Les Ensembles de nombres

Notations · Appartenance · Inclusions · Tableau de classement

2nde 5 exercices Chapitre 1 · Calcul numérique

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Comment utiliser cette feuille ?

Tu peux faire tous les exercices sur ton cahier et utiliser le bouton Voir la correction pour vérifier tes réponses — exactement comme une feuille papier.
Certains exercices proposent aussi un mode interactif (saisie ou cases à cocher à l'écran) si tu préfères travailler directement sur ton téléphone ou ton ordinateur.
👉 Dans tous les cas, commence toujours par réfléchir avant de regarder la correction !

📖 Rappels du cours

Les ensembles et leurs symboles
\(\mathbb{N}\) : entiers naturels \((0, 1, 2, 3\ldots)\)
\(\mathbb{Z}\) : entiers relatifs \((\ldots{-2}, {-1}, 0, 1, 2\ldots)\)
\(\mathbb{D}\) : décimaux (fractions de puissances de 10)
\(\mathbb{Q}\) : rationnels (toutes les fractions \(\tfrac{a}{b}\))
\(\mathbb{R}\) : réels (tous les nombres de la droite)

Appartenance et inclusion
On écrit \(x \in E\) : \(x\) appartient à \(E\) (x est un nombre).
On écrit \(A \subset B\) : \(A\) est inclus dans \(B\) (tout élément de \(A\) est aussi dans \(B\)).
Ex : \(3 \in \mathbb{N}\) et \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\)

La grande inclusion
\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\)
Chaque ensemble est contenu dans le suivant. Tout entier naturel est aussi un entier relatif, un décimal, un rationnel et un réel.

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Partie 1 – Appartenance et notations

Exercice 1 / 5

Relier · appartenance

✓ Vu

Relie chaque nombre à l'ensemble le plus petit auquel il appartient.
✏️ Sur le cahier : écris directement la réponse à côté de chaque nombre. 💻 En interactif : utilise les boutons ci-dessous pour choisir ton mode.

Faire l'exercice :

Écris tes réponses directement sur ton cahier.

a) \(-4 \in\)

b) \(0{,}5 \in\)

c) \(7 \in\)

d) \(\dfrac{1}{3} \in\)

e) \(\sqrt{2} \in\)

f) \(-\dfrac{6}{2} \in\)

Fais glisser chaque nombre vers l'ensemble correspondant.

Nombres (à glisser)

a) \(-4\)

b) \(0{,}5\)

c) \(7\)

d) \(\dfrac{1}{3}\)

e) \(\sqrt{2}\)

f) \(-\dfrac{6}{2}\)

Ensembles

\(\mathbb{N}\) – entiers naturels

\(\mathbb{Z}\) – entiers relatifs

\(\mathbb{D}\) – décimaux

\(\mathbb{Q}\) – rationnels

\(\mathbb{R}\) – réels

💡 Indices

Pose-toi ces questions dans l'ordre : est-ce un entier positif ou nul → \(\mathbb{N}\) ; un entier négatif → \(\mathbb{Z}\) ; une écriture décimale finie (ou fraction d'une puissance de 10) → \(\mathbb{D}\) ; une fraction → \(\mathbb{Q}\) ; sinon → \(\mathbb{R}\).

Calcule d'abord : \(-\dfrac{6}{2} = -3\). C'est un entier relatif ! L'ensemble le plus petit est donc \(\mathbb{Z}\).

a) \(-4\) est un entier négatif, donc \(-4 \in \mathbb{Z}\).

b) \(0{,}5 = \dfrac{5}{10}\) est un décimal, donc \(0{,}5 \in \mathbb{D}\).

c) \(7\) est un entier naturel, donc \(7 \in \mathbb{N}\).

d) \(\dfrac{1}{3}\) ne s'écrit pas comme décimal fini, donc \(\dfrac{1}{3} \in \mathbb{Q}\).

e) \(\sqrt{2}\) n'est pas une fraction, donc \(\sqrt{2} \in \mathbb{R}\).

f) \(-\dfrac{6}{2} = -3\) est un entier relatif, donc \(-3 \in \mathbb{Z}\).

