I. Opérations sur les fractions
1) Définition et propriété fondamentale
📘 Définition
\(a\) et \(b\) désignent deux nombres (\(b \neq 0\)). La fraction \(\dfrac{a}{b}\) est le résultat de la division de \(a\) par \(b\).
\(a\) s'appelle le numérateur et \(b\) s'appelle le dénominateur .
📗 Propriété fondamentale
Un quotient ne change pas si on multiplie ou divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul \(k\).
\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k} = \dfrac{a \div k}{b \div k}\)
On utilise cette propriété pour simplifier ou pour mettre au même dénominateur .
🔍 Exercice rapide — Trouver le nombre manquant
Complète les égalités suivantes en trouvant le nombre manquant noté …
(a) \(\dfrac{5}{12} = \dfrac{\ldots}{36}\)
(b) \(\dfrac{3}{7} = \dfrac{15}{\ldots}\)
(c) \(\dfrac{4}{9} = \dfrac{\ldots}{27}\)
(d) \(\dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{\ldots}\)
▶ Voir la correction
(a) \(\dfrac{5}{12} = \dfrac{?}{36}\) — Le dénominateur est multiplié par \(3\) (car \(12 \times 3 = 36\)). On fait de même au numérateur :
\(\dfrac{5}{12} = \dfrac{5 \times 3}{12 \times 3} = \dfrac{\mathbf{15}}{36}\)
(b) \(\dfrac{3}{7} = \dfrac{15}{?}\) — Le numérateur est multiplié par \(5\) (car \(3 \times 5 = 15\)). On fait de même au dénominateur :
\(\dfrac{3}{7} = \dfrac{3 \times 5}{7 \times 5} = \dfrac{15}{\mathbf{35}}\)
(c) \(\dfrac{4}{9} = \dfrac{?}{27}\) — Le dénominateur est multiplié par \(3\) (car \(9 \times 3 = 27\)). On fait de même au numérateur :
\(\dfrac{4}{9} = \dfrac{4 \times 3}{9 \times 3} = \dfrac{\mathbf{12}}{27}\)
(d) \(\dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{?}\) — Le numérateur est divisé par \(2\) (car \(8 \div 2 = 4\)). On fait de même au dénominateur :
\(\dfrac{8}{6} = \dfrac{8 \div 2}{6 \div 2} = \dfrac{4}{\mathbf{3}}\)
2) Addition et soustraction de fractions
📋 Méthode
Pour additionner (ou soustraire) deux fractions :
1 Trouver un dénominateur commun (le plus petit multiple commun des deux dénominateurs) 2 Convertir chaque fraction au dénominateur commun en multipliant numérateur ET dénominateur par le même nombre 3 Additionner ou soustraire uniquement les numérateurs — le dénominateur reste inchangé4 Simplifier la fraction obtenue si possible
\(\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a+b}{c} \qquad \text{et} \qquad \dfrac{a}{c} - \dfrac{b}{c} = \dfrac{a-b}{c}\)
⚠️ Erreur classique
On n'additionne jamais les dénominateurs entre eux.
✗ \(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} \neq \dfrac{2}{7}\)
✏️ Exemples — Addition et soustraction
Calculer les expressions suivantes et simplifier le résultat :
(A) \(A = \dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{5}\)
▶ Voir la correction
Les deux fractions ont déjà le même dénominateur (\(5\)) : on additionne directement les numérateurs.
\(A = \dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{3+1}{5} = \dfrac{4}{5}\)
\(4\) et \(5\) n'ont pas de diviseur commun autre que \(1\) : la fraction est simplifiée au maximum .
\(A = \dfrac{4}{5}\)
(B) \(B = \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{3}\)
▶ Voir la correction
Les dénominateurs sont \(4\) et \(3\). Le plus petit multiple commun est \(12\).
