Chapitre — Probabilités · Seconde

Vocabulaire, Univers et Événements

Expérience aléatoire · Univers Ω · Équiprobabilité · Opérations sur les événements

I — Le vocabulaire de base
1. Expérience aléatoire
📘 Définition

Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît à l'avance tous les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prévoir avec certitude le résultat qui va se produire.

🔍 Exemples

🎲 Lancer un dé à 6 faces et regarder le numéro obtenu.
🃏 Tirer une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes.
🪙 Lancer une pièce de monnaie et observer la face visible.

Dans chaque cas, on connaît toutes les issues possibles avant l'expérience, mais on ignore laquelle va sortir.

🧠 Entraîne-toi

Parmi les situations suivantes, lesquelles sont des expériences aléatoires ? a) Tirer une carte dans un jeu de 32 cartes. b) Calculer $3+5$. c) Choisir un élève au hasard dans une classe et regarder sa taille.

a) Oui : on connaît les 32 cartes possibles, mais pas celle qui sortira. b) Non : le résultat est toujours le même (8), ce n'est pas aléatoire. c) Oui : on ignore la taille avant de choisir l'élève.

2. Issue et univers
📘 Définition — Issue

Chaque résultat possible d'une expérience aléatoire est appelé une issue (ou événement élémentaire).

📘 Définition — Univers

L'ensemble de toutes les issues d'une expérience aléatoire est appelé l'univers des possibles. On le note $\Omega$ (la lettre grecque « oméga »).

$$\Omega = \{ \text{issue}_1 \ ; \ \text{issue}_2 \ ; \ \dots \ ; \ \text{issue}_n \}$$
🔍 Exemple — Lancer d'un dé

On lance un dé à 6 faces et on note le numéro obtenu.

Issues possibles1, 2, 3, 4, 5, 6
Univers$\Omega = \{1\ ;\ 2\ ;\ 3\ ;\ 4\ ;\ 5\ ;\ 6\}$
Nombre d'issues$\Omega$ contient 6 issues.
🧠 Entraîne-toi

On lance une pièce de monnaie deux fois de suite et on note la suite des résultats obtenus (Pile ou Face). Écris l'univers $\Omega$ de cette expérience, puis donne son nombre d'issues.

Les issues possibles sont : PP, PF, FP, FF.
$\Omega = \{PP\ ;\ PF\ ;\ FP\ ;\ FF\}$ — l'univers contient 4 issues.

3. Événement
📘 Définition — Événement

Un événement est un sous-ensemble (une partie) de l'univers $\Omega$. On le note généralement par une lettre majuscule : $A$, $B$, $C$…

  • Un événement qui ne contient qu'une seule issue est un événement élémentaire ;
  • Un événement qui contient plusieurs issues est un événement composé ;
  • L'événement $\Omega$ (qui contient toutes les issues) est appelé l'événement certain : il se réalise à coup sûr ;
  • L'événement vide, noté $\emptyset$ (qui ne contient aucune issue), est appelé l'événement impossible.
🔍 Exemple

On lance un dé. Soit $A$ l'événement « obtenir un nombre pair ».

Issues favorables2, 4, 6
En notation ensembliste$A = \{2\ ;\ 4\ ;\ 6\}$
🎯 Remarque $A$ est un sous-ensemble de $\Omega = \{1;2;3;4;5;6\}$, c'est donc bien un événement au sens mathématique du terme.
🧠 Entraîne-toi

On lance un dé à 6 faces. Soit $B$ l'événement « obtenir un nombre strictement supérieur à 4 ». a) Écris $B$ en extension. b) $B$ est-il un événement élémentaire, composé, certain ou impossible ?

a) $B = \{5\ ;\ 6\}$.
b) $B$ contient 2 issues : c'est un événement composé (ni élémentaire, ni certain, ni impossible).

