Loi de probabilité &
équiprobabilité

Probabilités n°2 — Feuille d'exercices — 2nde

Somme = 1 Équiprobabilité Favorables / total

📌 Les notions essentielles

① Loi de probabilité
Définir une loi de probabilité sur \(\Omega\), c'est associer à chaque issue un nombre \(P(\text{issue})\) tel que :
• chaque \(P(\text{issue}) \in [0\,;\,1]\)
• la somme de toutes les probabilités vaut 1
② Équiprobabilité
Si toutes les issues ont la même probabilité (dé non truqué, urne bien mélangée...), on parle d'équiprobabilité :
\(P(\text{issue}) = \dfrac{1}{\text{card}(\Omega)}\)
\(P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues de } A}{\text{nombre d'issues de } \Omega}\)
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Exercice 1 / 6

Loi de probabilité Vérifier la validité
✓ Vu

On lance un dé truqué à 4 faces. Pour chacun des tableaux suivants, dire s'il peut définir une loi de probabilité sur \(\Omega = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\}\), en justifiant.

Issue1234
Tableau A0,10,30,40,2
Issue1234
Tableau B0,20,30,30,3

💡 Indices

Une seule condition à vérifier ici : la somme des 4 nombres doit être exactement égale à 1.
Additionne les 4 valeurs du tableau B avant de conclure : \(0,2+0,3+0,3+0,3\).
Méthode : une loi de probabilité est valide si et seulement si la somme des probabilités de toutes les issues vaut exactement 1.
Tableau A
Somme\(0,1+0,3+0,4+0,2 = 1\)
Valide : la somme vaut exactement 1.
Tableau B
Somme\(0,2+0,3+0,3+0,3 = 1,1\)
Non valide : la somme vaut 1,1 \(\neq 1\).

Exercice 2 / 6

Loi de probabilité Probabilité manquante
✓ Vu

Dans chaque cas, une loi de probabilité est définie sur un univers \(\Omega\). Calculer la probabilité manquante.

a)\(\Omega = \{a\,;\,b\,;\,c\,;\,d\}\) avec \(P(a)=0,15\), \(P(b)=0,25\), \(P(d)=0,35\). Calculer \(P(c)\).
b)\(\Omega = \{1\,;\,2\,;\,3\}\) avec \(P(1)=\dfrac{1}{6}\), \(P(2)=\dfrac{1}{3}\). Calculer \(P(3)\).

💡 Indices

La somme de toutes les probabilités valant 1, la probabilité manquante s'obtient en soustrayant à 1 la somme des probabilités connues.
Mets \(\frac{1}{6}\) et \(\frac{1}{3}\) au même dénominateur (sixièmes) avant de soustraire.
a) Univers {a;b;c;d}
Somme = 1\(0,15+0,25+P(c)+0,35 = 1\)
P(c)\(P(c) = 1 - 0,75\)
Résultat\(P(c) = 0,25\)
b) Univers {1;2;3}
Somme = 1\(\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{3}+P(3) = 1\)
Même dénom.\(\dfrac{1}{6}+\dfrac{2}{6}+P(3) = \dfrac{6}{6}\)
Résultat\(P(3) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\)

Exercice 3 / 6

Équiprobabilité Formule directe
✓ Vu

Un sac contient 10 jetons numérotés de 1 à 10, indiscernables au toucher. On tire un jeton au hasard. Calculer :

a)\(P(\text{obtenir un multiple de 3})\)
b)\(P(\text{obtenir un nombre pair})\)
c)\(P(\text{obtenir exactement 7})\)

💡 Indices

Les multiples de 3 entre 1 et 10 sont 3, 6 et 9.
Le sac étant équiprobable, chaque probabilité s'obtient avec \(P(A) = \dfrac{\text{issues favorables}}{10}\), puis on simplifie la fraction si possible.
a) Multiple de 3
Favorables\(\{3\,;\,6\,;\,9\}\) → 3 issues
Probabilité\(P = \dfrac{3}{10}\)
b) Nombre pair
Favorables\(\{2\,;\,4\,;\,6\,;\,8\,;\,10\}\) → 5 issues
Probabilité\(P = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}\)
c) Exactement 7
Favorables\(\{7\}\) → 1 issue
Probabilité\(P = \dfrac{1}{10}\)

