Bilan & synthèse

Probabilités n°5 — Feuille d'exercices — 2nde

Tout le chapitre Problèmes type contrôle

📌 Mémo express — tout le chapitre

Vocabulaire
\(\Omega\) = liste de toutes les issues. Un événement = une condition sur le résultat. Types : élémentaire, composé, certain, impossible.
Probabilité
Somme des \(P(\text{issue})=1\).
Équiprobabilité : \(P(A)=\dfrac{\text{favorables}}{\text{total}}\)
Opérations
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)
\(P(\overline{A})=1-P(A)\)
Outils
Tableau à double entrée (2 caractères), diagramme de Venn (visualiser des zones), arbre des possibles (expérience en plusieurs étapes).
Corrections vues :
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Exercice 1 / 7

Échauffement Vocabulaire + équiprobabilité
✓ Vu

Une roue est divisée en 8 secteurs identiques, numérotés de 1 à 8. On fait tourner la roue et on note le numéro du secteur sur lequel elle s'arrête.

a)Est-ce une expérience aléatoire ? Justifier, puis lister les issues de l'univers Ω.
b)Soit \(A\) : « obtenir un diviseur de 8 ». Lister ses issues et calculer \(P(A)\).
c)Soit \(B\) : « obtenir un nombre strictement supérieur à 8 ». Quel est le type de cet événement ?

💡 Indices

Un diviseur de 8 est un nombre qui divise 8 sans reste. Cherche parmi 1 à 8 lesquels conviennent : 1, 2, 4 et 8 fonctionnent.
Existe-t-il une issue de Ω strictement supérieure à 8 ?
a) Expérience aléatoire et univers

Oui, c'est une expérience aléatoire : on connaît les 8 résultats possibles, mais pas celui qui sortira.

\(\Omega = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\,;\,7\,;\,8\}\)
b) Événement A
Liste\(A = \{1\,;\,2\,;\,4\,;\,8\}\)
Probabilité\(P(A) = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}\)
c) Événement B

Aucun secteur de la roue n'a un numéro supérieur à 8, donc \(B = \emptyset\).

B est l'événement impossible.

Exercice 2 / 7

Tableau + union + contraire
✓ Vu

Une entreprise compte 150 salariés. On les a interrogés sur leur mode de transport principal (Voiture ou Transports en commun). Voici les résultats, partiellement complétés :

VoitureTransportsTotal
Hommes40?75
Femmes?4575
Total70?150
a)Compléter les 3 cases manquantes du tableau.
b)On choisit un salarié au hasard. Quelle est la probabilité que ce soit une femme utilisant les transports en commun ?
c)Soit \(F\) : « le salarié est une femme » et \(T\) : « le salarié utilise les transports en commun ». Calculer \(P(F)\), \(P(T)\) et \(P(F\cap T)\), puis en déduire \(P(F\cup T)\) avec la formule.
d)Calculer \(P(\overline{T})\), la probabilité qu'un salarié n'utilise pas les transports en commun. Vérifier ce résultat en comptant directement dans le tableau.

💡 Indices

Utilise le fait que chaque ligne et chaque colonne doit s'additionner correctement : par exemple, les hommes en transport se déduisent de \(75-40\).
\(\overline{T}\) (« pas en transport en commun ») correspond exactement à « en voiture ». Le total de la colonne Voiture te donne directement le nombre de salariés concernés.
a) Tableau complété
Hommes transport\(75-40 = 35\)
Femmes voiture\(75-45 = 30\)
Total transport\(35+45 = 80\)
VoitureTransportsTotal
Hommes403575
Femmes304575
Total7080150
b) Femme en transport en commun
\(P = \dfrac{45}{150} = \dfrac{3}{10}\)
c) P(F ∪ T) avec la formule
P(F)\(\dfrac{75}{150} = \dfrac{1}{2}\)
P(T)\(\dfrac{80}{150} = \dfrac{8}{15}\)
P(F∩T)\(\dfrac{45}{150} = \dfrac{3}{10}\)
Formule\(P(F\cup T) = \dfrac{1}{2}+\dfrac{8}{15}-\dfrac{3}{10}\)
Même dénom. (30)\(= \dfrac{15}{30}+\dfrac{16}{30}-\dfrac{9}{30}\)
Résultat\(P(F\cup T) = \dfrac{22}{30} = \dfrac{11}{15}\)
d) P(T̄)
Avec 1 − P(T)\(P(\overline{T}) = 1-\dfrac{8}{15} = \dfrac{7}{15}\)
Vérification directe70 salariés en voiture, soit \(\dfrac{70}{150}=\dfrac{7}{15}\)

💡 Les deux méthodes donnent bien le même résultat.

