✍️ Pourquoi apprendre des démonstrations « par cœur » ?
Une démonstration n'est pas une formule à réciter : c'est un enchaînement logique où chaque ligne se justifie par la précédente. Le jour du contrôle, ce qu'on attend de toi, ce n'est pas de te souvenir d'un texte, mais de savoir reproduire le raisonnement — dans le bon ordre, avec les bonnes justifications.
Dans cette fiche, chaque démonstration est découpée en étapes numérotées. Lis-les une première fois pour comprendre l'idée, puis entraîne-toi à les refaire sans regarder, en ne gardant que le nom de la propriété à démontrer.
1 La somme de deux multiples de \(a\) est un multiple de \(a\)
🎯 À démontrer
Si \(m\) et \(n\) sont deux multiples d'un même entier \(a\), alors \(m+n\) est aussi un multiple de \(a\).
📐 Démonstration
Méthode : démonstration directe — on traduit chaque hypothèse par une écriture algébrique.
1
On traduit les deux hypothèses
Dire que \(m\) est multiple de \(a\) signifie qu'il existe un entier \(k\) tel que \(m=ka\). Dire que \(n\) est multiple de \(a\) signifie qu'il existe un entier \(k'\) tel que \(n=k'a\).
2
On calcule \(m+n\)
\[m+n=ka+k'a=(k+k')a.\]
3
On conclut
\(k+k'\) est un entier (somme de deux entiers), donc \(m+n\) s'écrit sous la forme « entier \(\times\, a\) ».
\(m+n\) est un multiple de \(a\). CQFD ∎
⚠️ Piège classique
Utiliser la même lettre \(k\) pour \(m\) et pour \(n\) : cela reviendrait à supposer \(m=n\), ce qui n'est pas donné par l'énoncé. Il faut deux entiers a priori différents, \(k\) et \(k'\).
2 Le carré d'un nombre impair est impair
🎯 À démontrer
Si \(n\) est un entier impair, alors \(n^2\) est impair.
📐 Démonstration
Méthode : démonstration directe — on part de la définition d'un nombre impair et on calcule.
1
On traduit « \(n\) impair » algébriquement
Par définition, dire que \(n\) est impair signifie qu'il existe un entier \(k\) tel que \[n=2k+1.\]
2
On calcule \(n^2\)
\[n^2=(2k+1)^2=(2k)^2+2\times(2k)\times1+1^2=4k^2+4k+1.\]
3
On fait apparaître la forme « \(2\times\text{entier}+1\) »
\[n^2=4k^2+4k+1=2\underbrace{(2k^2+2k)}_{\text{entier}}+1.\] En posant \(k'=2k^2+2k\), qui est bien un entier, on obtient \(n^2=2k'+1\).
\(n^2\) s'écrit sous la forme \(2k'+1\) avec \(k'\) entier : \(n^2\) est donc impair. CQFD ∎
⚠️ Pièges classiques
- Vérifier la propriété sur un ou deux exemples et croire que c'est une preuve : un exemple ne prouve jamais une propriété générale.
- Mal développer \((2k+1)^2\) : ne pas oublier le double produit \(2\times2k\times1=4k\).
🧠 Nouvelle méthode : le raisonnement par l'absurde
Pour démontrer qu'une propriété est vraie, on peut parfois supposer le contraire (que la propriété est fausse), puis raisonner étape par étape à partir de cette hypothèse. Si on arrive à quelque chose d'impossible (une contradiction), c'est que l'hypothèse de départ ne pouvait pas être vraie. La propriété qu'on voulait démontrer est donc bien vraie.
Exemple tout simple : pour prouver « il y a quelqu'un dans cette salle », je peux supposer le contraire (« la salle est vide »), puis remarquer que j'entends une voix parler. Or une salle vide ne peut pas produire de voix : contradiction. Mon hypothèse de départ était donc fausse, et il y a bien quelqu'un dans la salle.
3 \(\sqrt2\) est irrationnel
🎯 À démontrer
Le nombre \(\sqrt2\) est irrationnel : il ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction \(\dfrac{a}{b}\) avec \(a\) et \(b\) des entiers naturels.
📐 Démonstration
Méthode : raisonnement par l'absurde — on suppose le contraire de ce qu'on veut prouver, et on aboutit à une contradiction.