II — Loi de probabilité et équiprobabilité
1. Loi de probabilité
📘 Définition

Définir une loi de probabilité sur un univers $\Omega = \{e_1 ; e_2 ; \dots ; e_n\}$, c'est associer à chaque issue $e_i$ un nombre $p_i$, appelé probabilité de $e_i$, tel que :

$$0 \leqslant p_i \leqslant 1 \quad \text{pour chaque issue, et} \quad p_1 + p_2 + \dots + p_n = 1$$

Concrètement, $p_i$ représente la chance que l'issue $e_i$ se réalise : plus $p_i$ est proche de 1, plus l'issue a de chances de sortir. Et comme une des issues se réalise forcément, la somme de toutes ces chances doit faire 1 (soit 100 %).

La probabilité d'un événement $A$ est alors la somme des probabilités des issues qui le composent.

🔍 Exemple simple — Roue de loterie

Une roue de loterie comporte 4 secteurs colorés : Rouge, Bleu, Vert, Jaune. On admet que $P(\text{Rouge}) = 0{,}4$, $P(\text{Bleu}) = 0{,}3$, $P(\text{Vert}) = 0{,}2$ et $P(\text{Jaune}) = 0{,}1$.

Vérification$0{,}4 + 0{,}3 + 0{,}2 + 0{,}1 = 1$ ✓

Chaque nombre est bien compris entre 0 et 1, et la somme fait exactement 1 : il s'agit bien d'une loi de probabilité valide.

🔍 Exemple — Dé truqué

Un dé à 6 faces est truqué de sorte que $P(6) = 0{,}3$, et que les 5 autres faces (1, 2, 3, 4, 5) soient équiprobables entre elles (elles ont donc toutes la même probabilité, que l'on ne connaît pas encore).

On poseOn note $p_1, p_2, p_3, p_4, p_5, p_6$ les probabilités des issues 1 à 6. On sait que $p_6 = P(6) = 0{,}3$.
Règle du coursLa somme de toutes les probabilités doit valoir 1 : $p_1+p_2+p_3+p_4+p_5+p_6 = 1$
On isole les 5 faces$p_1+p_2+p_3+p_4+p_5 = 1 - p_6 = 1 - 0{,}3 = 0{,}7$
Équiprobables → on partageComme ces 5 faces sont équiprobables, on partage $0{,}7$ en 5 parts égales :
$p_1 = p_2 = p_3 = p_4 = p_5 = 0{,}7 \div 5 = 0{,}14$
Vérification finale$5 \times 0{,}14 + 0{,}3 = 0{,}7 + 0{,}3 = 1$ ✓
🧠 Entraîne-toi (guidé)

Un dé à 6 faces est truqué de sorte que $P(1) = 0{,}1$, et les 5 autres faces (2, 3, 4, 5, 6) sont équiprobables entre elles. Suis les étapes pour trouver la probabilité de chacune de ces 5 faces.

  1. a) Que doit valoir la somme $p_1+p_2+p_3+p_4+p_5+p_6$ ?
  2. b) En déduire la valeur de $p_2+p_3+p_4+p_5+p_6$.
  3. c) Comme ces 5 faces sont équiprobables, en déduire $p_2$ (et donc $p_3, p_4, p_5, p_6$).
  4. d) Vérifie que la somme des 6 probabilités fait bien 1.
a)D'après le cours, la somme de toutes les probabilités d'un univers vaut toujours 1 :
$p_1+p_2+p_3+p_4+p_5+p_6 = 1$
b)On remplace $p_1$ par $0{,}1$ et on isole le reste :
$p_2+p_3+p_4+p_5+p_6 = 1 - 0{,}1 = 0{,}9$
c)Les 5 faces restantes se partagent équitablement $0{,}9$ :
$p_2 = p_3 = p_4 = p_5 = p_6 = 0{,}9 \div 5 = 0{,}18$
d)$p_1 + 5 \times p_2 = 0{,}1 + 5 \times 0{,}18 = 0{,}1 + 0{,}9 = 1$ ✓
🎯 Bilan Chaque face 2, 3, 4, 5 et 6 a une probabilité de $0{,}18$, et la somme de toutes les probabilités vaut bien 1.
🧠 Entraîne-toi

Une urne contient des boules rouges, vertes et bleues. On admet que $P(\text{rouge}) = 0{,}4$ et $P(\text{verte}) = 0{,}25$. Cette expérience définit-elle bien une loi de probabilité sur $\{\text{rouge}\ ;\ \text{verte}\ ;\ \text{bleue}\}$ ? Si oui, calcule $P(\text{bleue})$.

