➗ Les Fractions

Rappels · Mise au même dénominateur (PPCM) · Opérations · Problèmes

2nde 8 exercices Chapitre 1 · Calcul numérique
📖 Rappels
📐 Même dénominateur
On cherche le PPCM des deux dénominateurs en listant leurs multiples. On réécrit chaque fraction, puis on additionne ou soustrait les numérateurs.
× et ÷ de fractions
Mult. : \(\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}\)
Div. : \(\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}\)
⚠️ Pas de dénominateur commun pour multiplier !
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Partie 1 – Calculs techniques

Exercice 1 / 8

Mise au même dénominateur
✓ Vu
Pour chaque paire de fractions, trouve le PPCM des dénominateurs, puis réécris chaque fraction avec ce dénominateur commun.
a) \(\dfrac{2}{3}\)  et  \(\dfrac{5}{4}\)
b) \(\dfrac{3}{8}\)  et  \(\dfrac{1}{6}\)
c) \(\dfrac{7}{10}\)  et  \(\dfrac{3}{4}\)
d) \(\dfrac{5}{6}\)  et  \(\dfrac{4}{9}\)
e) \(\dfrac{2}{5}\)  et  \(\dfrac{3}{8}\)
f) \(\dfrac{7}{12}\)  et  \(\dfrac{5}{8}\)
💡 Indices
Liste les multiples de chaque dénominateur dans l'ordre croissant. Le premier nombre qui apparaît dans les deux listes est le PPCM.
Repère par quel facteur tu as multiplié le dénominateur pour obtenir le PPCM, puis multiplie le numérateur par ce même facteur.
a)
Multiples de 3 : 3 6 9 12
Multiples de 4 : 4 8 12
PPCM(3, 4) = 12
\(\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 4}{12} = \dfrac{8}{12}\)   et   \(\dfrac{5}{4} = \dfrac{5 \times 3}{12} = \dfrac{15}{12}\)
b)
Multiples de 8 : 8 16 24
Multiples de 6 : 6 12 18 24
PPCM(8, 6) = 24
\(\dfrac{3}{8} = \dfrac{9}{24}\)   et   \(\dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{24}\)
c)
Multiples de 10 : 10 20
Multiples de 4 : 4 8 12 16 20
PPCM(10, 4) = 20
\(\dfrac{7}{10} = \dfrac{14}{20}\)   et   \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{15}{20}\)
d)
Multiples de 6 : 6 12 18
Multiples de 9 : 9 18
PPCM(6, 9) = 18
\(\dfrac{5}{6} = \dfrac{15}{18}\)   et   \(\dfrac{4}{9} = \dfrac{8}{18}\)
e)
Multiples de 5 : 5 10 15 20 25 30 35 40
Multiples de 8 : 8 16 24 32 40
PPCM(5, 8) = 40
\(\dfrac{2}{5} = \dfrac{16}{40}\)   et   \(\dfrac{3}{8} = \dfrac{15}{40}\)
f)
Multiples de 12 : 24
Multiples de 8 : 8 16 24
PPCM(12, 8) = 24
\(\dfrac{7}{12} = \dfrac{14}{24}\)   et   \(\dfrac{5}{8} = \dfrac{15}{24}\)
🔑 Le PPCM est le premier multiple commun aux deux dénominateurs. On le trouve en listant les multiples de chacun jusqu'à ce qu'ils coïncident.