1
On suppose le contraire
Supposons que \(\sqrt2\) soit rationnel. Alors il existe deux entiers naturels \(a\) et \(b\) (\(b\neq0\)) tels que \(\sqrt2=\dfrac{a}{b}\), et on peut choisir cette fraction irréductible (\(a\) et \(b\) sans diviseur commun autre que 1) — quitte à simplifier la fraction, c'est toujours possible.
2
On élève au carré
\(\sqrt2=\dfrac{a}{b}\) donne, en élevant au carré : \(2=\dfrac{a^2}{b^2}\), donc \[a^2=2b^2.\]
3
On en déduit que \(a\) est pair
L'égalité \(a^2=2b^2\) montre que \(a^2\) est pair. Or \(a\) est soit pair, soit impair (il n'y a pas d'autre possibilité). Si \(a\) était impair, alors d'après la démonstration 2, \(a^2\) serait impair, ce qui contredirait le fait que \(a^2=2b^2\) est pair. C'est donc que \(a\) est pair : il existe un entier \(k\) tel que \(a=2k\).
4
On en déduit que \(b\) est pair aussi
En remplaçant \(a\) par \(2k\) dans \(a^2=2b^2\) : \[(2k)^2=2b^2 \;\Longleftrightarrow\; 4k^2=2b^2 \;\Longleftrightarrow\; b^2=2k^2.\] Donc \(b^2\) est pair, et par le même argument qu'à l'étape 3, \(b\) est pair.
5
Contradiction
\(a\) et \(b\) sont donc tous les deux pairs : ils ont au moins 2 comme diviseur commun. Cela contredit le fait que la fraction \(\dfrac{a}{b}\) était choisie irréductible à l'étape 1.
L'hypothèse de départ est absurde, donc \(\sqrt2\) ne peut pas s'écrire sous forme de fraction : il est irrationnel. CQFD ∎
⚠️ Pièges classiques
- Oublier de préciser que la fraction est irréductible dès le départ : sans cette hypothèse, il n'y a pas de contradiction possible à la fin.
- Affirmer « \(a^2\) pair donc \(a\) pair » sans la justifier : c'est un mini raisonnement par l'absurde caché (on élimine le cas « \(a\) impair » grâce à la démonstration 2), il faut le détailler.
4 \(\dfrac13\) n'est pas un nombre décimal
📘 Rappel
Un nombre est décimal lorsqu'il peut s'écrire sous la forme \(\dfrac{k}{10^n}\) avec \(k\) un entier relatif et \(n\) un entier naturel (autrement dit, il a un nombre fini de chiffres après la virgule).
🎯 À démontrer
Le nombre \(\dfrac13\) n'est pas décimal.
📐 Démonstration
Méthode : raisonnement par l'absurde, en s'appuyant sur le critère de divisibilité par 3.
1
On suppose le contraire
Supposons que \(\dfrac13\) soit décimal. Il existe alors un entier relatif \(k\) et un entier naturel \(n\) tels que \[\frac13=\frac{k}{10^n}.\]
2
On élimine les dénominateurs
En multipliant les deux membres par \(3\times10^n\) : \[10^n=3k.\] Donc \(10^n\) est un multiple de 3.
3
On utilise le critère de divisibilité par 3
Un entier est divisible par 3 si, et seulement si, la somme de ses chiffres est divisible par 3 (critère connu depuis le collège). Or \(10^n\) s'écrit « 1 suivi de \(n\) zéros » : la somme de ses chiffres vaut \(1\), qui n'est pas divisible par 3.
4
Contradiction
\(10^n\) n'est donc pas divisible par 3, ce qui contredit l'égalité \(10^n=3k\) obtenue à l'étape 2.
L'hypothèse de départ est absurde : \(\dfrac13\) n'est pas un nombre décimal. CQFD ∎
⚠️ Piège classique
Confondre « décimal » et « rationnel » : \(\dfrac13\) est bien un nombre rationnel (c'est un quotient de deux entiers), mais il n'est pas décimal (son écriture décimale \(0{,}333\ldots\) ne s'arrête jamais). Tout nombre décimal est rationnel, mais la réciproque est fausse.
5 \(\sqrt{ab}=\sqrt a\times\sqrt b\) pour \(a,b\) positifs
🎯 À démontrer
Pour tous réels positifs \(a\) et \(b\) : \[\sqrt{ab}=\sqrt a\times\sqrt b.\]
📘 Rappel
Pour \(x\geqslant0\), \(\sqrt x\) est le seul nombre positif dont le carré vaut \(x\). Pour prouver qu'un nombre positif \(X\) est égal à \(\sqrt x\), il suffit donc de vérifier que \(X^2=x\).