La somme des probabilités doit valoir 1 : $P(\text{bleue}) = 1 - 0{,}4 - 0{,}25 = 0{,}35$.
Comme $0{,}35$ est bien compris entre 0 et 1, il s'agit bien d'une loi de probabilité valide.

2. Le cas de l'équiprobabilité
✅ Propriété — Situation d'équiprobabilité

On dit qu'il y a équiprobabilité (ou que la loi de probabilité est équirépartie) lorsque toutes les issues ont la même probabilité de se réaliser.

C'est le cas d'un dé non truqué, d'une pièce non truquée, ou d'un tirage « au hasard » dans une urne bien mélangée.

📐 Formule fondamentale — Équiprobabilité

Lorsqu'il y a équiprobabilité, la probabilité d'un événement $A$ se calcule par :

$$P(A) = \dfrac{\text{Nombre d'issues favorables à } A}{\text{Nombre total d'issues dans } \Omega}$$
🔍 Exemple

On lance un dé équilibré. Soit $A$ : « obtenir un nombre pair ».

Univers$\Omega = \{1;2;3;4;5;6\}$ contient 6 issues.
Événement A$A = \{2;4;6\}$ contient 3 issues favorables.
Probabilité$P(A) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$
🧠 Entraîne-toi

Dans un jeu de 32 cartes (équiprobabilité), on tire une carte au hasard. Quelle est la probabilité de tirer un roi ? (Il y a 4 rois dans un jeu de 32 cartes.)

Nombre total d'issues : 32. Nombre d'issues favorables : 4.
$P(\text{roi}) = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8} = 0{,}125$

III — Les opérations sur les événements
🔤 Convention — Notations ensemblistes

Comme un événement est un ensemble (sous-ensemble de $\Omega$), on utilise les notations ensemblistes pour combiner plusieurs événements entre eux :

  • $A \cap B$ se lit « $A$ inter $B$ » ;
  • $A \cup B$ se lit « $A$ union $B$ » ;
  • $\overline{A}$ se lit « $A$ barre », ou « non $A$ ».
1. L'intersection : événement « A et B »
📘 Définition

L'événement « $A$ et $B$ », noté $A \cap B$, est l'événement constitué des issues qui appartiennent à la fois à $A$ et à $B$.

✅ Cas particulier — Événements incompatibles

Deux événements $A$ et $B$ sont dits incompatibles (ou disjoints) lorsqu'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps, c'est-à-dire lorsque :

$$A \cap B = \emptyset$$
🔍 Exemple

On lance un dé. Soit $A$ : « obtenir un nombre pair » et $B$ : « obtenir un multiple de 3 ».

A$A = \{2;4;6\}$
B$B = \{3;6\}$
A ∩ B$A \cap B = \{6\}$ (seul le 6 est à la fois pair et multiple de 3)
Ω A B A ∩ B

La zone commune aux deux « patates » représente $A \cap B$.

🧠 Entraîne-toi (guidé)

On tire une carte dans un jeu de 32 cartes (8 cartes par couleur : Cœur, Carreau, Pique, Trèfle ; 3 figures par couleur : Valet, Dame, Roi). Soit $C$ : « tirer un cœur » et $D$ : « tirer une figure ».

