Opérations sur
les événements

Probabilités n°3 — Feuille d'exercices — 2^nde

Intersection ∩ Réunion ∪ Contraire

📌 Les notions essentielles

① Intersection & réunion

\(A \cap B\) : issues appartenant à la fois à A et à B.
\(A \cup B\) : issues appartenant à A ou à B (ou aux deux).

\(P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)\)

Exemple concret : dans un jeu de 32 cartes, il y a 4 rois et 8 cœurs, dont 1 seul roi de cœur. La probabilité de tirer un roi ou un cœur est \(P = \frac{4}{32}+\frac{8}{32}-\frac{1}{32} = \frac{11}{32}\). On soustrait le roi de cœur car sinon on le compterait deux fois (une fois comme roi, une fois comme cœur).

② Événements incompatibles

A et B sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps :

\(A\cap B = \emptyset \;\Rightarrow\; P(A\cup B) = P(A)+P(B)\)

③ Événement contraire

Le contraire de A, noté \(\overline{A}\), regroupe toutes les issues de \(\Omega\) qui ne sont pas dans A :

\(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\)

Corrections vues :

0 / 6

Exercice 1 / 6

Intersection / réunion Lister les issues

✓ Vu

On lance un dé équilibré à 8 faces (numéroté de 1 à 8). On considère :

« obtenir un nombre pair »

« obtenir un multiple de 3 »

a)Lister les issues de A et de B.

b)Lister les issues de \(A \cap B\).

c)Lister les issues de \(A \cup B\).

💡 Indices

\(A \cap B\) ne contient que les nombres qui apparaissent dans les deux listes A et B en même temps.

Pour \(A \cup B\), regroupe toutes les issues des deux listes, sans répéter un nombre déjà écrit.

a) Liste des issues de A et B

\(A = \{2\,;\,4\,;\,6\,;\,8\}\) et \(B = \{3\,;\,6\}\)

b) Intersection A ∩ B

Seul 6 appartient à la fois à A et à B.

\(A \cap B = \{6\}\)

c) Réunion A ∪ B

On regroupe toutes les issues de A et de B, sans doublon.

\(A \cup B = \{2\,;\,3\,;\,4\,;\,6\,;\,8\}\)

Exercice 2 / 6

Incompatibilité Reconnaître

✓ Vu

On reprend le dé à 8 faces. On considère :

« obtenir un nombre \(\leqslant 3\) »

« obtenir un nombre \(\geqslant 6\) »

« obtenir un nombre pair »

Pour chaque paire, dire si les événements sont incompatibles, en justifiant à l'aide de leur intersection.

a)C et D

b)C et E

c)D et E

💡 Indices

Écris la liste des issues de chaque événement, puis calcule l'intersection : si elle est vide, les événements sont incompatibles.

\(C = \{1;2;3\}\) et \(D = \{6;7;8\}\) : ont-ils un nombre en commun ?

Rappel : \(C=\{1;2;3\}\), \(D=\{6;7;8\}\), \(E=\{2;4;6;8\}\).

a) C et D

\(C \cap D = \emptyset\) (aucun nombre commun).

Incompatibles.

b) C et E

\(C \cap E = \{2\}\) (le nombre 2 est dans les deux).

Non incompatibles.

c) D et E

\(D \cap E = \{6\,;\,8\}\).

Non incompatibles.

Exercice 3 / 6

Événement contraire P(Ā) = 1 − P(A)

✓ Vu

On lance le même dé équilibré à 8 faces. Soit \(F\) l'événement « obtenir un multiple de 4 ».

a)Lister les issues de \(F\), puis calculer \(P(F)\).

b)Lister les issues de \(\overline{F}\).

c)Calculer \(P(\overline{F})\) de deux façons différentes : en comptant les issues, puis avec la formule \(P(\overline{F})=1-P(F)\).

💡 Indices

Les multiples de 4 entre 1 et 8 sont 4 et 8.

\(\overline{F}\) contient toutes les issues de \(\Omega\) qui ne sont pas dans F : il suffit de retirer 4 et 8 de la liste {1,...,8}.

a) Liste des issues de F

F\(F = \{4\,;\,8\}\)

P(F)\(P(F) = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}\)

b) Liste des issues de F̄

\(\overline{F} = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,5\,;\,6\,;\,7\}\)

c) P(F̄) — deux méthodes

En comptant\(P(\overline{F}) = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}\)

Avec 1 − P(F)\(P(\overline{F}) = 1-\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\)

💡 Les deux méthodes donnent bien le même résultat, comme attendu.

Exercice 4 / 6

Formule d'union Exemple guidé — cartes

✓ Vu

On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. On considère les événements \(R\) : « tirer un roi » et \(C\) : « tirer un cœur ». On rappelle qu'il y a 4 rois, 8 cœurs, et un seul roi de cœur dans le jeu.

a)Calculer \(P(R)\) et \(P(C)\).

b)Que représente l'événement \(R \cap C\) ? Combien d'issues contient-il ? En déduire \(P(R\cap C)\).

c)En utilisant la formule \(P(R\cup C)=P(R)+P(C)-P(R\cap C)\), calculer \(P(R\cup C)\), la probabilité de tirer un roi ou un cœur.

d)Vérifier ce résultat en comptant directement les cartes qui sont un roi ou un cœur, puis en les divisant par 32.