📐 Démonstration
Méthode : on vérifie que \(\sqrt a\times\sqrt b\) coche les deux conditions du rappel ci-dessus : être positif, et avoir pour carré \(ab\).
1
Le nombre \(\sqrt a\times\sqrt b\) est positif
\(a\geqslant0\) et \(b\geqslant0\) donc \(\sqrt a\geqslant0\) et \(\sqrt b\geqslant0\) ; un produit de deux nombres positifs est positif, donc \(\sqrt a\times\sqrt b\geqslant0\).
2
Son carré vaut \(ab\)
\[(\sqrt a\times\sqrt b)^2=(\sqrt a)^2\times(\sqrt b)^2=a\times b.\]
3
On conclut
\(\sqrt a\times\sqrt b\) est un nombre positif dont le carré vaut \(ab\). Or, d'après le rappel, \(\sqrt{ab}\) est le seul nombre positif dont le carré vaut \(ab\). Donc \(\sqrt a\times\sqrt b=\sqrt{ab}\).
\(\sqrt{ab}=\sqrt a\times\sqrt b\). CQFD ∎
⚠️ Piège classique
Cette égalité suppose \(a\geqslant0\) et \(b\geqslant0\) : sans cette hypothèse, \(\sqrt a\) et \(\sqrt b\) ne sont même pas définis. Elle ne s'étend pas non plus à la somme : \(\sqrt{a+b}\neq\sqrt a+\sqrt b\) en général.
💡 L'idée commune à plusieurs démonstrations de ce chapitre
Pour prouver qu'une fonction est croissante ou décroissante sans tracer sa courbe, on prend deux réels quelconques \(a\) et \(b\) dans l'intervalle étudié, et on étudie le signe de \(f(a)-f(b)\). C'est la méthode de référence, à connaître par cœur, quelle que soit la fonction.
6 Sens de variation d'une fonction affine
🎯 À démontrer
Soit \(f(x)=mx+p\) une fonction affine. Si \(m>0\), \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\) ; si \(m<0\), \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb R\) ; si \(m=0\), \(f\) est constante.
📐 Démonstration
Méthode : étude du signe de \(f(a)-f(b)\) pour deux réels quelconques \(a\) et \(b\) tels que \(a < b\).
1
On calcule \(f(a)-f(b)\)
Pour tous réels \(a\) et \(b\) : \[f(a)-f(b)=(ma+p)-(mb+p)=m(a-b).\]
2
On fixe le signe de \(a-b\)
Soient \(a\) et \(b\) tels que \(a < b\). Alors \(a-b<0\).
3
On distingue les trois cas sur \(m\)
• Si \(m>0\) : \(m(a-b)\) est le produit d'un positif et d'un négatif, donc \(f(a)-f(b)<0\), soit \(f(a) < f(b)\) : \(f\) est croissante.
• Si \(m<0\) : \(m(a-b)\) est le produit de deux négatifs, donc \(f(a)-f(b)>0\), soit \(f(a)>f(b)\) : \(f\) est décroissante.
• Si \(m=0\) : \(f(a)-f(b)=0\), donc \(f(a)=f(b)\) pour tous \(a,b\) : \(f\) est constante.
Le sens de variation de \(f\) est entièrement déterminé par le signe de \(m\). CQFD ∎
7 Position relative des courbes \(y=x\) et \(y=x^2\) sur \([0\,;\,+\infty[\)
🎯 À démontrer
Pour \(x\in[0\,;\,1]\), la courbe de \(y=x^2\) est en dessous de la droite \(y=x\) ; pour \(x\in[1\,;\,+\infty[\), elle est au-dessus. Les deux courbes se croisent en \(x=0\) et \(x=1\).
📐 Démonstration
Méthode : on étudie le signe de la différence \(x^2-x\) par factorisation, en distinguant plusieurs cas (disjonction de cas).
1
On factorise la différence
Pour tout réel \(x\) : \[x^2-x=x(x-1).\]
2
Cas \(0\leqslant x<1\)
\(x\geqslant0\) et \(x-1<0\) : le produit \(x(x-1)\) est négatif ou nul. Donc \(x^2-x\leqslant0\), c'est-à-dire \(x^2\leqslant x\) : la courbe de \(x^2\) est en dessous de la droite \(y=x\).
