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Probabilités n°4 — Feuille d'exercices — 2^nde

Tableau double entrée Diagramme de Venn Arbre des possibles

📌 Trois façons d'organiser une situation

① Tableau à double entrée

Utile quand on croise deux caractères à la fois (par exemple sexe et pratique d'un sport). Chaque case du tableau correspond à un groupe précis, et les totaux des lignes et des colonnes doivent correspondre au total général.

② Diagramme de Venn

Un rectangle représente l'univers \(\Omega\), et un cercle représente chaque événement. Quand deux cercles se chevauchent, la zone commune représente l'intersection des deux événements. C'est une image de la situation, pratique pour visualiser d'un coup d'œil qui appartient à quoi.

③ Arbre des possibles

Utile pour une expérience qui se déroule en plusieurs étapes (par exemple deux tirages successifs). Chaque niveau de l'arbre représente une étape, et chaque branche un choix possible. Chaque chemin complet, du départ jusqu'à une extrémité, correspond à une issue.

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Exercice 1 / 6

Tableau double entrée Lire un tableau

✓ Vu

Dans une classe de 30 élèves, on a demandé à chacun s'il pratique un sport en dehors du collège. Voici les résultats :

	Garçons	Filles	Total
Fait du sport	10	8	18
Ne fait pas de sport	5	7	12
Total	15	15	30

a)Combien y a-t-il de filles dans cette classe ? Combien d'élèves ne font pas de sport ?

b)Combien de filles ne font pas de sport ?

c)On choisit un élève au hasard dans la classe. Quelle est la probabilité que ce soit une fille qui fait du sport ?

💡 Indices

Chaque case à l'intersection d'une ligne et d'une colonne donne le nombre d'élèves qui vérifient les deux conditions à la fois (celle de la ligne et celle de la colonne). Les totaux, eux, se lisent en bas et à droite du tableau.

Pour la probabilité, divise le nombre d'élèves qui correspondent à la situation demandée par le nombre total d'élèves de la classe (30).

a) Filles / élèves sans sport

Le total de la colonne « Filles » donne le nombre de filles. Le total de la ligne « Ne fait pas de sport » donne le nombre d'élèves ne pratiquant pas de sport.

Il y a 15 filles et 12 élèves ne font pas de sport.

b) Filles ne faisant pas de sport

C'est la case à l'intersection de la ligne « Ne fait pas de sport » et de la colonne « Filles ».

7 filles ne font pas de sport.

c) Probabilité « fille qui fait du sport »

Favorables8 filles font du sport

Probabilité\(P = \dfrac{8}{30} = \dfrac{4}{15}\)

Exercice 2 / 6

Tableau double entrée Construire un tableau

✓ Vu

Un lycée compte 200 élèves, dont 120 filles. Parmi les filles, 45 sont internes (elles dorment au lycée). Parmi les garçons, 30 sont internes.

a)Construire un tableau à double entrée croisant le sexe (garçon/fille) et le statut (interne/externe), en complétant toutes les cases, y compris les totaux.

b)On choisit un élève au hasard dans le lycée. Quelle est la probabilité qu'il soit externe ?

💡 Indices

Le nombre de garçons se déduit du total et du nombre de filles : \(200 - 120\).

Le nombre d'externes dans chaque groupe s'obtient en soustrayant le nombre d'internes du total de ce groupe.

a) Construction du tableau

On commence par placer les informations connues, puis on complète case par case en utilisant le fait que chaque ligne et chaque colonne doit s'additionner correctement.

Garçons\(200-120 = 80\)

Externes filles\(120-45 = 75\)

Externes garçons\(80-30 = 50\)

	Garçons	Filles	Total
Interne	30	45	75
Externe	50	75	125
Total	80	120	200

b) Probabilité « externe »

Favorables125 externes (total de la ligne)

Probabilité\(P = \dfrac{125}{200} = \dfrac{5}{8}\)

Exercice 3 / 6

Diagramme de Venn Lire un diagramme

✓ Vu

Le diagramme ci-dessous représente les événements \(A\) et \(B\) d'un univers \(\Omega\). Chaque nombre indique combien d'éléments se trouvent dans la zone correspondante.

a)Combien Ω contient-il d'éléments au total ?

b)Combien d'éléments appartiennent à A ? Combien appartiennent à B ?

c)Combien d'éléments n'appartiennent ni à A ni à B ?

💡 Indices

Additionne les 4 nombres présents sur le diagramme : la zone de A seule, la zone commune, la zone de B seule, et la zone en dehors des deux cercles.

Le cercle A tout entier contient à la fois la partie propre à A et la partie commune avec B : il faut donc additionner les deux nombres qui se trouvent dans le cercle A.

a) Nombre d'éléments de Ω

On additionne les 4 zones du diagramme : celle propre à A, la zone commune, celle propre à B, et celle en dehors des deux cercles.

Somme\(8+3+5+6\)

RésultatΩ contient 22 éléments.

b) Éléments de A et de B

Le cercle A regroupe sa partie propre (8) et la partie commune avec B (3). De même pour B.

A\(8+3 = 11\) éléments

B\(5+3 = 8\) éléments

c) Ni A ni B

C'est la zone du rectangle qui est en dehors des deux cercles.