\(\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{9}{12} \qquad \text{et} \qquad \dfrac{1}{3} = \dfrac{1 \times 4}{3 \times 4} = \dfrac{4}{12}\)
\(B = \dfrac{9}{12} - \dfrac{4}{12} = \dfrac{9-4}{12} = \dfrac{5}{12}\)
\(5\) et \(12\) n'ont pas de diviseur commun autre que \(1\) : simplifiée au maximum .
\(B = \dfrac{5}{12}\)
(C) \(C = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6}\)
▶ Voir la correction
Le plus petit multiple commun de \(4\), \(3\) et \(6\) est \(12\).
\(\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12} \qquad \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{12} \qquad \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{12}\)
\(C = \dfrac{3}{12} + \dfrac{4}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{9}{12}\)
On simplifie : \(9\) et \(12\) sont tous les deux divisibles par \(3\) :
\(C = \dfrac{9 \div 3}{12 \div 3} = \dfrac{3}{4}\)
\(C = \dfrac{3}{4}\)
🧩 Exercice 1
Calculer les expressions suivantes. Donner le résultat sous forme de fraction simplifiée au maximum.
(a) \(\dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{4}\)
(b) \(\dfrac{7}{9} - \dfrac{1}{3}\)
(c) \(1 - \dfrac{5}{8}\)
(d) \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}\)
▶ Voir la correction
(a) Dénominateur commun de \(6\) et \(4\) : c'est \(12\).
\(\dfrac{5}{6} = \dfrac{10}{12} \qquad \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12} \qquad \Rightarrow \quad \dfrac{10}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{13}{12}\)
\(13\) est un nombre premier : la fraction est déjà simplifiée au maximum.
(b) \(9\) est multiple de \(3\), donc le dénominateur commun est \(9\).
\(\dfrac{7}{9} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{9} - \dfrac{3}{9} = \dfrac{4}{9}\)
(c) On écrit \(1 = \dfrac{8}{8}\) :
\(1 - \dfrac{5}{8} = \dfrac{8}{8} - \dfrac{5}{8} = \dfrac{3}{8}\)
(d) Dénominateur commun de \(2\), \(3\), \(4\) : c'est \(12\).
\(\dfrac{6}{12} + \dfrac{4}{12} - \dfrac{3}{12} = \dfrac{7}{12}\)
3) Multiplication et division de fractions
📗 Propriété — Multiplication
Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
\(\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}\)
📗 Propriété — Division
Diviser par \(\dfrac{c}{d}\), c'est multiplier par l'inverse \(\dfrac{d}{c}\).
\(\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c} = \dfrac{a \times d}{b \times c}\)
✏️ Exemples — Multiplication et division
(A) \(A = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{9}{4}\)
▶ Voir la correction
On multiplie les numérateurs et les dénominateurs :
\(A = \dfrac{2 \times 9}{3 \times 4} = \dfrac{18}{12}\)
On simplifie : \(18\) et \(12\) sont tous deux divisibles par \(6\).
\(A = \dfrac{18 \div 6}{12 \div 6} = \dfrac{3}{2}\)
💡 On peut aussi simplifier avant de multiplier en repérant les facteurs communs : \(\dfrac{2}{3} \times \dfrac{9}{4} = \dfrac{\cancel{2}^{\,1}}{\cancel{3}^{\,1}} \times \dfrac{\cancel{9}^{\,3}}{\cancel{4}^{\,2}} = \dfrac{3}{2}\). C'est plus rapide !
\(A = \dfrac{3}{2}\)
(B) \(B = \dfrac{5}{6} \div \dfrac{10}{3}\)
▶ Voir la correction
On transforme la division en multiplication par l'inverse :
\(B = \dfrac{5}{6} \div \dfrac{10}{3} = \dfrac{5}{6} \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{5 \times 3}{6 \times 10} = \dfrac{15}{60}\)
On simplifie : \(15\) et \(60\) sont tous deux divisibles par \(15\).
\(B = \dfrac{15 \div 15}{60 \div 15} = \dfrac{1}{4}\)
\(B = \dfrac{1}{4}\)
🧩 Exercice 2
Calculer. Donner le résultat sous forme de fraction simplifiée au maximum.