  1. a) Décris en une phrase ce que représente $C \cap D$.
  2. b) Combien de figures y a-t-il par couleur ? En déduire le nombre d'issues de $C \cap D$.
a)$C \cap D$ signifie « $C$ et $D$ » : c'est l'événement « tirer une carte qui est à la fois un cœur et une figure », c'est-à-dire « tirer une figure de cœur ».
b)Il y a 3 figures par couleur (Valet, Dame, Roi). Comme on cherche les figures qui sont aussi des cœurs, on obtient : Valet de cœur, Dame de cœur, Roi de cœur.
$C \cap D = \{\text{Valet de cœur}\ ;\ \text{Dame de cœur}\ ;\ \text{Roi de cœur}\}$, donc $C \cap D$ contient 3 issues.
2. La réunion : événement « A ou B »
📘 Définition

L'événement « $A$ ou $B$ », noté $A \cup B$, est l'événement constitué des issues qui appartiennent à $A$, ou à $B$, ou aux deux.

📐 Formule incontournable
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$
🔍 Pourquoi soustrait-on $P(A \cap B)$ ?

Si l'on additionne simplement $P(A) + P(B)$, les issues communes à $A$ et à $B$ (celles de $A \cap B$) sont comptées deux fois : une fois dans $A$, une fois dans $B$. Il faut donc retrancher une fois cette intersection pour ne la compter qu'une seule fois.

Ω A B compté 2×
🎯 À retenir $A \cup B$ correspond à toute la surface coloriée (les deux « patates » réunies), sans compter deux fois la partie commune.
🔍 Exemple numérique

On reprend $A$ : « obtenir un nombre pair » et $B$ : « obtenir un multiple de 3 », avec un dé équilibré.

P(A)$P(A) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$
P(B)$P(B) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$
P(A ∩ B)$P(A \cap B) = \dfrac{1}{6}$
P(A ∪ B)$P(A \cup B) = \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}-\dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$
🧠 Entraîne-toi (guidé)

$A$ et $B$ sont deux événements d'un même univers tels que $P(A) = 0{,}5$, $P(B) = 0{,}2$ et $A \cap B = \emptyset$.

  1. a) Que peux-tu dire de $P(A \cap B)$, sachant que $A \cap B = \emptyset$ ?
  2. b) Rappelle la formule permettant de calculer $P(A \cup B)$.
  3. c) Calcule $P(A \cup B)$.
a)Un événement impossible a une probabilité nulle, donc $A \cap B = \emptyset$ entraîne $P(A \cap B) = 0$.
b)$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
c)On remplace par les valeurs connues :
$P(A \cup B) = 0{,}5 + 0{,}2 - 0 = 0{,}7$
🎯 Remarque Quand $A$ et $B$ sont incompatibles, $P(A \cap B) = 0$ et la formule se simplifie en $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.
3. L'événement contraire
📘 Définition

L'événement contraire de $A$, noté $\overline{A}$ (ou « non $A$ »), est constitué de toutes les issues de $\Omega$ qui n'appartiennent pas à $A$.

📐 Formule
$$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$$

En effet, $A$ et $\overline{A}$ sont incompatibles et $A \cup \overline{A} = \Omega$, donc leurs probabilités s'additionnent pour donner 1.

🔍 Exemple

Avec $A$ : « obtenir un nombre pair » sur un dé équilibré, $P(A) = \dfrac{1}{2}$.

Événement contraire$\overline{A}$ : « obtenir un nombre impair »
Probabilité$P(\overline{A}) = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$
🧠 Entraîne-toi (guidé)

On sait que $P(C) = 0{,}62$ pour un événement $C$.

  1. a) Rappelle la formule reliant $P(\overline{C})$ et $P(C)$.
  2. b) Calcule $P(\overline{C})$.
  3. c) Donne la signification de ce résultat en une phrase.
a)$P(\overline{C}) = 1 - P(C)$
b)$P(\overline{C}) = 1 - 0{,}62 = 0{,}38$
c)Il y a $38\%$ de chances que l'événement $C$ ne se réalise pas.
⚠ Pièges classiques & erreurs à éviter
⚠️ À ne jamais oublier
  • Une probabilité est toujours un nombre compris entre 0 et 1 (soit entre 0 % et 100 %). Un résultat comme $P = 1{,}2$ ou $P = -0{,}3$ est impossible : si tu obtiens un tel résultat, il y a forcément une erreur de calcul.
  • Ne confonds pas le « ou » mathématique et le « ou » exclusif du langage courant. En mathématiques, « $A$ ou $B$ » (c'est-à-dire $A \cup B$) inclut le cas où $A$ et $B$ se réalisent en même temps. Ce n'est pas un choix exclusif comme « fromage ou dessert ».
  • N'oublie jamais le terme « $- P(A \cap B)$ » dans la formule de la réunion. Écrire $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ est une erreur très fréquente qui revient à compter deux fois les issues communes à $A$ et $B$.
IV — Modélisation et outils de représentation