Exercice 2 / 8

Addition et soustraction
✓ Vu
Calcule et donne le résultat sous forme de fraction irréductible.
a) \(\dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{8} =\)
b) \(\dfrac{7}{10} - \dfrac{2}{3} =\)
c) \(\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6} =\)
d) \(\dfrac{11}{12} - \dfrac{3}{8} =\)
e) \(\dfrac{4}{9} + \dfrac{5}{6} =\)
f) \(\dfrac{7}{8} - \dfrac{3}{10} =\)
💡 Indices
Liste les multiples des deux dénominateurs pour trouver leur PPCM, réécris chaque fraction avec ce dénominateur commun, puis additionne ou soustrait les numérateurs.
Cherche si le numérateur et le dénominateur ont un diviseur commun supérieur à 1. Si oui, divise les deux par ce diviseur et recommence jusqu'à ce qu'ils n'en aient plus.
a)
Multiples de 6 : 6 12 18 24
Multiples de 8 : 8 16 24
PPCM(6, 8) = 24
\(\dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{8} = \dfrac{20}{24} + \dfrac{9}{24} = \dfrac{29}{24}\)
b)
Multiples de 10 : 10 20 30
Multiples de 3 : 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
PPCM(10, 3) = 30
\(\dfrac{7}{10} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{21}{30} - \dfrac{20}{30} = \dfrac{1}{30}\)
c)
Multiples de 4 : 4 8 12
Multiples de 6 : 6 12
PPCM(4, 6) = 12
\(\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6} = \dfrac{9}{12} + \dfrac{10}{12} = \dfrac{19}{12}\)
d)
Multiples de 12 : 24
Multiples de 8 : 8 16 24
PPCM(12, 8) = 24
\(\dfrac{11}{12} - \dfrac{3}{8} = \dfrac{22}{24} - \dfrac{9}{24} = \dfrac{13}{24}\)
e)
Multiples de 9 : 9 18
Multiples de 6 : 6 12 18
PPCM(9, 6) = 18
\(\dfrac{4}{9} + \dfrac{5}{6} = \dfrac{8}{18} + \dfrac{15}{18} = \dfrac{23}{18}\)
f)
Multiples de 8 : 8 16 24 32 40
Multiples de 10 : 10 20 30 40
PPCM(8, 10) = 40
\(\dfrac{7}{8} - \dfrac{3}{10} = \dfrac{35}{40} - \dfrac{12}{40} = \dfrac{23}{40}\)
🔑 Vérifier systématiquement que le résultat est irréductible en cherchant un éventuel diviseur commun au numérateur et au dénominateur.

Exercice 3 / 8

Multiplication de fractions
✓ Vu
Calcule et donne le résultat sous forme de fraction irréductible.
a) \(\dfrac{3}{7} \times \dfrac{14}{9} =\)
b) \(\dfrac{5}{8} \times \dfrac{4}{15} =\)
c) \(\dfrac{9}{10} \times \dfrac{5}{6} =\)
d) \(\dfrac{7}{4} \times \dfrac{8}{21} =\)
e) \(6 \times \dfrac{5}{9} =\)
f) \(\dfrac{11}{6} \times \dfrac{3}{22} =\)
💡 Indices
Oui ! Cherche un diviseur commun entre un numérateur et n'importe quel dénominateur (pas forcément de la même fraction). Cela évite de manipuler de grands nombres.
a) \(\dfrac{3}{7} \times \dfrac{14}{9} = \dfrac{42}{63} = \dfrac{2}{3}\)  (÷ 21)
b) \(\dfrac{5}{8} \times \dfrac{4}{15} = \dfrac{20}{120} = \dfrac{1}{6}\)  (÷ 20)
c) \(\dfrac{9}{10} \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{45}{60} = \dfrac{3}{4}\)  (÷ 15)
d) \(\dfrac{7}{4} \times \dfrac{8}{21} = \dfrac{56}{84} = \dfrac{2}{3}\)  (÷ 28)
e) \(6 \times \dfrac{5}{9} = \dfrac{30}{9} = \dfrac{10}{3}\)  (÷ 3)
f) \(\dfrac{11}{6} \times \dfrac{3}{22} = \dfrac{33}{132} = \dfrac{1}{4}\)  (÷ 33)
🔑 Simplifier avant de multiplier allège les calculs. On peut simplifier entre n'importe quel numérateur et n'importe quel dénominateur.

Exercice 4 / 8

Division par une fraction
✓ Vu
Calcule et donne le résultat sous forme de fraction irréductible.
a) \(\dfrac{5}{6} \div \dfrac{10}{9} =\)
b) \(\dfrac{7}{4} \div \dfrac{14}{3} =\)
c) \(\dfrac{8}{15} \div \dfrac{4}{5} =\)
d) \(9 \div \dfrac{3}{7} =\)
💡 Indices
L'inverse de \(\dfrac{c}{d}\) est \(\dfrac{d}{c}\) : on échange numérateur et dénominateur. Diviser par \(\dfrac{c}{d}\) revient à multiplier par \(\dfrac{d}{c}\).
a) \(\dfrac{5}{6} \div \dfrac{10}{9} = \dfrac{5}{6} \times \dfrac{9}{10} = \dfrac{45}{60} = \dfrac{3}{4}\)
b) \(\dfrac{7}{4} \div \dfrac{14}{3} = \dfrac{7}{4} \times \dfrac{3}{14} = \dfrac{21}{56} = \dfrac{3}{8}\)
c) \(\dfrac{8}{15} \div \dfrac{4}{5} = \dfrac{8}{15} \times \dfrac{5}{4} = \dfrac{40}{60} = \dfrac{2}{3}\)
d) \(9 \div \dfrac{3}{7} = \dfrac{9}{1} \times \dfrac{7}{3} = \dfrac{63}{3} = 21\)
🔑 \(\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}\). On ne cherche jamais de dénominateur commun pour diviser.
📝
Partie 2 – Problèmes