Exercice 4 / 6

Loi non équiprobable Dé truqué
✓ Vu

Un dé à 6 faces est truqué de sorte que les faces 4, 5 et 6 ont deux fois plus de chances de sortir que les faces 1, 2 et 3. On note \(x = P(1) = P(2) = P(3)\).

a)Exprimer \(P(4)\), \(P(5)\) et \(P(6)\) en fonction de \(x\).
b)En utilisant que la somme des probabilités vaut 1, calculer \(x\).
c)En déduire \(P(\text{obtenir un nombre pair})\).

💡 Indices

La somme des 6 probabilités donne \(3x + 3(2x) = 9x\), qui doit être égale à 1.
Les faces paires sont 2, 4 et 6 : additionne \(P(2)+P(4)+P(6)\) en remplaçant \(x\) par sa valeur.
a) Expression en fonction de x

\(P(4) = P(5) = P(6) = 2x\)

b) Calcul de x
Somme = 1\(3x + 3(2x) = 1\)
On multiplie\(3x + 6x = 1\)
On additionne\(9x = 1\)
Résultat\(x = \dfrac{1}{9}\)
Issue123456
Probabilité\(\frac{1}{9}\)\(\frac{1}{9}\)\(\frac{1}{9}\)\(\frac{2}{9}\)\(\frac{2}{9}\)\(\frac{2}{9}\)
c) Nombre pair
P(2)+P(4)+P(6)\(\dfrac{1}{9}+\dfrac{2}{9}+\dfrac{2}{9}\)
Résultat\(=\dfrac{5}{9}\)

Exercice 5 / 6

Équiprobabilité Jeu de cartes
✓ Vu

On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes (8 valeurs \(\times\) 4 couleurs, dont 2 couleurs rouges et 2 couleurs noires). Calculer :

a)\(P(\text{tirer un roi})\)
b)\(P(\text{tirer une carte rouge})\)
c)\(P(\text{tirer un valet ou une dame})\)

💡 Indices

Il y a 1 roi par couleur (donc 4 rois), 1 valet par couleur (4 valets) et 1 dame par couleur (4 dames).
2 couleurs sur 4 sont rouges : chaque couleur comporte 8 cartes.
a) Tirer un roi
Favorables4 rois (1 par couleur)
Probabilité\(P = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}\)
b) Tirer une carte rouge
Favorables2 couleurs rouges \(\times\) 8 cartes \(= 16\)
Probabilité\(P = \dfrac{16}{32} = \dfrac{1}{2}\)
c) Valet ou dame
Favorables4 valets + 4 dames \(= 8\)
Probabilité\(P = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4}\)

💡 Une carte ne peut pas être à la fois un valet et une dame : on peut donc simplement additionner les deux effectifs.

Exercice 6 / 6

Synthèse Roue de loterie
✓ Vu

Une roue de loterie comporte 5 secteurs de couleur : Rouge, Bleu, Vert, Jaune et Noir. La loi de probabilité est donnée par :

CouleurRougeBleuVertJauneNoir
Probabilité0,300,250,200,15?
a)Calculer \(P(\text{Noir})\).
b)Calculer \(P(\text{obtenir Rouge ou Bleu})\).
c)Quelle est la couleur la plus probable ? La moins probable ?

💡 Indices

Additionne les 4 probabilités connues, puis soustrais le résultat à 1.
La roue ne peut pas s'arrêter sur deux couleurs à la fois : Rouge et Bleu ne peuvent pas sortir ensemble, on peut donc additionner leurs probabilités.
a) P(Noir)
Somme = 1\(0,30+0,25+0,20+0,15+P(\text{Noir}) = 1\)
Résultat\(P(\text{Noir}) = 1 - 0,90 = 0,10\)
b) P(Rouge ou Bleu)
Addition\(0,30 + 0,25\)
Résultat\(= 0,55\)
c) Comparaison

La couleur avec la plus grande probabilité est la plus probable, celle avec la plus petite est la moins probable.

Rouge (0,30) est la plus probable, Noir (0,10) est la moins probable.

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