Pour résoudre un problème de probabilités, trois outils reviennent très souvent : le diagramme de Venn, le tableau à double entrée, et l'arbre des possibles.

1. Le diagramme de Venn (les « patates »)
🔍 Principe

On représente $\Omega$ par un grand rectangle, et chaque événement par une « patate » à l'intérieur. Les zones de recouvrement représentent les intersections.

Ω A B

Utile pour visualiser une situation, notamment quand des issues appartiennent à plusieurs événements.

🧠 Entraîne-toi

Sur un diagramme de Venn avec deux événements $A$ et $B$, où se trouve l'événement $\overline{A}$ (« non $A$ ») ?

$\overline{A}$ correspond à tout ce qui est dans le rectangle $\Omega$ mais en dehors de la patate $A$ (que ce soit dans $B$ ou non) — c'est la zone grisée ci-dessous :

Ω non A A B

La zone rouge (tout sauf la patate $A$) représente $\overline{A}$.

2. Le tableau à double entrée
🔍 Principe

Il permet de croiser deux caractères (deux variables) et de lire directement les effectifs correspondant à chaque combinaison. C'est l'outil idéal quand on connaît des effectifs et qu'on doit croiser plusieurs critères (genre, filière, réponse à une question…).

Caractère BNon BTotal
Caractère Aeffectif de $A \cap B$effectif de $A \cap \overline{B}$total A
Non Aeffectif de $\overline{A} \cap B$effectif de $\overline{A} \cap \overline{B}$total non A
Totaltotal Btotal non Btotal général

On lit chaque probabilité en équiprobabilité par : $P = \dfrac{\text{effectif de la case}}{\text{effectif total}}$.

🧠 Entraîne-toi

Dans une classe, on a demandé aux élèves s'ils pratiquent un sport en club. On sait que : il y a 18 filles au total, dont 12 pratiquent un sport ; il y a 18 garçons au total, dont 10 pratiquent un sport. Complète le tableau à double entrée ci-dessous (remplace chaque « ? » par le bon nombre).

SportNon SportTotal
Filles12?18
Garçons10?18
Total???

On complète chaque ligne et chaque colonne grâce aux totaux déjà connus (par différence), puis on vérifie avec le total général :

SportNon SportTotal
Filles12618
Garçons10818
Total221436
Filles / Non Sport$18 - 12 = 6$
Garçons / Non Sport$18 - 10 = 8$
Total Sport$12 + 10 = 22$
Total Non Sport$6 + 8 = 14$
Total général$18 + 18 = 36$ (on vérifie aussi : $22+14=36$ ✓)
🧠 Entraîne-toi — plus difficile

Cet exercice va un peu plus loin que le précédent, prends ton temps.
Dans le tableau général du cours ci-dessus, si « total A » $= 45$ et « effectif de $A \cap B$ » $= 18$, que représente le nombre $45-18$ ?

« total A » regroupe toutes les issues de $A$, qu'elles soient dans $B$ ou non : total A $=$ effectif de $A \cap B$ $+$ effectif de $A \cap \overline{B}$.
En retirant les 18 issues de $A \cap B$, il reste donc les issues de $A$ qui ne sont pas dans $B$ :
$45 - 18 = 27$ représente l'effectif de la case « $A$ et Non $B$ », c'est-à-dire l'effectif de $A \cap \overline{B}$.