Exercice 5 / 8

Problème · addition / soustraction
✓ Vu
🏗️ Un réservoir est rempli aux \(\dfrac{5}{6}\) de sa capacité. On y prélève \(\dfrac{3}{8}\) de la capacité totale pour alimenter un chantier.
a) Quelle fraction de la capacité totale a-t-on prélevée ?
b) Quelle fraction reste-t-il dans le réservoir ?
💡 Indices
Ce qui reste = ce qu'il y avait − ce qu'on a prélevé. Il faudra mettre les deux fractions au même dénominateur avant de soustraire.
a) On a prélevé \(\dfrac{3}{8}\) de la capacité totale.
b) Fraction restante :
Multiples de 6 : 6 12 18 24
Multiples de 8 : 8 16 24
PPCM(6, 8) = 24
\(\dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{8} = \dfrac{20}{24} - \dfrac{9}{24} = \dfrac{11}{24}\)
Il reste \(\dfrac{11}{24}\) de la capacité totale du réservoir.

Exercice 6 / 8

Problème · addition / soustraction
✓ Vu
🎓 Dans une classe de 2nde, \(\dfrac{3}{8}\) des élèves pratiquent un sport collectif et \(\dfrac{2}{5}\) pratiquent un sport individuel. Les autres ne pratiquent aucun sport.
Quelle fraction de la classe ne pratique aucun sport ?
💡 Indices
La classe entière représente 1. Additionne d'abord les deux fractions de sportifs (en trouvant leur PPCM), puis soustrait ce total de 1.
Fraction pratiquant un sport :
Multiples de 8 : 8 16 24 32 40
Multiples de 5 : 5 10 15 20 25 30 35 40
PPCM(8, 5) = 40
\(\dfrac{3}{8} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{15}{40} + \dfrac{16}{40} = \dfrac{31}{40}\)
Fraction ne pratiquant aucun sport :
\(1 - \dfrac{31}{40} = \dfrac{40}{40} - \dfrac{31}{40} = \dfrac{9}{40}\)
\(\dfrac{9}{40}\) de la classe ne pratique aucun sport.

Exercice 7 / 8

Problème · multiplication
✓ Vu
🏟️ Un stade a une capacité de 42 000 places. Lors d'un match, \(\dfrac{5}{7}\) des places sont occupées. Parmi les spectateurs présents, \(\dfrac{3}{4}\) se trouvent en tribune couverte.
Combien de spectateurs sont en tribune couverte ?
💡 Indices
Commence par calculer le nombre total de spectateurs présents (\(\dfrac{5}{7}\) de 42 000), puis calcule \(\dfrac{3}{4}\) de ce résultat.
Spectateurs présents : \(\dfrac{5}{7} \times 42\,000 = \dfrac{210\,000}{7} = 30\,000\)
En tribune couverte : \(\dfrac{3}{4} \times 30\,000 = \dfrac{90\,000}{4} = 22\,500\)
22 500 spectateurs se trouvent en tribune couverte.
🔑 « \(\dfrac{3}{4}\) de 30 000 » = \(\dfrac{3}{4} \times 30\,000\). On applique les fractions successivement.

Exercice 8 / 8

Problème · division
✓ Vu
🧪 Un laboratoire dispose de \(\dfrac{7}{8}\) de litre d'un réactif. Chaque expérience nécessite \(\dfrac{7}{24}\) de litre.
Combien d'expériences complètes peut-on réaliser ?
💡 Indices
Combien de fois \(\dfrac{7}{24}\) tient-il dans \(\dfrac{7}{8}\) ? C'est une division. Si le résultat n'est pas entier, on prend la partie entière pour le nombre d'expériences complètes.
\(\dfrac{7}{8} \div \dfrac{7}{24} = \dfrac{7}{8} \times \dfrac{24}{7} = \dfrac{168}{56} = 3\)
On peut réaliser 3 expériences complètes.
🔑 « Combien de fois X tient dans Y ? » ➔ division \(Y \div X\). Diviser par \(\dfrac{7}{24}\) revient à multiplier par \(\dfrac{24}{7}\).
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