💡 Indices

\(R \cap C\) correspond aux cartes qui sont à la fois un roi et un cœur : il n'y en a qu'une seule, le roi de cœur.

Pour compter les cartes « roi ou cœur » sans en compter aucune deux fois : prends les 4 rois, ajoute les 8 cœurs, puis enlève le roi de cœur qui a été compté deux fois.

a) P(R) et P(C)

P(R)\(P(R) = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}\)

P(C)\(P(C) = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4}\)

b) R ∩ C

\(R \cap C\) représente l'événement « tirer une carte qui est à la fois un roi et un cœur », c'est-à-dire le roi de cœur. Il n'y a qu'une seule carte qui vérifie les deux conditions en même temps.

\(R \cap C\) contient 1 issue (le roi de cœur), donc \(P(R\cap C) = \dfrac{1}{32}\).

c) P(R ∪ C) avec la formule

On applique la formule en remplaçant chaque probabilité par sa valeur, en écrivant tout avec le même dénominateur 32 :

Formule\(P(R\cup C) = \dfrac{4}{32}+\dfrac{8}{32}-\dfrac{1}{32}\)

Résultat\(P(R\cup C) = \dfrac{11}{32}\)

d) Vérification en comptant directement

Les cartes « roi ou cœur » sont : les 4 rois, plus les 8 cœurs, mais le roi de cœur a été compté deux fois dans cette somme (une fois comme roi, une fois comme cœur). On l'enlève une fois :

Comptage\(4+8-1 = 11\) cartes

Résultat\(P(R\cup C) = \dfrac{11}{32}\)

💡 On retrouve exactement le même résultat qu'avec la formule : c'est normal, la formule ne fait « que » automatiser ce comptage.

Exercice 5 / 6

Formule d'union Exemple guidé — dé

✓ Vu

On lance un dé équilibré à 6 faces. On considère les événements \(M\) : « obtenir un multiple de 3 » et \(P\) : « obtenir un nombre pair ».

a)Lister les issues de \(M\) et de \(P\), puis calculer \(P(M)\) et \(P(P)\).

b)Quelles issues vérifient à la fois « être un multiple de 3 » et « être pair » ? En déduire \(P(M\cap P)\).

c)Calculer \(P(M\cup P)\) avec la formule.

d)Vérifier en listant directement les issues qui vérifient « multiple de 3 ou pair », puis en les divisant par 6.

💡 Indices

Les multiples de 3 entre 1 et 6 sont 3 et 6. Les nombres pairs entre 1 et 6 sont 2, 4 et 6.

Cherche le ou les nombres qui apparaissent dans les deux listes de l'indice précédent.

a) M, P et leurs probabilités

M\(M = \{3\,;\,6\}\), \(P(M)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\)

P\(P = \{2\,;\,4\,;\,6\}\), \(P(P)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\)

b) M ∩ P

Seul le nombre 6 est à la fois un multiple de 3 et un nombre pair.

\(M \cap P = \{6\}\), donc \(P(M\cap P) = \dfrac{1}{6}\).

c) P(M ∪ P) avec la formule

On remplace chaque probabilité par sa valeur, en mettant tout au même dénominateur 6 :

Formule\(P(M\cup P) = \dfrac{2}{6}+\dfrac{3}{6}-\dfrac{1}{6}\)

Résultat\(P(M\cup P) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\)

d) Vérification en listant directement

Les nombres de 1 à 6 qui sont un multiple de 3 ou pairs sont : 2, 3, 4 et 6 (le nombre 6 n'est compté qu'une seule fois, même s'il vérifie les deux conditions).

Liste\(M \cup P = \{2\,;\,3\,;\,4\,;\,6\}\) → 4 issues

Résultat\(P(M\cup P) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\)

💡 On retrouve bien le même résultat qu'avec la formule.

Exercice 6 / 6

Synthèse Nombres premiers

✓ Vu

On lance le dé équilibré à 8 faces. Soit \(G\) : « obtenir un nombre premier » et \(H\) : « obtenir un nombre pair ».

a)Lister les issues de \(G\) et de \(H\), puis calculer \(P(G)\) et \(P(H)\).

b)\(G\) et \(H\) sont-ils incompatibles ? Justifier avec \(G \cap H\).

c)Calculer \(P(G \cup H)\).

d)Lister les issues de \(\overline{G}\) et calculer \(P(\overline{G})\).

💡 Indices

Les nombres premiers entre 1 et 8 sont 2, 3, 5 et 7 (rappel : 1 n'est pas premier).

2 est à la fois premier et pair : regarde s'il figure dans les deux listes.

a) G, H et leurs probabilités

G\(G = \{2\,;\,3\,;\,5\,;\,7\}\), \(P(G)=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}\)

H\(H = \{2\,;\,4\,;\,6\,;\,8\}\), \(P(H)=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}\)

b) Incompatibilité

\(G \cap H = \{2\}\), qui n'est pas vide.

G et H ne sont pas incompatibles.

c) P(G ∪ H)

P(G∩H)\(=\dfrac{1}{8}\)

Formule\(P(G\cup H)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{8}\)

Résultat\(P(G\cup H)=\dfrac{7}{8}\)

d) Ḡ (contraire de G)

Ḡ\(\overline{G} = \{1\,;\,4\,;\,6\,;\,8\}\)

P(Ḡ)\(P(\overline{G}) = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}\)