3. L'arbre des possibles
📘 Principe

L'arbre des possibles (ou arbre de dénombrement) est utilisé pour les expériences aléatoires qui se déroulent en plusieurs étapes (par exemple, plusieurs lancers successifs). Chaque étape est représentée par un niveau de branches, et chaque chemin depuis la racine jusqu'à une extrémité représente une issue de l'expérience globale.

À ce stade de l'année, on utilise l'arbre uniquement pour dénombrer les issues (compter), sans écrire de probabilités sur les branches.

🔍 Exemple — Lancer une pièce deux fois de suite

On lance une pièce de monnaie, puis on la relance une seconde fois. On construit l'arbre des possibles :

1er lancer 2ᵉ lancer Issue Pile Face Pile Face Pile Face PP PF FP FF
🎯 Lecture de l'arbre Chaque chemin de la racine jusqu'à une extrémité donne une issue : $\Omega = \{PP\ ;\ PF\ ;\ FP\ ;\ FF\}$. L'arbre montre bien que $\Omega$ contient 4 issues, et permet de ne pas en oublier.
🧠 Entraîne-toi

On lance un dé équilibré, puis on tire une carte parmi 3 cartes (Cœur, Pique, Trèfle). Construis l'arbre des possibles (2 étapes) et donne le nombre total d'issues de cette expérience.

Le 1er niveau de l'arbre a 6 branches (une par face du dé). Chacune de ces 6 branches se sépare ensuite en 3 branches (une par carte) — le schéma ci-dessous montre le principe (la face « 1 » est détaillée, les autres faces se prolongent de la même façon) :

2, 3, 4, 5, 6 1 1-Cœur 1-Pique 1-Trèfle ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ (chaque face se prolonge par 3 branches : Cœur, Pique, Trèfle)

Le nombre total de chemins (donc d'issues) est $6 \times 3 = 18$.

V — Exercices d'application directe
✏️ Exercice 1 — Tableau à double entrée

Dans un lycée de 200 élèves, on a relevé le genre et la langue vivante 1 (LV1) de chacun. Les résultats sont donnés dans le tableau suivant :

AnglaisEspagnolTotal
Filles7030100
Garçons6040100
Total13070200

On choisit un élève au hasard dans ce lycée. On considère les événements :

  • $F$ : « l'élève choisi est une fille » ;
  • $E$ : « l'élève choisi étudie l'espagnol en LV1 ».
1Calculer $P(F)$.
2Calculer $P(E)$.
3Calculer $P(F \cap E)$.
4En déduire $P(F \cup E)$ à l'aide de la formule du cours.
5Calculer $P(\overline{F})$ et interpréter le résultat.
1) P(F)Il y a 100 filles sur 200 élèves, en situation d'équiprobabilité (un élève « au hasard ») :
$P(F) = \dfrac{100}{200} = \dfrac{1}{2}$
2) P(E)Il y a 70 élèves qui étudient l'espagnol (colonne « Total ») sur 200 :
$P(E) = \dfrac{70}{200} = \dfrac{7}{20} = 0{,}35$
3) P(F ∩ E)$F \cap E$ correspond à la case « Filles ∩ Espagnol » du tableau : 30 élèves.
$P(F \cap E) = \dfrac{30}{200} = \dfrac{3}{20} = 0{,}15$
4) P(F ∪ E)On applique la formule $P(F \cup E) = P(F)+P(E)-P(F \cap E)$, en gardant le même dénominateur 200 :
$P(F \cup E) = \dfrac{100}{200} + \dfrac{70}{200} - \dfrac{30}{200} = \dfrac{140}{200} = 0{,}7$
5) P(F̄)$\overline{F}$ est l'événement « l'élève n'est pas une fille », donc « c'est un garçon ».
$P(\overline{F}) = 1 - P(F) = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$
🎯 Vérification On retrouve bien $P(\overline{F}) = \dfrac{100}{200} = \dfrac{1}{2}$ directement dans le tableau (100 garçons sur 200), ce qui confirme le calcul.
✏️ Exercice 2 — Dénombrement à deux épreuves

Une urne contient 3 boules Rouges et 2 boules Vertes, indiscernables au toucher. On tire une boule, on note sa couleur, puis on la remet dans l'urne (tirage avec remise) avant de tirer une seconde boule.