(a) \(\dfrac{4}{5} \times \dfrac{15}{8}\)
(b) \(\dfrac{7}{3} \times \dfrac{9}{14}\)
(c) \(\dfrac{3}{4} \div \dfrac{9}{8}\)
(d) \(\dfrac{5}{6} \div \dfrac{5}{3}\)
▶ Voir la correction
(a) \(\dfrac{4}{5} \times \dfrac{15}{8} = \dfrac{4 \times 15}{5 \times 8} = \dfrac{60}{40}\). Divisible par \(20\) :
\(\dfrac{60}{40} = \dfrac{60 \div 20}{40 \div 20} = \dfrac{3}{2}\)
(b) \(\dfrac{7}{3} \times \dfrac{9}{14} = \dfrac{7 \times 9}{3 \times 14} = \dfrac{63}{42}\). Divisible par \(21\) :
\(\dfrac{63}{42} = \dfrac{63 \div 21}{42 \div 21} = \dfrac{3}{2}\)
(c) \(\dfrac{3}{4} \div \dfrac{9}{8} = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{8}{9} = \dfrac{3 \times 8}{4 \times 9} = \dfrac{24}{36}\). Divisible par \(12\) :
\(\dfrac{24}{36} = \dfrac{24 \div 12}{36 \div 12} = \dfrac{2}{3}\)
(d) \(\dfrac{5}{6} \div \dfrac{5}{3} = \dfrac{5}{6} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{5 \times 3}{6 \times 5} = \dfrac{15}{30}\). Divisible par \(15\) :
\(\dfrac{15}{30} = \dfrac{15 \div 15}{30 \div 15} = \dfrac{1}{2}\)
II. Puissances entières
1) Définition
📘 Définition
Soit \(a\) un nombre réel et \(n\) un entier positif. La puissance \(n\)-ième de \(a\) est le produit de \(n\) facteurs égaux à \(a\) :
\(a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ fois}}\)
Par convention : \(a^1 = a\) et \(a^0 = 1\) (pour \(a \neq 0\)).
Pour un exposant négatif (\(a \neq 0\)) : \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\)
⚠️ Piège — Signe et parenthèses
Attention à la différence entre \((-3)^2\) et \(-3^2\) :
\((-3)^2 = (-3) \times (-3) = +9\) mais \(-3^2 = -(3 \times 3) = -9\)
Sans parenthèses, l'exposant ne s'applique qu'à \(3\), pas au signe moins.
2) Règles de calcul
📗 Propriétés — Règles de calcul avec les puissances
\(a \neq 0\), \(m\) et \(n\) entiers relatifs
\(a^m \times a^n = a^{m+n}\)
\(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)
\((a^m)^n = a^{m \times n}\)
\((a \times b)^n = a^n \times b^n \qquad \text{et} \qquad \left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}\)
✏️ Exemples — Règles de calcul
Simplifier les expressions suivantes sous la forme d'une puissance :
(A) \(2^3 \times 2^4\)
▶ Voir la correction
Même base \(2\) : on additionne les exposants.
\(2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7\)
\(2^3 \times 2^4 = 2^7\)
(B) \(\dfrac{3^5}{3^2}\)
▶ Voir la correction
Même base \(3\) : on soustrait les exposants.
\(\dfrac{3^5}{3^2} = 3^{5-2} = 3^3\)
\(\dfrac{3^5}{3^2} = 3^3\)
(C) \((5^2)^3\)
▶ Voir la correction
Une puissance de puissance : on multiplie les exposants.
\((5^2)^3 = 5^{2 \times 3} = 5^6\)
\((5^2)^3 = 5^6\)
(D) \(2^{-3}\)
▶ Voir la correction
Un exposant négatif signifie qu'on prend l'inverse :
\(2^{-3} = \dfrac{1}{2^3}\)
\(2^{-3} = \dfrac{1}{2^3}\)
🧩 Exercice 3
Simplifier chaque expression sous la forme d'une puissance (ou d'une fraction de puissances).
