Intersections et unions d'intervalles

Comprendre · Visualiser · Calculer · Appliquer

2nde 6 exercices Chapitre 1 · Calcul numérique
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Tu peux faire tous les exercices sur ton cahier et utiliser le bouton Voir la correction pour vérifier tes réponses — exactement comme une feuille papier.
Certains exercices proposent aussi un mode interactif (menus déroulants, saisie de notation) si tu préfères travailler directement sur ton téléphone ou ton ordinateur.
👉 Dans tous les cas, commence toujours par réfléchir avant de regarder la correction !
📖 Rappels du cours
Intersection \(A \cap B\)
\(A \cap B\) est l'ensemble des réels qui appartiennent à la fois à \(A\) et à \(B\).
Sur le schéma : c'est la partie commune aux deux intervalles.
Si aucun point commun : \(A \cap B = \emptyset\)
Union \(A \cup B\)
\(A \cup B\) est l'ensemble des réels qui appartiennent à \(A\) ou à \(B\) (ou aux deux).
Sur le schéma : c'est la réunion de toutes les parties colorées.
L'union est toujours plus grande que chaque intervalle.
Méthode : lire sur le schéma
Trace \(A\) et \(B\) sur deux droites superposées.
Intersection : garde seulement ce qui est coloré partout.
Union : garde tout ce qui est coloré quelque part.
Attention aux crochets aux extrémités !
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Partie 1 – Comprendre avec les schémas

Exercice 1 / 5

Lire un schéma · \(\cap\) et \(\cup\)
✓ Vu
Les droites ci-dessous représentent deux intervalles \(A\) (en bleu) et \(B\) (en orange).
Pour chaque question, observe le schéma et écris la notation de l'intersection et de l'union.
💡 Indices
Regarde les deux droites superposées. L'intersection correspond à la partie où les deux intervalles se chevauchent — c'est-à-dire où les deux couleurs sont présentes en même temps. Pour les bornes, prends le maximum de la borne gauche et le minimum de la borne droite.
L'union c'est tout ce qui est coloré dans l'un ou l'autre des intervalles. Prends la borne gauche la plus à gauche, et la borne droite la plus à droite. Si les deux intervalles ne se touchent pas et ne se chevauchent pas, l'union s'écrit avec le symbole \(\cup\) entre deux intervalles séparés.
Si une borne est incluse dans l'un et exclue dans l'autre : pour l'intersection, elle est exclue (les deux conditions doivent être remplies simultanément). Pour l'union, elle est incluse (il suffit qu'une condition soit remplie).
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Partie 2 – Calculer sans schéma

Exercice 2 / 5

Calculer \(\cap\) et \(\cup\) · saisie libre
✓ Vu
Calcule, sans schéma, l'intersection et l'union de chaque paire d'intervalles.
Écris ta réponse sous forme d'intervalle. Si l'intersection est vide, écris \(\emptyset\).
💡 Indices
Borne gauche de l'intersection = maximum des bornes gauches. Borne droite = minimum des bornes droites. Si la borne gauche résultante est plus grande que la borne droite, l'intersection est \(\emptyset\). Pour les crochets : prends le plus restrictif (ouvert gagne sur fermé).
Borne gauche de l'union = minimum des bornes gauches. Borne droite = maximum des bornes droites. Pour les crochets : prends le moins restrictif (fermé gagne sur ouvert). Attention : cela ne fonctionne que si les intervalles se chevauchent ou se touchent !
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Partie 3 – Pièges et cas particuliers

Exercice 3 / 5

Vrai ou Faux · pièges classiques
✓ Vu
Dis si chaque affirmation est Vraie ou Fausse. Justifie sur ton cahier.
💡 Indices
Si la borne droite de l'intervalle de gauche est strictement inférieure à la borne gauche de l'autre, les deux intervalles sont disjoints : leur intersection est \(\emptyset\). Si elles sont égales mais toutes les deux ouvertes en ce point, c'est aussi \(\emptyset\).
Si \(A \subset B\), alors tout élément de \(A\) est aussi dans \(B\). Donc \(A \cap B = A\) (la partie commune, c'est exactement \(A\)) et \(A \cup B = B\) (l'union, c'est tout \(B\)).
a)Faux. \([-1;2] \cap [2;5] = \{2\}\). Les deux intervalles ont exactement le point \(2\) en commun (les deux crochets en 2 sont fermés), donc l'intersection n'est pas vide.
b)Vrai. \(]-1;2[ \cap ]2;5[ = \emptyset\). Ici les crochets en 2 sont ouverts des deux côtés, donc 2 n'appartient à aucun des deux intervalles. Il n'y a aucun point commun.
c)Vrai. \([0;3] \subset [0;5]\) car tout \(x \in [0;3]\) vérifie \(0 \leq x \leq 3 \leq 5\), donc \(x \in [0;5]\). Par conséquent \([0;3] \cap [0;5] = [0;3]\).
d)Faux. \([-\infty\,;\,1] \cup [1\,;\,+\infty[ = \mathbb{R}\). On couvre tous les réels \(\leq 1\) puis tous les réels \(\geq 1\) : ensemble, ils forment \(\mathbb{R}\) tout entier.
e)Faux. \([1;3] \cup [5;7] \neq [1;7]\). Les deux intervalles sont disjoints (4 par exemple n'appartient à aucun des deux). L'union s'écrit \([1;3] \cup [5;7]\) et ne peut pas se simplifier en un seul intervalle.
f)Vrai. \(A \cup B\) contient toujours \(A\) (et \(B\)) car on ajoute des éléments. Donc tout élément de \(A\) est dans \(A \cup B\), ce qui signifie \(A \subset A \cup B\).
🔑 Deux pièges fréquents : une intersection peut être réduite à un seul point (pas forcément un intervalle), et une union de deux intervalles disjoints ne peut pas se simplifier en un seul intervalle.
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Partie 4 – Écrire des unions et intersections