3
Cas \(x=1\)
\(x^2-x=1-1=0\) : les deux courbes se croisent en ce point (ainsi qu'en \(x=0\), où \(x^2-x=0\) également).
4
Cas \(x>1\)
\(x>0\) et \(x-1>0\) : le produit \(x(x-1)\) est strictement positif. Donc \(x^2-x>0\), c'est-à-dire \(x^2>x\) : la courbe de \(x^2\) est au-dessus de la droite \(y=x\).
Sur \([0\,;\,1]\), \(x^2\leqslant x\) ; sur \([1\,;\,+\infty[\), \(x^2\geqslant x\), avec égalité en \(x=0\) et \(x=1\). CQFD ∎
⚠️ Piège classique
Oublier l'hypothèse \(x\geqslant0\) : pour \(x<0\), \(x^2\) est toujours positif alors que \(x\) est négatif, donc \(x^2>x\) automatiquement — la comparaison étudiée ici ne concerne que les réels positifs.
8 Sens de variation de la fonction carré
🎯 À démontrer
La fonction \(f(x)=x^2\) est strictement décroissante sur \(\left]-\infty\,;\,0\right]\) et strictement croissante sur \(\left[0\,;\,+\infty\right[\).
📐 Démonstration
Méthode : on étudie le signe de \(f(a)-f(b)\) pour deux réels \(a\) et \(b\) tels que \(a < b\).
1
On factorise \(f(a)-f(b)\)
Pour tous réels \(a\) et \(b\) : \[f(a)-f(b)=a^2-b^2=(a-b)(a+b).\]
2
Cas 1 : sur \(\left]-\infty\,;\,0\right]\)
Soient \(a\) et \(b\) tels que \(a < b\leqslant0\).
• \(a < b\) donne \(a-b<0\).
• \(a < b\leqslant0\) donne \(a<0\) et \(b\leqslant0\), donc \(a+b<0\).
Le produit de deux nombres strictement négatifs est strictement positif : \[f(a)-f(b)=(a-b)(a+b)>0 \;\Longleftrightarrow\; f(a)>f(b).\]
Quand \(a < b\), on a \(f(a)>f(b)\) : \(f\) est donc strictement décroissante sur \(\left]-\infty\,;\,0\right]\).
3
Cas 2 : sur \(\left[0\,;\,+\infty\right[\)
Soient \(a\) et \(b\) tels que \(0\leqslant a < b\).
• \(a < b\) donne \(a-b<0\).
• \(0\leqslant a < b\) donne \(a+b>0\) (car \(b>0\) et \(a\geqslant0\)).
Le produit d'un nombre strictement négatif et d'un nombre strictement positif est strictement négatif : \[f(a)-f(b)=(a-b)(a+b)<0 \;\Longleftrightarrow\; f(a) < f(b).\]
Quand \(a < b\), on a \(f(a) < f(b)\) : \(f\) est donc strictement croissante sur \(\left[0\,;\,+\infty\right[\).
\(f(x)=x^2\) est strictement décroissante sur \(\left]-\infty\,;\,0\right]\) et strictement croissante sur \(\left[0\,;\,+\infty\right[\). CQFD ∎
⚠️ Pièges classiques
- Oublier de justifier le signe de \(a+b\) : c'est là que l'hypothèse sur l'intervalle (négatif ou positif) intervient, ce n'est pas automatique.
- Oublier le mot « strictement » : ici les inégalités sont strictes du début à la fin.
9 Sens de variation de la fonction inverse
🎯 À démontrer
La fonction \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) est strictement décroissante sur \(\left]0\,;\,+\infty\right[\).
📐 Démonstration
Méthode : même principe — signe de \(f(a)-f(b)\), avec une mise au même dénominateur cette fois.
1
On prend deux réels dans l'intervalle
Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(0 < a < b\).
2
On calcule \(f(a)-f(b)\) au même dénominateur
\[f(a)-f(b)=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b}{ab}-\frac{a}{ab}=\frac{b-a}{ab}.\]
3
On étudie le signe de ce quotient
• Comme \(a < b\), on a \(b-a>0\).
• Comme \(0 < a < b\), on a \(a>0\) et \(b>0\), donc \(ab>0\).