Exercice 3 / 7

Venn — problème inverse
✓ Vu

On interroge 60 personnes sur leurs loisirs. On sait que :

Théâtre (T)
35 personnes aiment le théâtre
Musique (M)
28 personnes aiment la musique
Ni l'un ni l'autre
10 personnes n'aiment aucun des deux

Cette fois, on ne connaît pas directement le nombre de personnes qui aiment les deux à la fois : il va falloir le retrouver.

a)Combien de personnes aiment le théâtre ou la musique (\(T\cup M\)) ?
b)En utilisant la formule \(P(T\cup M)=P(T)+P(M)-P(T\cap M)\) appliquée aux effectifs, en déduire combien de personnes aiment les deux à la fois.
c)Représenter la situation par un diagramme de Venn complet (les 4 zones).
d)Quelle est la probabilité qu'une personne interrogée au hasard aime la musique mais pas le théâtre ?

💡 Indices

Si 10 personnes n'aiment ni l'un ni l'autre sur les 60 interrogées, combien en reste-t-il qui aiment au moins l'un des deux ?
La formule donne \(50 = 35+28-|T\cap M|\) : il ne reste qu'à isoler \(|T\cap M|\) comme dans une équation.
a) C ∪ L

Sur les 60 personnes, 10 n'aiment ni l'un ni l'autre : les autres aiment donc au moins l'un des deux.

\(|T\cup M| = 60-10 = 50\)
b) C ∩ L
Formule\(50 = 35+28-|T\cap M|\)
On isole\(|T\cap M| = 35+28-50\)
Résultat\(|T\cap M| = 13\)
c) Diagramme de Venn

Théâtre seul : \(35-13=22\). Musique seule : \(28-13=15\). Les deux : 13. Ni l'un ni l'autre : 10. On vérifie : \(22+15+13+10=60\). ✓

Ω (60 personnes) T M 22 13 15 10
d) Musique mais pas théâtre

C'est la zone propre à L, sans la partie commune : 15 personnes.

\(P = \dfrac{15}{60} = \dfrac{1}{4}\)

Exercice 4 / 7

Arbre des possibles Construire et lire un arbre
✓ Vu

On lance une pièce de monnaie 2 fois de suite, et on note à chaque fois si on obtient Pile (P) ou Face (F).

a)Construire l'arbre des possibles : 2 branches (P et F) au 1er niveau, puis 2 branches (P et F) à chaque nœud du 2e niveau.
b)En lisant l'arbre, écrire la liste des issues possibles.
c)Combien y a-t-il d'issues au total ?
d)Quelle est la probabilité d'obtenir Pile aux deux lancers ?

💡 Indices

Ici, chaque lancer est indépendant du précédent : les 2 mêmes branches (P et F) reviennent à chaque niveau, sans exception.
Pour lire une issue, il suffit de suivre un chemin du départ jusqu'à l'extrémité de l'arbre, en notant les lettres rencontrées dans l'ordre.
a) Arbre des possibles

Comme chaque lancer est indépendant du précédent, les 2 mêmes branches P et F reviennent identiques à chaque niveau de l'arbre.

P F P F P F PP PF FP FF 1er lancer 2e lancer
b) Liste des issues

En suivant chaque chemin de l'arbre, du départ jusqu'à une extrémité :

\(\{PP\,;\,PF\,;\,FP\,;\,FF\}\)
c) Nombre d'issues
Il y a 4 issues au total.
d) Probabilité « Pile aux deux lancers »

Une seule issue correspond à « Pile puis Pile » : c'est PP.

\(P(\text{Pile, Pile}) = \dfrac{1}{4}\)

Exercice 5 / 7

Arbre — aller plus loin
✓ Vu

Une urne contient 4 boules de couleurs différentes : Rouge (R), Bleue (B), Verte (V) et Jaune (J). On tire successivement 2 boules, sans remise. Ici, l'arbre complet aurait beaucoup de branches : on va donc raisonner sans le dessiner entièrement.

a)Combien de branches partent du point de départ (1er tirage) ? Combien de branches partent ensuite de chaque nœud du 2e niveau ?
b)En déduire le nombre total d'issues possibles, sans les lister toutes.
c)Soit l'événement « obtenir la boule verte au second tirage ». Combien y a-t-il d'issues qui vérifient cet événement ?
d)En déduire la probabilité de cet événement (les issues sont équiprobables).

💡 Indices

Au 1er tirage, les 4 couleurs sont disponibles. Une fois une boule tirée (et non remise), il n'en reste plus que 3 pour le 2e tirage.
La verte ne peut être obtenue au 2e tirage que si elle n'a pas déjà été tirée en premier. Regarde donc chaque couleur de départ possible, sauf le vert lui-même : pour chacune, y a-t-il un chemin qui termine par « vert » ?
a) Nombre de branches

Au 1er niveau, 4 branches sont possibles (R, B, V, J). Une fois une couleur tirée, elle n'est plus disponible : il ne reste donc que 3 branches à chaque nœud du 2e niveau.

b) Nombre total d'issues

Chaque chemin complet correspond à une issue : 4 choix possibles au 1er tirage, puis 3 choix possibles au 2e.

Calcul\(4 \times 3 = 12\)
Résultat12 issues possibles
c) « Vert au second tirage »

Le 1er tirage doit être différent du vert : il y a donc 3 couleurs de départ possibles (R, B ou J). Pour chacune d'elles, il n'y a qu'un seul chemin qui se termine par « vert » au 2e tirage.

