🔢 Les Nombres premiers

Définition · Crible · Décomposition · PGCD · Problèmes

2nde 5 exercices Chapitre 1 · Calcul numérique
📖 Rappels
Nombre premier
Un entier \(n \geq 2\) est premier s'il admet exactement deux diviseurs : \(1\) et lui-même.
Ex : 2, 3, 5, 7, 11, 13…
Décomposition en facteurs premiers
Tout entier \(\geq 2\) s'écrit de façon unique comme produit de facteurs premiers.
Ex : \(60 = 2^2 \times 3 \times 5\)
PGCD via la décomposition
On prend les facteurs premiers communs avec le plus petit exposant.
Ex : \(\text{PGCD}(12, 18) = 2 \times 3 = 6\)
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Partie 1 – Nombres premiers

Exercice 1 / 5

Question de cours · nombres premiers
✓ Vu
a) Un entier est-il premier s'il est pair ? Justifie (sauf cas particulier).
b) Complète le crible ci-dessous : barre les multiples de 2, 3, 5 et 7 (sauf eux-mêmes) pour ne garder que les nombres premiers entre 1 et 50. Note que 1 est déjà barré car il n'est pas premier.
c) Liste tous les nombres premiers obtenus entre 1 et 50.
Barrer tous les multiples de :
n Barré manuellement · n Barré par filtre · n Clique pour barrer/débarrer
💡 Indices
Un nombre premier n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même. Essaie de diviser \(n\) par 2, 3, 5, 7… Si aucun ne divise \(n\), alors \(n\) est premier. Attention : inutile d'aller au-delà de \(\sqrt{n}\) !
Parce que \(\sqrt{50} \approx 7{,}07\). Si un nombre \(n \leq 50\) n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7, alors il est forcément premier.
a) Non (sauf 2) : tout entier pair est divisible par 2, donc il admet au moins trois diviseurs : 1, 2 et lui-même. Il n'est donc pas premier. Le seul entier pair premier est 2.
b) Après avoir barré les multiples de 2, 3, 5 et 7 (hormis ces nombres eux-mêmes), il reste les cases non barrées.
c) Les nombres premiers entre 1 et 50 sont :
\(2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43,\ 47\)
Il y en a 15 en tout.
🔑 Le seul entier pair premier est 2. Tout entier pair supérieur à 2 est divisible par 2, donc pas premier.
🧮
Partie 2 – Décomposition en facteurs premiers

Exercice 2 / 5

Décomposition en facteurs premiers
✓ Vu
Décompose chaque entier en produit de facteurs premiers. Utilise la méthode des divisions successives.
a) \(36 =\)
b) \(60 =\)
c) \(84 =\)
d) \(90 =\)
e) \(126 =\)
f) \(180 =\)
💡 Indices
Utilise le tableau de divisions successives : à gauche tu écris le nombre, à droite le plus petit premier qui le divise, puis tu continues avec le quotient. Exemple pour 36 : 36|2 → 18|2 → 9|3 → 3|3 → 1. On obtient \(36 = 2^2 \times 3^2\).
a)
3618931
2233
\(36 = 2^2 \times 3^2\)
b)
60301551
2235
\(60 = 2^2 \times 3 \times 5\)
c)
84422171
2237
\(84 = 2^2 \times 3 \times 7\)
d)
90451551
2335
\(90 = 2 \times 3^2 \times 5\)
e)
126632171
2337
\(126 = 2 \times 3^2 \times 7\)
f)
18090451551
22335
\(180 = 2^2 \times 3^2 \times 5\)
🔑 On divise toujours par le plus petit premier possible. On continue jusqu'à obtenir 1. Les exposants regroupent les facteurs répétés : \(2 \times 2 = 2^2\), \(3 \times 3 = 3^2\)…
📦
Partie 3 – Problèmes d'arithmétique

Exercice 3 / 5

Problème · PGCD · sachets
✓ Vu
🍬 On souhaite réaliser des sachets de bonbons.
On dispose de 112 bonbons à la fraise et de 140 bonbons au caramel.
  • Tous les sachets contiennent le même nombre de bonbons à la fraise.
  • Tous les sachets contiennent le même nombre de bonbons au caramel.
  • Tous les bonbons à la fraise et au caramel sont utilisés.
1. Peut-on constituer 16 sachets ?
2. La décomposition en facteurs premiers de 112 est \(2^4 \times 7\).
  Quelle est la décomposition en facteurs premiers de 140 ?
3. Quel nombre maximal de sachets pourra-t-on constituer ?
  Quelle sera alors la composition de chaque sachet ?
💡 Indices
Pour pouvoir constituer 16 sachets identiques, il faut que 16 divise à la fois 112 et 140. Effectue les divisions et vérifie si les restes sont nuls.
Le nombre maximal de sachets est le PGCD de 112 et 140. Pour le trouver via les décompositions : prends les facteurs premiers communs avec le plus petit exposant.
1. On a \(112 \div 16 = 7\) (exact) et \(140 \div 16 = 8{,}75\) (non entier).
Or 16 ne divise pas 140, donc on ne peut pas constituer 16 sachets.
2. Décomposons 140 par divisions successives :
140703571
2257
\(140 = 2^2 \times 5 \times 7\)
3. On écrit les deux décompositions et on surligne en rouge les facteurs communs (avec le plus petit exposant) :
112 = 2²×7
140 = 2²×5×7
Les facteurs communs sont 2² et 7.
PGCD(112, 140) = 2² × 7 = 28
On peut constituer au maximum 28 sachets.
On retrouve la composition de chaque sachet avec les facteurs restants (non communs) :
112 = 2²×2²×7 (112 = 2⁴ × 7, donc 2² commun + 2² restant)
140 = 2²×5×7
Chaque sachet contient :
 • bonbons fraise : 2² = 4  (facteur restant de 112)
 • bonbons caramel : 5  (facteur restant de 140)
28 sachets · 4 fraises + 5 caramels chacun
🔑 Le nombre maximal de paquets = PGCD (facteurs communs). La composition de chaque paquet = facteurs restants de chaque décomposition.

