⚡ Les Puissances

Écritures · Formules de puissances · Priorités opératoires · Problèmes

2nde 7 exercices Chapitre 1 · Calcul numérique

📖 Rappels – Formules des puissances

Définitions
\(a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ fois}}\)
\(a^0 = 1\) (avec \(a \neq 0\))
\(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\) (avec \(a \neq 0\))

Produit et quotient
\(a^m \times a^n = a^{m+n}\)
\(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)
\((a^m)^n = a^{m \times n}\)

Puissance d'un produit
\((ab)^n = a^n \times b^n\)
\(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}\)
⚠️ Ces formules ne s'appliquent qu'à \(a^m \times a^n\) si les bases sont identiques !

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Partie 1 – Écritures

Exercice 1 / 7

Écriture de puissances positives

✓ Vu

a) à d) Écris sous la forme d'une puissance de 10.
e) à h) Calcule et donne le résultat sous forme d'un entier ou d'une fraction.

a) \(1\,000\,000 =\)

b) \(10\,000 =\)

c) \(100 =\)

d) \(1 =\)

e) \(3^4 =\)

f) \((-2)^5 =\)

g) \(5^3 =\)

h) \((-4)^2 =\)

💡 Indices

Pour une puissance de 10, l'exposant indique exactement le nombre de zéros qui suivent le 1. Ainsi \(10^3 = 1\,000\) (trois zéros).

Si la base est négative, le signe du résultat dépend de la parité de l'exposant : exposant pair → résultat positif ; exposant impair → résultat négatif.

a) \(1\,000\,000 = 10^6\) b) \(10\,000 = 10^4\)
c) \(100 = 10^2\) d) \(1 = 10^0\)
e) \(3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81\)
f) \((-2)^5 = (-2)\times(-2)\times(-2)\times(-2)\times(-2) = -32\)
g) \(5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125\)
h) \((-4)^2 = (-4)\times(-4) = 16\)

🔑 \((-a)^n\) est positif si \(n\) est pair, négatif si \(n\) est impair. Attention : \(-4^2 = -(4^2) = -16\) est différent de \((-4)^2 = 16\).

Exercice 2 / 7

Écriture de puissances négatives

✓ Vu

a) à d) Écris sous la forme d'une puissance de 10.
e) à h) Écris sous forme de fraction irréductible.

a) \(0{,}001 =\)

b) \(0{,}0001 =\)

c) \(0{,}1 =\)

d) \(0{,}01 =\)

e) \(2^{-3} =\)

f) \(5^{-2} =\)

g) \(3^{-4} =\)

h) \(10^{-5} =\)

💡 Indices

\(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\). Un exposant négatif signifie qu'on prend l'inverse de la puissance positive correspondante.

L'exposant négatif indique le nombre de décimales : \(10^{-3} = 0{,}001\) (le 1 est en 3e position après la virgule). Compte les zéros après la virgule !

a) \(0{,}001 = 10^{-3}\) b) \(0{,}0001 = 10^{-4}\)
c) \(0{,}1 = 10^{-1}\) d) \(0{,}01 = 10^{-2}\)
e) \(2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}\)
f) \(5^{-2} = \dfrac{1}{5^2} = \dfrac{1}{25}\)
g) \(3^{-4} = \dfrac{1}{3^4} = \dfrac{1}{81}\)
h) \(10^{-5} = \dfrac{1}{10^5} = \dfrac{1}{100\,000} = 0{,}00001\)

🔑 \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\). Un exposant négatif ne rend pas le résultat négatif : il indique un inverse.

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Partie 2 – Formules de puissances

Exercice 3 / 7

Formules · produit et puissance d'une puissance

✓ Vu

Écris chaque expression sous la forme \(a^n\) en utilisant les formules. On ne cherche pas à calculer la valeur numérique : le résultat est une puissance.

a) \(3^5 \times 3^4 =\)

b) \(7^{-2} \times 7^6 =\)

c) \(2^3 \times 2^{-5} =\)

d) \((5^3)^4 =\)

e) \((10^{-2})^3 =\)

f) \(4^3 \times 4^{-3} =\)

g) \((3^2)^{-3} =\)

h) \(10^4 \times 10^{-1} \times 10^{-2} =\)

💡 Indices

\(a^m \times a^n = a^{m+n}\). Les bases doivent être identiques. On additionne les exposants, y compris s'ils sont négatifs.