Les issues favorables sont RV, BV et JV : il y en a 3.
d) Probabilité
\(P(\text{vert au 2e tirage}) = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}\)

Exercice 6 / 7

Problème type contrôle
✓ Vu

Une association organise une tombola avec 50 billets numérotés de 1 à 50. Un billet est tiré au sort, tous les billets ayant la même probabilité d'être tirés.

a)Quelle est la probabilité d'obtenir le billet numéro 17 ?
b)Soit \(D\) : « le numéro du billet est un multiple de 5 ». Lister ses issues et calculer \(P(D)\).
c)Soit \(T\) : « le numéro du billet se termine par le chiffre 3 ». Lister ses issues et calculer \(P(T)\).
d)\(D\) et \(T\) sont-ils incompatibles ? Justifier à l'aide de \(D\cap T\).
e)En déduire \(P(D\cup T)\).
f)Calculer \(P(\overline{D})\), la probabilité de ne pas obtenir un multiple de 5.

💡 Indices

Les numéros de 1 à 50 se terminant par 3 sont 3, 13, 23, 33 et 43.
Un multiple de 5 se termine toujours par 0 ou par 5. Peut-il aussi se terminer par 3 ?
a) Billet n°17
\(P = \dfrac{1}{50}\)
b) Événement D (multiples de 5)
Liste\(D = \{5\,;\,10\,;\,15\,;\,\dots\,;\,50\}\)
Probabilité\(P(D) = \dfrac{10}{50} = \dfrac{1}{5}\)
c) Événement T (se termine par 3)
Liste\(T = \{3\,;\,13\,;\,23\,;\,33\,;\,43\}\)
Probabilité\(P(T) = \dfrac{5}{50} = \dfrac{1}{10}\)
d) Incompatibilité

Un multiple de 5 se termine toujours par 0 ou par 5, jamais par 3. Aucun numéro ne peut donc vérifier les deux conditions à la fois.

\(D \cap T = \emptyset\) : D et T sont incompatibles.
e) P(D ∪ T)

Puisque D et T sont incompatibles, on additionne simplement leurs probabilités.

Calcul\(P(D\cup T) = \dfrac{10}{50}+\dfrac{5}{50}\)
Résultat\(P(D\cup T) = \dfrac{15}{50} = \dfrac{3}{10}\)
f) P(D̄)
\(P(\overline{D}) = 1-\dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}\)

Exercice 7 / 7

Grand bilan Toutes les notions du chapitre
✓ Vu

Dans une classe de 32 élèves, on s'intéresse à deux caractères : porter des lunettes, et être gaucher. On sait que 10 élèves portent des lunettes, 6 élèves sont gauchers, et 3 élèves sont à la fois gauchers et porteurs de lunettes. On choisit un élève au hasard dans la classe.

a)Est-ce une expérience aléatoire ? Quel est l'univers Ω et combien contient-il d'éléments ?
b)Soit \(L\) : « l'élève porte des lunettes » et \(G\) : « l'élève est gaucher ». Calculer \(P(L)\) et \(P(G)\).
c)Calculer \(P(L\cap G)\), puis \(P(L\cup G)\) à l'aide de la formule.
d)Représenter la situation par un diagramme de Venn complet.
e)Calculer \(P(\overline{L})\), la probabilité qu'un élève ne porte pas de lunettes.
f)\(L\) et \(G\) sont-ils incompatibles ? Justifier.

💡 Indices

La phrase « à la fois gaucher et porteur de lunettes » décrit directement \(L\cap G\) : la probabilité se lit presque immédiatement dans l'énoncé.
« Lunettes seules » s'obtient en retirant, des 10 porteurs de lunettes, ceux qui sont aussi gauchers.
a) Expérience aléatoire et univers

Oui, c'est une expérience aléatoire : on connaît les 32 élèves possibles, mais pas lequel sera choisi.

Ω contient 32 éléments (un par élève de la classe).
b) P(L) et P(G)
P(L)\(P(L) = \dfrac{10}{32} = \dfrac{5}{16}\)
P(G)\(P(G) = \dfrac{6}{32} = \dfrac{3}{16}\)
c) P(L ∩ G) et P(L ∪ G)

Les 3 élèves « à la fois gauchers et porteurs de lunettes » constituent directement \(L\cap G\).

P(L∩G)\(\dfrac{3}{32}\)
Formule\(P(L\cup G) = \dfrac{10}{32}+\dfrac{6}{32}-\dfrac{3}{32}\)
Résultat\(P(L\cup G) = \dfrac{13}{32}\)
d) Diagramme de Venn

Lunettes seules : \(10-3=7\). Gaucher seul : \(6-3=3\). Les deux : 3. Ni l'un ni l'autre : \(32-13=19\).

Ω (32 élèves) L G 7 3 3 19
e) P(L̄)
\(P(\overline{L}) = 1-\dfrac{5}{16} = \dfrac{11}{16}\)
f) Incompatibilité

\(L \cap G\) contient 3 élèves, ce n'est pas l'ensemble vide.

L et G ne sont pas incompatibles : certains élèves portent des lunettes ET sont gauchers en même temps.

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