur à 6 »
1Pour chacun, écrire la liste des issues qui le vérifient.
2Donner le nombre d'issues de chacun de ces événements.

💡 Indices

Les multiples de 3 compris entre 1 et 8 sont 3 et 6.
« Strictement supérieur à 6 » signifie que 6 lui-même n'est pas compté.
1) Liste des issues
A (pair)\(A = \{2\,;\,4\,;\,6\,;\,8\}\)
B (mult. de 3)\(B = \{3\,;\,6\}\)
C (\(>6\))\(C = \{7\,;\,8\}\)
2) Nombre d'issues
A4 issues
B2 issues
C2 issues

Exercice 4 / 6

Types d'événements Classer
✓ Vu

On lance le même dé à 8 faces qu'à l'exercice 3. On considère les événements :

D
« obtenir un nombre inférieur ou égal à 8 »
E
« obtenir 5 »
F
« obtenir un nombre supérieur à 10 »
G
« obtenir un multiple de 4 »

Pour chacun, écrire la liste des issues qui le vérifient, puis préciser son type : élémentaire (une seule issue), composé (plusieurs issues), certain (toutes les issues de Ω) ou impossible (aucune issue).

💡 Indices

Toutes les issues du dé (1 à 8) vérifient-elles « être inférieur ou égal à 8 » ? Si oui, à quel ensemble D est-il égal ?
Existe-t-il une face du dé strictement supérieure à 10 ? Si aucune issue ne convient, F est l'ensemble vide.
D : « nombre \(\leqslant 8\) »

\(D = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\,;\,7\,;\,8\} = \Omega\)

D est l'événement certain (il est égal à \(\Omega\) : toute issue le vérifie).
E : « obtenir 5 »

\(E = \{5\}\)

E est un événement élémentaire (il ne contient qu'une seule issue).
F : « nombre \(> 10\) »

Aucune face du dé n'est supérieure à 10, donc \(F = \emptyset\).

F est l'événement impossible.
G : « multiple de 4 »

\(G = \{4\,;\,8\}\)

G est un événement composé (il contient plusieurs issues, sans être égal à \(\Omega\)).
ÉvénementDEFG
TypeCertainÉlémentaireImpossibleComposé

Exercice 5 / 6

Expérience à 2 étapes Dénombrer
✓ Vu

Une urne contient 2 boules Rouges (R) et 1 boule Verte (V), indiscernables au toucher. On tire une boule, on note sa couleur, on la remet dans l'urne, puis on tire une seconde boule.

a)Représenter les issues possibles à l'aide d'un arbre à deux niveaux (un niveau par tirage).
b)En déduire la liste des issues de l'univers \(\Omega\), sous forme de couples (ex : RV).
c)Combien Ω contient-il d'éléments ?
d)Soit \(H\) l'événement « obtenir deux boules de la même couleur ». Écrire la liste des issues de \(H\).

💡 Indices

À chaque tirage, il n'y a que 2 couleurs possibles (R ou V), même si l'urne contient 3 boules au total : c'est bien la remise qui garantit les mêmes 2 branches à chaque étape.
« Même couleur » signifie R suivi de R, ou V suivi de V. Repère ces deux chemins dans ton arbre.
a) Arbre des possibles

Le 1er niveau représente le 1er tirage (2 branches : R / V), et chaque branche se prolonge par un 2e niveau représentant le 2e tirage (2 branches : R / V), puisque le tirage se fait avec remise.

R V R V R V RR RV VR VV 1er tirage 2e tirage

En suivant les branches, les 4 chemins obtenus sont : RR, RV, VR, VV.

b) et c) Liste des issues

Chaque chemin de l'arbre correspond à une issue de Ω :

Liste des issues\(\Omega = \{RR\,;\,RV\,;\,VR\,;\,VV\}\)
Nombre d'élémentsΩ contient 4 éléments.
d) Événement H

Les couples où les deux boules ont la même couleur sont RR et VV.

\(H = \{RR\,;\,VV\}\) — H contient 2 issues.

Exercice 6 / 6

Synthèse Jeu de cartes
✓ Vu

On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes (8 cartes par couleur : Cœur ♥, Carreau ♦, Pique ♠, Trèfle ♣ ; les valeurs sont 7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi, As).

a)Est-ce une expérience aléatoire ? Justifier.
b)Combien Ω contient-il d'éléments ?
c)Soit \(J\) l'événement « tirer un valet ». Combien d'issues favorables \(J\) contient-il ?
d)Soit \(K\) l'événement « tirer une carte numérotée de 7 à 10 ». Combien d'issues favorables \(K\) contient-il ?
e)L'événement « tirer une carte du jeu » (n'importe laquelle) est-il élémentaire, composé, certain ou impossible ?

💡 Indices

Il y a exactement 1 valet par couleur, donc 4 valets au total. De même, les valeurs 7, 8, 9, 10 se retrouvent chacune une fois par couleur.
« Tirer une carte, n'importe laquelle » revient à demander si l'issue appartient forcément à \(\Omega\).
a) Expérience aléatoire ?

Oui. On connaît à l'avance les 32 cartes possibles, mais on ne peut pas prévoir avec certitude celle qui sera tirée.

b) Nombre d'éléments de Ω
Ω contient 32 éléments (une pour chaque carte du jeu).
c) Événement J (« tirer un valet »)

Il y a un valet par couleur : Valet de ♥, Valet de ♦, Valet de ♠, Valet de ♣.

J contient 4 issues favorables.
d) Événement K (« carte de 7 à 10 »)

4 valeurs possibles (7, 8, 9, 10) \(\times\) 4 couleurs \(= 16\).

K contient 16 issues favorables.
e) Type de l'événement « tirer une carte »

Cet événement est vérifié par toutes les issues de \(\Omega\), donc il est égal à \(\Omega\).

C'est l'événement certain.

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