  1. Construire l'arbre des possibles de cette expérience à deux étapes (branches R et V à chaque niveau).
  2. Déterminer les 4 issues possibles sous forme de couples (ex : RV). Ces issues sont-elles équiprobables ? Justifier.
  3. Soit $E$ l'événement « obtenir deux boules de couleurs différentes ». Écrire $E$ en extension et donner son nombre d'issues.
1) ArbreOn construit un arbre à deux niveaux : le 1er niveau représente le 1er tirage (2 branches : R / V), et chacune de ces branches se prolonge par un 2ᵉ niveau représentant le 2ᵉ tirage (2 branches : R / V), puisque le tirage se fait avec remise.
R V R V R V RR RV VR VV
2) Les 4 issuesEn lisant les 4 chemins de l'arbre, sous forme de couples : $RR\ ;\ RV\ ;\ VR\ ;\ VV$.
Équiprobables ?Non. Il y a 3 boules Rouges mais seulement 2 boules Vertes dans l'urne : à chaque tirage, on a donc plus de chances de tirer R que de tirer V.
L'issue $RR$ (tirer deux fois R) est ainsi plus probable que l'issue $VV$ (tirer deux fois V) : les 4 issues ne sont pas équiprobables.
3) Événement ELes chemins où les deux couleurs tirées sont différentes sont RV et VR.
$E = \{RV\ ;\ VR\}$, donc $E$ contient 2 issues.
🎯 À retenir Contrairement au cas Pile/Face (où $P(\text{Pile}) = P(\text{Face})$), la composition de l'urne n'est pas équilibrée entre les couleurs : c'est pour cela qu'à ce stade, l'arbre sert uniquement à dénombrer les issues, sans en calculer les probabilités.
VI — Échantillonnage et simulation
Notion d'échantillon
📘 Définition

Un échantillon de taille $n$ est le résultat de $n$ répétitions indépendantes d'une même expérience aléatoire. Par exemple, lancer un dé 50 fois donne un échantillon de taille 50.

Fluctuation d'échantillonnage
📗 Propriété

La fréquence observée d'un événement dans un échantillon varie d'un échantillon à l'autre. Ce phénomène s'appelle la fluctuation d'échantillonnage.

Exemple : si on lance un dé équilibré 100 fois, on n'obtient pas exactement « 6 » dans $\frac{1}{6} \approx 16{,}7\,\%$ des cas. On peut très bien observer 14 fois, 18 fois, ou 20 fois le « 6 ». C'est normal.

📗 Stabilisation des fréquences

Plus la taille $n$ de l'échantillon est grande, plus la fréquence observée se rapproche de la probabilité théorique. C'est la loi des grands nombres.

🔍 Exemple — Stabilisation en action

On lance une pièce équilibrée et on note la fréquence de « pile » après $n$ lancers :

$n$10502001 00010 000
Fréquence de pile0,400,460,510,4980,5012
🎯 ObservationPlus $n$ grandit, plus la fréquence se rapproche de la probabilité théorique $p = 0{,}5$.
✏️ Exercice rapide

On lance un dé équilibré 600 fois. On obtient « 3 » exactement 95 fois.

a) Calculer la fréquence observée du « 3 ».

b) La probabilité théorique est $p = \frac{1}{6} \approx 0{,}167$. La fréquence observée est-elle cohérente ?

a) $f = \frac{95}{600} \approx 0{,}158$.

b) Oui, c'est cohérent : $0{,}158$ est proche de $0{,}167$. L'écart ($0{,}009$) est normal pour un échantillon de taille 600. Avec 6 000 lancers, l'écart serait encore plus petit.