(a) \(5^3 \times 5^2\)
(b) \(\dfrac{4^6}{4^4}\)
(c) \((3^2)^4\)
(d) \(7^{-2}\)
(e) \(2^5 \times 2^{-3}\)
(f) \(\dfrac{10^7}{10^3}\)
▶ Voir la correction
(a) Même base, on additionne les exposants :
\(5^3 \times 5^2 = 5^{3+2} = 5^5\)
(b) Même base, on soustrait les exposants :
\(\dfrac{4^6}{4^4} = 4^{6-4} = 4^2\)
(c) Puissance de puissance, on multiplie :
\((3^2)^4 = 3^{2 \times 4} = 3^8\)
(d) Exposant négatif = inverse :
\(7^{-2} = \dfrac{1}{7^2}\)
(e) Même base, on additionne les exposants :
\(2^5 \times 2^{-3} = 2^{5+(-3)} = 2^2\)
(f) Même base, on soustrait :
\(\dfrac{10^7}{10^3} = 10^{7-3} = 10^4\)
III. Priorités opératoires
📋 Règle des priorités
Lorsqu'un calcul contient plusieurs opérations, on respecte impérativement cet ordre :
1 Parenthèses — on calcule d'abord ce qui est à l'intérieur, en commençant par les plus intérieures2 Puissances et racines 3 Multiplications et divisions — de gauche à droite4 Additions et soustractions — de gauche à droite
✏️ Exemples — Priorités opératoires
(A) \(A = 3 + 4 \times 2 - 1\)
▶ Voir la correction
Étape 1 — Multiplication en priorité :
\(A = 3 + \underbrace{4 \times 2}_{= \ 8} - 1 = 3 + 8 - 1\)
Étape 2 — Additions et soustractions de gauche à droite :
\(A = 3 + 8 - 1 = 11 - 1 = 10\)
\(A = 10\)
(B) \(B = (3 + 2)^2 - 3 \times 4\)
▶ Voir la correction
Étape 1 — Parenthèse :
\(B = (5)^2 - 3 \times 4\)
Étape 2 — Puissance :
\(B = 25 - 3 \times 4\)
Étape 3 — Multiplication :
\(B = 25 - 12 = 13\)
\(B = 13\)
(C) \(C = \dfrac{3^2 \times 2}{6 - 2 \times 3}\)
▶ Voir la correction
La barre de fraction agit comme des parenthèses : on calcule numérateur et dénominateur séparément.
Numérateur : \(3^2 \times 2 = 9 \times 2 = 18\)
Dénominateur : \(6 - 2 \times 3 = 6 - 6 = 0\)
⚠️ Le dénominateur vaut \(0\) : cette expression est indéfinie . On ne peut pas diviser par zéro.
🧩 Exercice 4
Calculer en respectant les priorités opératoires. Détailler chaque étape.
(a) \(2 + 3 \times 5 - 4\)
(b) \((7 - 2)^2 \times 3\)
(c) \(4^2 - 2 \times (3 + 1)\)
(d) \(2 + 3^2 \times \dfrac{1}{3} - 1\)
▶ Voir la correction
(a)
\(2 + 3 \times 5 - 4 = 2 + 15 - 4 = 13\)
(b)
\((7-2)^2 \times 3 = 5^2 \times 3 = 25 \times 3 = 75\)
(c)
\(4^2 - 2 \times (3+1) = 16 - 2 \times 4 = 16 - 8 = 8\)
(d) Puissance d'abord, puis multiplication :
\(2 + 3^2 \times \dfrac{1}{3} - 1 = 2 + 9 \times \dfrac{1}{3} - 1 = 2 + 3 - 1 = 4\)
IV. Racines carrées
1) La valeur absolue — un outil indispensable
📘 Définition — Valeur absolue
La valeur absolue d'un nombre \(a\), notée \(|a|\), est la distance entre \(a\) et \(0\) sur la droite des réels. Elle est toujours positive ou nulle .
\(|a| = \begin{cases} a & \text{si } a \geq 0 \\ -a & \text{si } a < 0 \end{cases}\)
En pratique : on enlève le signe moins si le nombre est négatif.