Exercice 4 / 5

Problème · PGCD · pavage
✓ Vu
🟦 Un jardinier veut carreler une terrasse rectangulaire de 252 cm de long et 168 cm de large avec des carreaux carrés identiques, sans les couper.
1. Donne la décomposition en facteurs premiers de 252 et de 168.
2. Quelle est la plus grande dimension possible (en cm) pour le côté d'un carreau ?
3. Combien de carreaux faudra-t-il au total ?
💡 Indices
Pour que les carreaux s'ajustent parfaitement, leur côté doit diviser à la fois 252 et 168. La plus grande valeur possible est donc le PGCD(252, 168).
Calcule le nombre de carreaux sur la longueur (\(252 \div \text{côté}\)) et sur la largeur (\(168 \div \text{côté}\)), puis multiplie.
1. Décompositions par divisions successives :
252
252126632171
22337
\(252 = 2^2 \times 3^2 \times 7\)
168
16884422171
22237
\(168 = 2^3 \times 3 \times 7\)
2. On surligne en rouge les facteurs communs (avec le plus petit exposant) :
252 = 2²×3×7 (3² → on ne prend que 3¹, l'exp. min)
168 = 2²×2×3×7
Facteurs communs : 2², 3, 7
PGCD(252, 168) = 2² × 3 × 7 = 84
La plus grande dimension de carreau est 84 cm.
3. Les facteurs restants donnent le nombre de carreaux par dimension :
252 = 2²×3×3×7 (3² = 3×3 ; un 3 commun, un 3 restant)
168 = 2²×2×3×7
Longueur : 3 carreaux  (facteur restant de 252)
Largeur : 2 carreaux  (facteur restant de 168)
Total : \(3 \times 2 =\) 6 carreaux
Carreaux de 84 cm de côté · 6 carreaux au total
🔑 La plus grande taille de carreau sans découpe = PGCD (facteurs communs). Le nombre de carreaux par côté = facteurs restants de chaque dimension.

Exercice 5 / 5

Problème · PGCD · répartition ⚠️ Difficile
✓ Vu
🖊️ Une association prépare des trousses scolaires identiques pour des élèves.
Elle dispose de 90 stylos, 60 crayons et 150 feuilles.
Chaque trousse doit contenir le même nombre de stylos, le même nombre de crayons et le même nombre de feuilles. Tous les articles doivent être utilisés.

1. Donne la décomposition en facteurs premiers de 90, 60 et 150.
2. Quel est le nombre maximal de trousses que l'on peut préparer ?
3. Quelle sera la composition de chaque trousse ?
4. Peut-on préparer exactement 10 trousses ? Justifie.
💡 Indices
On décompose les trois nombres, puis on prend les facteurs premiers présents dans toutes les décompositions, avec le plus petit exposant. C'est le PGCD des trois nombres.
Pour que 10 trousses soient possibles, il faut que 10 divise chacun des trois nombres. Vérifie si \(90 \div 10\), \(60 \div 10\) et \(150 \div 10\) sont tous entiers.
1. Décompositions par divisions successives :
90
90451551
2335
\(90 = 2 \times 3^2 \times 5\)
60
60301551
2235
\(60 = 2^2 \times 3 \times 5\)
150
150752551
2355
\(150 = 2 \times 3 \times 5^2\)
2. On surligne en rouge les facteurs communs aux trois décompositions (avec le plus petit exposant) :
90 = 2×3×3×5 (3² = 3×3 ; un 3 commun, un 3 restant)
60 = 2×2×3×5 (2² = 2×2 ; un 2 commun, un 2 restant)
150 = 2×3×5×5 (5² = 5×5 ; un 5 commun, un 5 restant)
Facteurs communs aux trois : 2, 3, 5
PGCD(90, 60, 150) = 2 × 3 × 5 = 30
On peut préparer au maximum 30 trousses.
3. Les facteurs restants donnent la composition de chaque trousse :
Stylos : facteur restant de 90 → 3 stylos par trousse  (\(90 \div 30 = 3\))
Crayons : facteur restant de 60 → 2 crayons par trousse  (\(60 \div 30 = 2\))
Feuilles : facteur restant de 150 → 5 feuilles par trousse  (\(150 \div 30 = 5\))
4. On vérifie si 10 divise les trois nombres :
\(90 \div 10 = 9\) ✓   \(60 \div 10 = 6\) ✓   \(150 \div 10 = 15\) ✓
10 divise bien les trois nombres, donc oui, on peut préparer 10 trousses (9 stylos, 6 crayons, 15 feuilles chacune).
Ce n'est cependant pas le maximum possible (le max est 30).
30 trousses · 3 stylos + 2 crayons + 5 feuilles chacune
🔑 Pour trois nombres : facteurs communs aux trois = PGCD → nombre de trousses. Facteurs restants de chaque nombre → contenu de chaque trousse.
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