\((a^m)^n = a^{m \times n}\). On multiplie les deux exposants.

a) \(3^5 \times 3^4 = 3^{5+4} = 3^9\)
b) \(7^{-2} \times 7^6 = 7^{-2+6} = 7^4\)
c) \(2^3 \times 2^{-5} = 2^{3+(-5)} = 2^{-2}\)
d) \((5^3)^4 = 5^{3 \times 4} = 5^{12}\)
e) \((10^{-2})^3 = 10^{(-2) \times 3} = 10^{-6}\)
f) \(4^3 \times 4^{-3} = 4^{3+(-3)} = 4^0\)
g) \((3^2)^{-3} = 3^{2 \times (-3)} = 3^{-6}\)
h) \(10^4 \times 10^{-1} \times 10^{-2} = 10^{4+(-1)+(-2)} = 10^1\)

🔑 \(a^m \times a^n = a^{m+n}\) et \((a^m)^n = a^{m \times n}\). Ces formules nécessitent que la base soit la même. On n'évalue pas la puissance : le résultat sous forme \(a^n\) suffit.

Exercice 4 / 7

Formules · quotient et puissance d'un produit

✓ Vu

Écris chaque expression sous la forme \(a^n\) en utilisant les formules. On ne cherche pas à calculer la valeur numérique : le résultat est une puissance.

a) \(\dfrac{6^8}{6^3} =\)

b) \(\dfrac{5^2}{5^7} =\)

c) \(\dfrac{10^3}{10^{-2}} =\)

d) \((3 \times 5)^4 =\)

e) \((2 \times 7)^3 =\)

f) \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^3 =\)

g) \(\dfrac{2^5 \times 3^5}{6^3} =\)

h) \(\dfrac{4^6}{2^{10}} =\)

💡 Indices

\(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\). On soustrait l'exposant du dénominateur de celui du numérateur.

Pour g), remarque que \(2^5 \times 3^5 = (2 \times 3)^5 = 6^5\). Pour h), écris \(4^6 = (2^2)^6 = 2^{12}\), puis applique la formule du quotient.

a) \(\dfrac{6^8}{6^3} = 6^{8-3} = 6^5\)
b) \(\dfrac{5^2}{5^7} = 5^{2-7} = 5^{-5}\)
c) \(\dfrac{10^3}{10^{-2}} = 10^{3-(-2)} = 10^5\)
d) \((3 \times 5)^4 = 3^4 \times 5^4\)
e) \((2 \times 7)^3 = 2^3 \times 7^3\)
f) \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^3 = \dfrac{3^3}{4^3}\)
g) \(\dfrac{2^5 \times 3^5}{6^3} = \dfrac{(2 \times 3)^5}{6^3} = \dfrac{6^5}{6^3} = 6^{5-3} = 6^2\)
h) \(\dfrac{4^6}{2^{10}} = \dfrac{(2^2)^6}{2^{10}} = \dfrac{2^{12}}{2^{10}} = 2^{12-10} = 2^2\)

🔑 \(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\), \((ab)^n = a^n b^n\), \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}\). Pour g) et h), l'astuce est de reconnaître une base commune avant d'appliquer la formule.

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Partie 3 – Priorités et problèmes

Exercice 5 / 7

Priorités opératoires avec puissances

✓ Vu

Calcule en respectant les priorités opératoires. Donne le résultat sous forme d'un nombre décimal ou d'une fraction.

a) \(2 + 3^2 \times 4 =\)

b) \((2 + 3)^2 \times 4 =\)

c) \(5 \times 2^3 - 3^2 =\)

d) \(10^2 - (4 + 1)^3 =\)

e) \(3^{-2} + \dfrac{1}{3} =\)

f) \(2^4 \div (2^2 - 2) + 5 =\)

💡 Indices

Ordre des priorités : 1) parenthèses, 2) puissances, 3) multiplications et divisions (de gauche à droite), 4) additions et soustractions.