Exemples : \(|5| = 5\) ; \(|-3| = 3\) ; \(|0| = 0\) ; \(|-7{,}2| = 7{,}2\)
📎 Remarque
La notation \(|a|\) ne doit pas être confondue avec les parenthèses. Ce sont bien deux barres verticales.
La valeur absolue est toujours positive ou nulle : \(|a| \geq 0\) pour tout réel \(a\).
2) Définition de la racine carrée
📘 Définition
Pour tout réel \(a \geq 0\), la racine carrée de \(a\) , notée \(\sqrt{a}\), est l'unique réel positif ou nul dont le carré vaut \(a\).
\(\sqrt{a} \geq 0 \qquad \text{et} \qquad \left(\sqrt{a}\right)^2 = a\)
La racine carrée d'un nombre strictement négatif n'existe pas dans \(\mathbb{R}\).
3) Propriétés de calcul
📗 Propriétés
\(a \geq 0\) et \(b \geq 0\)
\(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\)
\(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \qquad (b \neq 0)\)
\(\sqrt{a^2} = |a| \qquad \text{(pour tout réel } a\text{, positif ou négatif)}\)
💡 Pourquoi \(\sqrt{a^2} = |a|\) et non \(a\) ?
⚠️ Erreur classique — À ne jamais faire
✗ Faux
\(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{9} + \sqrt{16}\)
On obtiendrait \(3 + 4 = 7\)
✓ Correct
\(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
On calcule d'abord la somme
La propriété \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\) vaut pour un produit , jamais pour une somme.
✏️ Exemples — Calculs avec les racines carrées
(A) Simplifier \(\sqrt{75}\)
▶ Voir la correction
On cherche un facteur carré parfait dans \(75\) :
\(75 = 25 \times 3\)
On applique \(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\) :
\(\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3}\)
\(\sqrt{75} = 5\sqrt{3}\)
(B) Calculer \(\sqrt{(-5)^2}\)
▶ Voir la correction
On applique la règle \(\sqrt{a^2} = |a|\). Ici \(a = -5\) :
\(\sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5\)
Le résultat est \(5\) et non \(-5\), car la racine carrée est toujours positive .
\(\sqrt{(-5)^2} = 5\)
(C) Encadrer \(\sqrt{3}\) à \(10^{-1}\) près, sans calculatrice
▶ Voir la correction
On cherche deux entiers consécutifs dont le carré encadre \(3\) : \(1^2 = 1 < 3 < 4 = 2^2\), donc \(1 < \sqrt{3} < 2\).
On affine avec des dixièmes. On calcule \(1{,}7^2\) et \(1{,}8^2\) :
\(1{,}7^2 = 2{,}89 \quad < \quad 3 \quad < \quad 3{,}24 = 1{,}8^2\)
Comme la racine carrée est croissante :
\(1{,}7 < \sqrt{3} < 1{,}8\)
✓ Conclusion
Un encadrement de \(\sqrt{3}\) à \(10^{-1}\) près est : \(1{,}7 \leq \sqrt{3} \leq 1{,}8\).
🧩 Exercice 5
Simplifier ou calculer. Justifier chaque étape.
(a) \(\sqrt{48}\)
(b) \(\sqrt{3} \times \sqrt{12}\)
(c) \(\sqrt{(-8)^2}\)
(d) \(|-7|\)
(e) \(|3 - 7|\)
▶ Voir la correction
(a) \(48 = 16 \times 3\) :
\(\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{16} \times \sqrt{3} = 4\sqrt{3}\)
(b)
\(\sqrt{3} \times \sqrt{12} = \sqrt{3 \times 12} = \sqrt{36} = 6\)
(c) On applique \(\sqrt{a^2} = |a|\) :
\(\sqrt{(-8)^2} = |-8| = 8\)
(d) \(-7\) est négatif, donc on enlève le signe moins :
\(|-7| = 7\)
(e) On calcule d'abord la soustraction : \(3 - 7 = -4\), qui est négatif :
\(|3 - 7| = |-4| = 4\)
V. Décomposition en facteurs premiers & Simplification de fractions
1) Nombres premiers et décomposition
📘 Définition — Nombre premier
Un entier supérieur ou égal à \(2\) est premier s'il admet exactement deux diviseurs : \(1\) et lui-même.