Simulation en Python
📘 Le module random

Python permet de simuler des expériences aléatoires grâce au module random :

  • random.randint(a, b) : renvoie un entier aléatoire entre $a$ et $b$ inclus.
  • random.random() : renvoie un décimal aléatoire entre 0 et 1.
🔍 Exemple — Simuler 1000 lancers de dé

On simule 1000 lancers d'un dé équilibré et on compte le nombre de « 6 » obtenus :

simulation_de.py 
import random              # On charge le module qui gère le hasard

compteur = 0                   # On initialise un compteur de "6" à zéro

for i in range(1000):          # On répète 1000 fois (= 1000 lancers)
    de = random.randint(1, 6)  # On tire un entier au hasard entre 1 et 6
    if de == 6:                # Si c'est un 6…
        compteur = compteur + 1 # …on ajoute 1 au compteur

frequence = compteur / 1000    # Fréquence = nb de "6" ÷ nb total de lancers
print("Fréquence du 6 :", frequence)
# Résultat attendu : aux alentours de 0.167 (≈ 1/6)
🔍 Exemple — Simuler des pile/face
pile_face.py 
import random                   # Module pour le hasard

n = 500                           # Nombre de lancers (taille de l'échantillon)
nb_pile = 0                       # Compteur de "pile", initialisé à 0

for i in range(n):               # On répète n fois (ici 500 lancers)
    tirage = random.randint(0, 1)  # 0 = pile, 1 = face (tirage au hasard)
    if tirage == 0:                 # Si c'est pile (= 0)…
        nb_pile = nb_pile + 1      # …on incrémente le compteur

print("Pile :", nb_pile, "/", n)  # Affiche par ex. "Pile : 247 / 500"
print("Fréquence :", nb_pile / n) # Calcule et affiche la fréquence (≈ 0.50)
Exercice
✏️ Exercice — Interpréter une simulation

Un programme simule 200 lancers d'une pièce équilibrée. Il obtient 112 fois « pile ». La fréquence est donc $f = \frac{112}{200} = 0{,}56$.

a) La probabilité théorique de « pile » est $p = 0{,}5$. La fréquence observée est-elle « anormale » ?

b) Que se passerait-il si on augmentait le nombre de lancers à 10 000 ?

a) Non, ce n'est pas anormal. La fréquence $0{,}56$ est proche de la probabilité théorique $0{,}5$. La fluctuation d'échantillonnage explique cet écart : sur seulement 200 lancers, il est courant d'observer des fréquences entre $0{,}43$ et $0{,}57$ environ.

b) Avec 10 000 lancers, la fréquence observée serait beaucoup plus proche de $0{,}5$ (par exemple entre $0{,}49$ et $0{,}51$). Plus l'échantillon est grand, plus la fluctuation diminue.

🎯 À retenir La fluctuation est normale pour les petits échantillons. Elle diminue quand $n$ augmente, conformément à la loi des grands nombres.
VII — Ce que je dois savoir
🎲 Univers $\Omega$ Ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire.
📦 Événement Sous-ensemble de $\Omega$. Cas particuliers : $\Omega$ (événement certain) et $\emptyset$ (événement impossible).
⚖️ Équiprobabilité $P(A) = \dfrac{\text{Nombre d'issues favorables}}{\text{Nombre total d'issues}}$
∩ Intersection « $A$ et $B$ ». Incompatibles si $A \cap B = \emptyset$.
∪ Réunion « $A$ ou $B$ ». $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
¬ Événement contraire $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$
🌳 Arbre des possibles Outil de dénombrement pour les expériences à plusieurs étapes : chaque chemin = une issue.
📊 Échantillon Résultat de $n$ répétitions indépendantes. La fréquence fluctue d'un échantillon à l'autre.
📈 Loi des grands nombres Plus l'échantillon est grand, plus la fréquence observée se rapproche de la probabilité théorique.
⚠️ Erreurs fréquentes
  • Oublier que $0 \leqslant P \leqslant 1$ : toute probabilité en dehors de cet intervalle signale une erreur de calcul.
  • Confondre « ou » mathématique et « ou » exclusif : $A \cup B$ inclut le cas où $A$ et $B$ se réalisent simultanément.
  • Oublier « $-P(A \cap B)$ » dans la formule de la réunion.
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