En a), on calcule d'abord \(3^2 = 9\), puis \(9 \times 4 = 36\), puis \(2 + 36\). En b), la parenthèse passe en premier : \(2+3 = 5\), puis \(5^2 = 25\), puis \(25 \times 4\).

a) \(2 + 3^2 \times 4 = 2 + 9 \times 4 = 2 + 36 = 38\)
b) \((2+3)^2 \times 4 = 5^2 \times 4 = 25 \times 4 = 100\)
c) \(5 \times 2^3 - 3^2 = 5 \times 8 - 9 = 40 - 9 = 31\)
d) \(10^2 - (4+1)^3 = 100 - 5^3 = 100 - 125 = -25\)
e) \(3^{-2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{9} + \dfrac{3}{9} = \dfrac{4}{9}\)
f) \(2^4 \div (2^2 - 2) + 5 = 16 \div (4 - 2) + 5 = 16 \div 2 + 5 = 8 + 5 = 13\)

🔑 Les puissances se calculent avant les multiplications/divisions, qui se calculent avant les additions/soustractions. Les parenthèses sont toujours prioritaires.

Exercice 6 / 7

Problème · formules de puissances

✓ Vu

🦠 Une bactérie se divise en deux toutes les heures. Au temps \(t = 0\), on part d'une seule bactérie.

a) Complète le tableau suivant :

Temps (heures)	0	1	2	3	4	5
Nombre de bactéries
Écriture en puissance de 2

b) En observant le tableau, exprime le nombre de bactéries après \(n\) heures sous forme d'une puissance de 2.

c) À un certain moment, on compte \(2^{12}\) bactéries. On laisse pousser encore 8 heures. Exprime le nombre de bactéries obtenu sous forme d'une puissance de 2.

💡 Indices

À chaque heure, le nombre de bactéries est multiplié par 2. Essaie d'écrire chaque valeur du tableau comme un produit de 2, puis comme une puissance de 2.

Après 8 heures supplémentaires, le nombre de bactéries est multiplié par \(2^8\). On obtient donc \(2^{12} \times 2^8\). Quelle formule permet de simplifier ce produit ?

Temps (h)	0	1	2	3	4	5
Nombre	1	2	4	8	16	32
Puissance de 2	\(2^0\)	\(2^1\)	\(2^2\)	\(2^3\)	\(2^4\)	\(2^5\)

b) On observe que le nombre de bactéries après \(n\) heures est \(2^n\).

c) 8 heures plus tard, on multiplie par \(2^8\) :
\(2^{12} \times 2^8 = 2^{12+8} = 2^{20}\)

Après ces 8 heures supplémentaires, il y a \(2^{20}\) bactéries.

🔑 Le tableau montre que l'exposant correspond exactement au nombre d'heures écoulées. La formule \(a^m \times a^n = a^{m+n}\) traduit l'enchaînement de deux phases de croissance.

Exercice 7 / 7

Problème · formules de puissances

✓ Vu

🌍 La distance Terre–Soleil est d'environ \(1{,}5 \times 10^8\) km. La lumière parcourt environ \(3 \times 10^5\) km par seconde.
a) Calcule le temps (en secondes) que met la lumière pour aller du Soleil à la Terre. Exprime le résultat sous forme de puissance de 10 (valeur approchée).
b) Convertis ce résultat en minutes.

💡 Indices

\(\text{temps} = \dfrac{\text{distance}}{\text{vitesse}}\). Divise la distance par la vitesse de la lumière. Utilise la formule \(\dfrac{10^m}{10^n} = 10^{m-n}\) pour les puissances de 10.

a) \(t = \dfrac{1{,}5 \times 10^8}{3 \times 10^5} = \dfrac{1{,}5}{3} \times \dfrac{10^8}{10^5} = 0{,}5 \times 10^{8-5} = 0{,}5 \times 10^3 = 5 \times 10^2\) secondes

b) \(5 \times 10^2 \text{ s} = 500 \text{ s} = \dfrac{500}{60} \approx 8{,}3 \text{ minutes}\)

La lumière met environ \(5 \times 10^2\) secondes, soit environ 8 minutes, pour aller du Soleil à la Terre.

🔑 Pour diviser des nombres en écriture scientifique, on divise les parties numériques et on soustrait les exposants : \(\dfrac{a \times 10^m}{b \times 10^n} = \dfrac{a}{b} \times 10^{m-n}\).