🔑 À retenir : on choisit toujours l'ensemble le plus petit (le plus précis). Un entier négatif appartient à \(\mathbb{Z}\) — même s'il appartient aussi à \(\mathbb{Q}\) et à \(\mathbb{R}\).

Exercice 2 / 5

Écrire un ensemble · accolades

✓ Vu

Écris chaque ensemble en listant ses éléments entre accolades.
Rappel : on sépare les éléments par des points-virgules. Ex : \(\{1 ; 2 ; 3\}\)

a) L'ensemble des entiers naturels de 3 à 7 : \(E_1 = \{\ \)\(\ \}\)

b) L'ensemble des entiers relatifs compris entre \(-2\) et \(2\) : \(E_2 = \{\ \)\(\ \}\)

c) L'ensemble des multiples de 3 entre 0 et 15 : \(E_3 = \{\ \)\(\ \}\)

d) L'ensemble des diviseurs de 12 : \(E_4 = \{\ \)\(\ \}\)

💡 Indices

Un diviseur de 12 est un entier qui divise 12 sans reste. Essaie 1, 2, 3, 4… : est-ce que \(12 \div 4\) tombe juste ? Et \(12 \div 5\) ?

a) \(E_1 = \{3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7\}\)

b) \(E_2 = \{-2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2\}\)

c) \(E_3 = \{0 ; 3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15\}\)

d) \(E_4 = \{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12\}\) — car \(12 = 1 \times 12 = 2 \times 6 = 3 \times 4\).

🔑 À retenir : dans un ensemble, l'ordre n'a pas d'importance et chaque élément n'apparaît qu'une seule fois.

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Partie 2 – Inclusions entre ensembles

Exercice 3 / 5

Inclusions · \(\subset\) et \(\in\)

✓ Vu

Complète chaque affirmation avec le symbole qui convient : \(\in\) (appartient à) ou \(\subset\) (est inclus dans).

a) \(\mathbb{N}\ \) \(\ \mathbb{Z}\)

b) \(\mathbb{Z}\ \) \(\ \mathbb{Q}\)

c) \(\mathbb{Q}\ \) \(\ \mathbb{R}\)

d) \(5\ \) \(\ \mathbb{N}\)

e) \(-7\ \) \(\ \mathbb{Z}\)

f) \(\dfrac{2}{7}\ \) \(\ \mathbb{Q}\)

💡 Indices

Si ce qui est à gauche est un nombre (comme 5 ou −7) : utilise \(\in\). Si ce qui est à gauche est un ensemble (comme \(\mathbb{N}\) ou \(\mathbb{Z}\)) : utilise \(\subset\).

a) \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\) — \(\mathbb{N}\) est un ensemble inclus dans \(\mathbb{Z}\).

b) \(\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}\) — tout entier relatif est un rationnel.

c) \(\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\) — tout rationnel est un réel.

d) \(5 \in \mathbb{N}\) — 5 est un nombre ; il appartient à \(\mathbb{N}\).

e) \(-7 \in \mathbb{Z}\) — \(-7\) est un entier relatif négatif.

f) \(\dfrac{2}{7} \in \mathbb{Q}\) — \(\dfrac{2}{7}\) est une fraction.

La grande chaîne d'inclusions :

\(\mathbb{N}\) ⊂ \(\mathbb{Z}\) ⊂ \(\mathbb{D}\) ⊂ \(\mathbb{Q}\) ⊂ \(\mathbb{R}\)

🔑 Astuce : \(\mathbb{N}\) est le plus petit (le plus précis) et \(\mathbb{R}\) est le plus grand (il contient tous les autres).

Exercice 4 / 5

Ensembles · inclusions

✓ Vu

Question a) – Écrire les ensembles

Écris en extension les ensembles suivants (liste les éléments entre accolades).

1. \(A\) = l'ensemble des entiers naturels pairs de 0 à 10 : \(A = \{\ \)\(\ \}\)

2. \(B\) = l'ensemble des entiers naturels pairs de 0 à 6 : \(B = \{\ \)\(\ \}\)

3. \(C\) = l'ensemble des diviseurs de 6 : \(C = \{\ \)\(\ \}\)

Question b) – Relations d'inclusion

En observant les ensembles \(A\), \(B\) et \(C\) que tu viens d'écrire, réponds aux questions suivantes.