6 éléments n'appartiennent ni à A ni à B.

Exercice 4 / 6

Diagramme de Venn Construire un diagramme

✓ Vu

Dans un club de 40 sportifs, 22 pratiquent la natation (N), 18 pratiquent le vélo (V), et 7 pratiquent les deux à la fois.

a)Combien de sportifs pratiquent seulement la natation ? Seulement le vélo ?

b)Représenter la situation par un diagramme de Venn, en indiquant le nombre de sportifs dans chaque zone (y compris ceux qui ne pratiquent ni l'un ni l'autre).

c)Quelle est la probabilité qu'un sportif choisi au hasard pratique la natation ou le vélo ?

💡 Indices

Les 22 nageurs comptent aussi ceux qui font du vélo. Pour trouver ceux qui font seulement de la natation, il faut enlever les 7 qui pratiquent les deux : \(22-7\).

Additionne les 3 zones à l'intérieur des cercles, puis soustrais ce total au nombre total de sportifs (40) pour trouver ceux qui ne pratiquent aucun des deux sports.

a) Chaque sport seul

Les 7 sportifs qui pratiquent les deux sports sont déjà comptés dans les 22 nageurs et dans les 18 cyclistes ; il faut les retirer pour isoler ceux qui ne pratiquent qu'un seul sport.

Natation seule\(22-7 = 15\)

Vélo seul\(18-7 = 11\)

b) Diagramme de Venn

On place 15 dans la partie propre à N, 7 dans la partie commune, 11 dans la partie propre à V. Le total à l'intérieur des cercles est \(15+7+11=33\), donc il reste \(40-33=7\) sportifs en dehors des deux cercles.

c) Probabilité « natation ou vélo »

Favorables\(15+7+11 = 33\) sportifs

Probabilité\(P = \dfrac{33}{40}\)

💡 On retrouve le même résultat qu'avec la formule vue en Feuille 3 : \(P(N)+P(V)-P(N\cap V) = \frac{22}{40}+\frac{18}{40}-\frac{7}{40}=\frac{33}{40}\).

Exercice 5 / 6

Arbre des possibles Tirage sans remise

✓ Vu

Une urne contient 3 boules de couleurs différentes : 1 Rouge (R), 1 Bleue (B) et 1 Verte (V). On tire successivement 2 boules, sans remettre la première boule tirée dans l'urne.

a)Construire l'arbre des possibles représentant les deux tirages.

b)En déduire la liste des issues possibles, puis leur nombre.

c)Quelle est la probabilité d'obtenir la boule rouge au premier tirage ?

💡 Indices

Puisque la première boule n'est pas remise, il ne reste que 2 couleurs possibles pour le second tirage (celles qui n'ont pas encore été tirées) : le second niveau de l'arbre n'a que 2 branches, et elles changent selon la première boule tirée.

Repère, parmi toutes les issues listées, celles qui commencent par R.

a) Arbre des possibles

Au premier tirage, les 3 couleurs sont possibles. Mais une fois une boule tirée (et non remise), il ne reste que les 2 autres couleurs pour le second tirage : c'est pour cela que chaque branche du 1^er niveau ne se prolonge que par 2 branches, et non 3.

b) Liste des issues

Chaque chemin de l'arbre, du départ jusqu'à une extrémité, donne une issue.

Liste\(\{RB\,;\,RV\,;\,BR\,;\,BV\,;\,VR\,;\,VB\}\)

Nombre d'issues6 issues possibles

c) Probabilité « rouge en premier »

Parmi les 6 issues, celles qui commencent par R sont RB et RV.

\(P(\text{rouge en 1er}) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\)

Exercice 6 / 6

Synthèse Arbre des possibles

✓ Vu

Une pizzeria propose 3 tailles (Small, Medium, Large) et 2 types de pâte (fine ou épaisse). Un client compose sa pizza en choisissant d'abord une taille, puis un type de pâte.

a)Construire l'arbre des possibles représentant toutes les commandes possibles.

b)Combien y a-t-il de commandes différentes possibles ?

c)En supposant que toutes les commandes ont la même probabilité d'être choisies, quelle est la probabilité qu'un client commande une pizza Large ?

💡 Indices

Le 1^er niveau de l'arbre correspond au choix de la taille (3 branches), et chaque branche se prolonge par le choix de la pâte (2 branches), puisque les deux choix sont indépendants l'un de l'autre.

Repère, parmi toutes les commandes possibles, celles qui commencent par « Large ».

a) Arbre des possibles

Contrairement à l'exercice 5, ici les deux choix sont indépendants : quelle que soit la taille choisie, les 2 mêmes options de pâte restent disponibles. Le 1^er niveau a donc 3 branches (S, M, L), et chacune se prolonge par les 2 mêmes branches (F, E).

b) Nombre de commandes possibles

Il y a 3 choix pour la taille, et pour chacun d'eux, 2 choix pour la pâte.

Calcul\(3 \times 2 = 6\)

Résultat6 commandes possibles

c) Probabilité « pizza Large »

Parmi les 6 commandes, deux commencent par L : LF et LE.

\(P(\text{Large}) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\)