Un quotient de deux nombres strictement positifs est strictement positif : \[f(a)-f(b)=\frac{b-a}{ab}>0 \;\Longleftrightarrow\; f(a)>f(b).\]
Quand \(a < b\), on a \(f(a)>f(b)\) : \(f\) est donc strictement décroissante sur \(\left]0\,;\,+\infty\right[\). CQFD ∎
⚠️ Pièges classiques
- Oublier l'hypothèse \(a>0\) (et pas seulement \(a\neq0\)) : elle est indispensable pour affirmer que \(ab>0\).
- Croire que la fonction inverse est décroissante sur \(\mathbb{R}^*\) tout entier : elle est décroissante sur chacun des deux intervalles \(\left]-\infty\,;\,0\right[\) et \(\left]0\,;\,+\infty\right[\), mais pas sur leur réunion.
🧠 Nouvelle méthode : démontrer une équivalence
Une propriété du type « \(P\) si, et seulement si, \(Q\) » (on dit que \(P\) et \(Q\) sont équivalentes) affirme que \(P\) et \(Q\) sont toujours vraies ensemble, ou fausses ensemble. Une seule implication ne suffit pas à la prouver : il faut démontrer les deux sens séparément.
• Le sens direct : si \(P\) est vraie, alors \(Q\) est vraie (noté \(P\Rightarrow Q\)).
• La réciproque : si \(Q\) est vraie, alors \(P\) est vraie (noté \(Q\Rightarrow P\)).
Ce n'est que lorsque les deux sens sont établis qu'on peut conclure à l'équivalence \(P\Leftrightarrow Q\).
10 Critère de colinéarité par le déterminant
🎯 À démontrer
Dans un repère, deux vecteurs \(\vec u(x\,;\,y)\) et \(\vec v(x'\,;\,y')\) sont colinéaires si, et seulement si, \[xy'-x'y=0.\]
📘 Rappel
Deux vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) sont dits colinéaires lorsque l'un est le produit de l'autre par un réel : soit \(\vec v=\vec 0\), soit il existe un réel \(k\) tel que \(\vec u=k\vec v\).
📐 Démonstration
Méthode : double implication. On traite le cas \(\vec v=\vec 0\) à part, puis on suppose \(\vec v\neq\vec 0\).
1
Cas particulier \(\vec v=\vec 0\)
Si \(\vec v=\vec 0(0\,;\,0)\), alors \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires par convention, et \(xy'-x'y=x\times0-0\times y=0\) : l'égalité est vérifiée. On suppose désormais \(\vec v\neq\vec 0\), c'est-à-dire \((x'\,;\,y')\neq(0\,;\,0)\).
2
Sens direct (\(\Rightarrow\))
Si \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires avec \(\vec v\neq\vec0\), il existe un réel \(k\) tel que \(\vec u=k\vec v\), c'est-à-dire \(x=kx'\) et \(y=ky'\). Alors : \[xy'-x'y=(kx')y'-x'(ky')=kx'y'-kx'y'=0.\]
3
Réciproque (\(\Leftarrow\))
Supposons \(xy'-x'y=0\), c'est-à-dire \(xy'=x'y\). Comme \(\vec v\neq\vec 0\), on a \(x'\neq0\) ou \(y'\neq0\).
Si \(x'\neq0\) : posons \(k=\dfrac{x}{x'}\). L'égalité \(xy'=x'y\) se réécrit \(y=\dfrac{x}{x'}y'=ky'\). On a donc \(x=kx'\) et \(y=ky'\), c'est-à-dire \(\vec u=k\vec v\).
Si \(x'=0\) (alors \(y'\neq0\)) : \(xy'=x'y\) devient \(xy'=0\), donc \(x=0\) (car \(y'\neq0\)). En posant \(k=\dfrac{y}{y'}\), on vérifie \(x=0=kx'\) et \(y=ky'\) : \(\vec u=k\vec v\).
Dans les deux cas, \(\vec u\) est un multiple de \(\vec v\) : les vecteurs sont colinéaires.
\(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires si, et seulement si, \(xy'-x'y=0\). CQFD ∎
🔎 Formulation équivalente : proportionnalité des coordonnées
Quand \(x',y'\) sont non nuls, l'égalité \(xy'-x'y=0\) se réécrit \(\dfrac{x}{x'}=\dfrac{y}{y'}\) (coordonnées proportionnelles) : c'est une autre manière, tout aussi valable, d'énoncer le même critère. Selon les enseignants, cette variante peut être présentée comme une simple reformulation du résultat ci-dessus, ou faire l'objet d'un exercice d'approfondissement à part entière — demande à ton professeur la version qu'il attend précisément.