1. Est-ce que \(B \subset A\) ? Justifie sur ton cahier.

2. Est-ce que \(A \subset B\) ?

3. Est-ce que \(C \subset A\) ?

4. Est-ce que \(B \subset C\) ?

💡 Indices

Pour que \(B \subset A\), il faut que chaque élément de \(B\) soit aussi dans \(A\). Compare les listes élément par élément.

Un diviseur de 6 est un entier qui divise 6 sans reste : \(6 \div 1 = 6\), \(6 \div 2 = 3\), \(6 \div 3 = 2\), \(6 \div 6 = 1\). Et \(6 \div 4\) ? Pas entier, donc 4 n'est pas un diviseur.

Question a)

1. \(A = \{0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10\}\)

2. \(B = \{0 ; 2 ; 4 ; 6\}\)

3. \(C = \{1 ; 2 ; 3 ; 6\}\) — car \(6 = 1 \times 6 = 2 \times 3\).

Question b)

1. Oui, \(B \subset A\) — tous les éléments de \(B\) (\(0, 2, 4, 6\)) sont bien dans \(A\).

2. Non, \(A \not\subset B\) — \(8 \in A\) mais \(8 \notin B\). Un seul élément manquant suffit à dire non !

3. Non, \(C \not\subset A\) — \(1 \in C\) mais \(1 \notin A\) (1 n'est pas pair).

4. Non, \(B \not\subset C\) — \(4 \in B\) mais \(4 \notin C\) (4 ne divise pas 6).

🔑 À retenir : pour montrer que \(E \subset F\) est faux, il suffit de trouver un seul élément de \(E\) qui n'est pas dans \(F\).

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Partie 3 – Classement dans un tableau

Exercice 5 / 5

Tableau · appartenance multiple

✓ Vu

Coche ✓ tous les ensembles auxquels chaque nombre appartient. Clique sur les cases pour cocher/décocher, puis vérifie tes réponses.
Rappel : si un nombre appartient à \(\mathbb{N}\), il appartient aussi à \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{D}\), \(\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{R}\) (car \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\)).

Nombre	\(\mathbb{N}\)	\(\mathbb{Z}\)	\(\mathbb{D}\)	\(\mathbb{Q}\)	\(\mathbb{R}\)

💡 Indices

Trouve d'abord l'ensemble le plus petit auquel le nombre appartient. Ensuite, coche automatiquement tous les ensembles qui viennent après dans la chaîne \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\).

Simplifie d'abord : \(-\dfrac{9}{3} = -3\). C'est un entier ! L'ensemble le plus petit est \(\mathbb{Z}\).

\(0{,}25 = \dfrac{25}{100} = \dfrac{1}{4}\). L'écriture décimale est finie (2 chiffres après la virgule), donc oui : \(0{,}25 \in \mathbb{D}\).

Nombre	\(\mathbb{N}\)	\(\mathbb{Z}\)	\(\mathbb{D}\)	\(\mathbb{Q}\)	\(\mathbb{R}\)
\(6\)	✓	✓	✓	✓	✓
\(-3\)	—	✓	✓	✓	✓
\(0{,}25\)	—	—	✓	✓	✓
\(\dfrac{3}{4}\)	—	—	—	✓	✓
\(\sqrt{5}\)	—	—	—	—	✓
\(-\dfrac{9}{3} = -3\)	—	✓	✓	✓	✓

\(6\) : entier naturel → appartient à tous les ensembles.

\(-3\) : entier négatif → à partir de \(\mathbb{Z}\).

\(0{,}25\) : décimal fini → à partir de \(\mathbb{D}\).

\(\tfrac{3}{4}\) : fraction non décimale → à partir de \(\mathbb{Q}\).

\(\sqrt{5}\) : irrationnel → uniquement dans \(\mathbb{R}\).

\(-\tfrac{9}{3} = -3\) : entier négatif → à partir de \(\mathbb{Z}\).

🔑 À retenir : dès qu'on connaît l'ensemble le plus petit, on coche automatiquement tous ceux qui sont à sa droite dans \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\).