Les premiers nombres premiers : \(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47\ldots\)
📋 Méthode — Tableau de décomposition
On divise successivement par les nombres premiers en commençant par \(2\), puis \(3\), \(5\), \(7\)… On s'arrête quand le quotient atteint \(1\).
On dresse un tableau à deux colonnes séparées par une barre verticale : à gauche les quotients successifs, à droite les diviseurs premiers utilisés.
✏️ Exemple — Décomposer 360
▶ Voir la correction
On divise successivement par les nombres premiers :
On regroupe les facteurs identiques en utilisant les puissances :
\(360 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^3 \times 3^2 \times 5\)
Vérification : \(8 \times 9 \times 5 = 72 \times 5 = 360\) ✓
\(360 = 2^3 \times 3^2 \times 5\)
2) Simplification de fractions par décomposition
📋 Méthode
1 Décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers (tableau avec barre verticale) 2 Identifier les facteurs premiers communs aux deux décompositions 3 Diviser numérateur et dénominateur par le produit de ces facteurs communs 4 Vérifier que la fraction obtenue ne peut plus être simplifiée
✏️ Exemple — Simplifier \(\dfrac{84}{126}\)
▶ Voir la correction
Étape 1 — Décomposer 84 :
donc \(84 = 2^2 \times 3 \times 7\)
Étape 2 — Décomposer 126 :
donc \(126 = 2 \times 3^2 \times 7\)
Étape 3 — Identifier les facteurs communs :
\(84 = \mathbf{2} \times 2 \times \mathbf{3} \times \mathbf{7} \qquad 126 = \mathbf{2} \times \mathbf{3} \times 3 \times \mathbf{7}\)
Facteurs communs : \(2\), \(3\) et \(7\), soit un produit \(2 \times 3 \times 7 = 42\).
Étape 4 — Simplifier :
\(\dfrac{84}{126} = \dfrac{84 \div 42}{126 \div 42} = \dfrac{2}{3}\)
\(2\) et \(3\) n'ont pas de facteur commun autre que \(1\) : fraction irréductible .
\(\dfrac{84}{126} = \dfrac{2}{3}\)
🧩 Exercice 6
Pour chaque fraction, dresser le tableau de décomposition en facteurs premiers du numérateur et du dénominateur, puis simplifier au maximum.
(a) \(\dfrac{60}{90}\)
(b) \(\dfrac{180}{252}\)
(c) \(\dfrac{56}{84}\)
▶ Voir la correction
(a) \(\dfrac{60}{90}\)
Décomposition de 60
\(60 = 2^2 \times 3 \times 5\)
Décomposition de 90
\(90 = 2 \times 3^2 \times 5\)
Facteurs communs : \(2 \times 3 \times 5 = 30\) → \(\dfrac{60}{90} = \dfrac{60 \div 30}{90 \div 30} = \dfrac{2}{3}\)
(b) \(\dfrac{180}{252}\)
Décomposition de 180
\(180 = 2^2 \times 3^2 \times 5\)
Décomposition de 252
\(252 = 2^2 \times 3^2 \times 7\)
Facteurs communs : \(2^2 \times 3^2 = 36\) → \(\dfrac{180}{252} = \dfrac{180 \div 36}{252 \div 36} = \dfrac{5}{7}\)
(c) \(\dfrac{56}{84}\)
Décomposition de 56
\(56 = 2^3 \times 7\)
Décomposition de 84
\(84 = 2^2 \times 3 \times 7\)
Facteurs communs : \(2^2 \times 7 = 28\) → \(\dfrac{56}{84} = \dfrac{56 \div 28}{84 \div 28} = \dfrac{2}{3}\)