⚠️ Pièges classiques
- Ne démontrer que le sens direct et oublier la réciproque : une équivalence exige les deux sens.
- Diviser par \(x'\) sans avoir vérifié que \(x'\neq0\) : c'est pour cela qu'on distingue les deux cas à l'étape 3.
11 Équation générale d'une droite
🎯 À démontrer
Toute droite \(\mathcal D\) du plan admet une équation de la forme \[ax+by+c=0,\qquad (a\,;\,b)\neq(0\,;\,0).\]
📐 Démonstration
Méthode : on réutilise le critère de colinéarité (démonstration 10) appliqué à un point courant de la droite et à un vecteur directeur.
1
On pose un point et un vecteur directeur
Soit \(\mathcal D\) une droite. Elle possède un point \(A(x_A\,;\,y_A)\) et un vecteur directeur \(\vec u(u_1\,;\,u_2)\), avec \((u_1\,;\,u_2)\neq(0\,;\,0)\) puisque \(\vec u\) n'est pas le vecteur nul.
2
On traduit « \(M\) appartient à \(\mathcal D\) »
Un point \(M(x\,;\,y)\) appartient à \(\mathcal D\) si, et seulement si, \(\overrightarrow{AM}(x-x_A\,;\,y-y_A)\) est colinéaire à \(\vec u(u_1\,;\,u_2)\). D'après le critère de colinéarité (démonstration 10), cela équivaut à : \[(x-x_A)\,u_2-u_1\,(y-y_A)=0.\]
3
On développe et on regroupe
\[u_2x-u_2x_A-u_1y+u_1y_A=0 \;\Longleftrightarrow\; u_2x-u_1y+(u_1y_A-u_2x_A)=0.\]
4
On identifie \(a\), \(b\) et \(c\)
En posant \(a=u_2\), \(b=-u_1\) et \(c=u_1y_A-u_2x_A\), on obtient exactement \[ax+by+c=0,\] avec \((a\,;\,b)=(u_2\,;\,-u_1)\neq(0\,;\,0)\) puisque \((u_1\,;\,u_2)\neq(0\,;\,0)\).
Tout point de \(\mathcal D\) vérifie \(ax+by+c=0\) : la droite \(\mathcal D\) admet bien une équation de cette forme, y compris si elle est verticale. CQFD ∎
🔎 Lien avec la forme réduite \(y=mx+p\)
Quand la droite n'est pas verticale, on a \(b\neq0\) (c'est-à-dire \(u_1\neq0\)), et on peut alors isoler \(y\) dans \(ax+by+c=0\) pour retrouver la forme réduite \(y=mx+p\), avec \(m=-\dfrac{a}{b}\) et \(p=-\dfrac{c}{b}\). Les droites verticales (\(b=0\)), elles, n'ont pas d'équation réduite : c'est tout l'intérêt de la forme générale \(ax+by+c=0\), qui couvre tous les cas.
⚠️ Pièges classiques
- Croire que toute droite a une équation \(y=mx+p\) : c'est faux pour les droites verticales, d'où l'intérêt de la forme générale démontrée ici.
- Oublier de vérifier que \((a\,;\,b)\neq(0\,;\,0)\) : sans cette condition, « \(ax+by+c=0\) » ne décrit plus une droite.
Directe (calcul algébrique)
On traduit l'hypothèse par une écriture algébrique (ex. \(n=2k+1\), \(m=ka\)), puis on calcule jusqu'à retrouver la forme voulue. Démonstrations 1, 2, 5, 6.
Par l'absurde
On suppose le contraire de ce qu'on veut prouver, et on déroule le raisonnement jusqu'à obtenir une contradiction. Démonstrations 3 et 4.
Étude du signe de \(f(a)-f(b)\)
Pour prouver le sens de variation d'une fonction : on factorise ou on met au même dénominateur, puis on détermine le signe. Démonstrations 6, 8, 9.
Disjonction de cas
On découpe le problème en plusieurs situations qui couvrent tous les cas possibles, et on traite chacune séparément. Démonstration 7 (et le cas \(m=0\) de la 6).
Double implication (\(\Leftrightarrow\))
Pour prouver une équivalence, on démontre séparément le sens direct puis la réciproque. Démonstration 10.
Par unicité
On montre qu'un nombre vérifie les conditions qui définissent un unique autre nombre, pour en déduire qu'ils sont égaux. Démonstration 5.