Exercice 4 / 6

Écrire des unions · \(\cup\) et \(\cap\)
✓ Vu
Traduis chaque condition en une union ou une intersection d'intervalles.
Rappel : « et » → \(\cap\) (intersection) · « ou » → \(\cup\) (union).
💡 Indices
Si on a « \(x < a\) ou \(x > b\) », ce sont deux conditions séparées. On écrit chacune comme un intervalle puis on les réunit avec le symbole \(\cup\). Exemple : \(x < -1\) ou \(x > 3\) → \(x \in ]\!-\!\infty\,;\,-1[ \cup ]3\,;\,+\infty[\).
Si on a « \(x \geq a\) et \(x \leq b\) », les deux conditions doivent être vraies en même temps. C'est l'intersection des deux intervalles correspondants, qui se simplifie généralement en un seul intervalle \([a\,;\,b]\).
Non ! Si les deux intervalles ne se touchent pas, l'union reste écrite avec le symbole \(\cup\) entre les deux. On ne peut jamais « relier » deux intervalles disjoints en un seul.
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Partie 5 – Petits problèmes

Exercice 5 / 6

Problème · vitesse autorisée
✓ Vu
Sur une route, la vitesse \(v\) (en km/h) doit être au moins 50 et au plus 90.
En ville, une limitation supplémentaire impose \(v \leq 70\).
Un radar contrôle les véhicules : il déclenche une alerte si \(v > 90\) ou si \(v < 50\).
a) Exprime en intervalle la contrainte de la route (\(A\)) et la contrainte de la ville (\(B\)).
\(A =\)  et  \(B =\)
b) Calcule \(A \cap B\). Que représente-t-il concrètement ?
\(A \cap B =\)
c) Un véhicule roule à 75 km/h. Est-il en infraction sur la route ? En ville ?
d) Exprime en intervalle l'ensemble des vitesses qui déclenchent le radar.
💡 Indices
« Au moins 50 » signifie \(v \geq 50\) (borne incluse → crochet fermé). « Au plus 90 » signifie \(v \leq 90\) (borne incluse → crochet fermé). L'intervalle est donc \([50\,;\,90]\).
« \(v > 90\) ou \(v < 50\) » correspond à une union de deux intervalles : \(]\!-\!\infty\,;\,50[\) et \(]90\,;\,+\infty[\).
a)\(A = [50\,;\,90]\) (vitesse entre 50 et 90 inclus) et \(B = [50\,;\,70]\) (contrainte ville : entre 50 et 70 inclus).
b)\(A \cap B = [50\,;\,70]\). C'est la zone de vitesse autorisée à la fois sur la route et en ville — autrement dit la vitesse légale en ville.
c)75 km/h : \(50 \leq 75 \leq 90\) donc \(75 \in A\) — pas en infraction sur la route. Mais \(75 > 70\) donc \(75 \notin B\) — en infraction en ville.
d)Le radar déclenche si \(v > 90\) ou \(v < 50\), soit \(v \in ]\!-\!\infty\,;\,50[ \cup ]90\,;\,+\infty[\).
🔑 À retenir : « et » → intersection \(\cap\) ; « ou » → union \(\cup\).

Exercice 6 / 6

Problème · système de conditions ⚠️ Difficile
✓ Vu
Sur une route, la vitesse \(v\) (en km/h) doit être au moins 50 et au plus 90.
En ville, une limitation supplémentaire impose \(v \leq 70\).
Un radar contrôle les véhicules : il déclenche une alerte si \(v > 90\) ou si \(v < 50\).
a) Exprime en intervalle la contrainte de la route (\(A\)) et la contrainte de la ville (\(B\)).
\(A =\)  et  \(B =\)
b) Calcule \(A \cap B\). Que représente-t-il concrètement ?
\(A \cap B =\)
c) Un véhicule roule à 75 km/h. Est-il en infraction sur la route ? En ville ?
d) Exprime en intervalle l'ensemble des vitesses qui déclenchent le radar.
💡 Indices
« Au moins 50 » signifie \(v \geq 50\) (borne incluse → crochet fermé). « Au plus 90 » signifie \(v \leq 90\) (borne incluse → crochet fermé). L'intervalle est donc \([50\,;\,90]\).
« \(v > 90\) ou \(v < 50\) » correspond à une union de deux intervalles : \(]\!-\!\infty\,;\,50[\) et \(]90\,;\,+\infty[\).
a)\(A = [50\,;\,90]\) (vitesse entre 50 et 90 inclus) et \(B = [50\,;\,70]\) (contrainte ville : entre 50 et 70 inclus).
b)\(A \cap B = [50\,;\,70]\). C'est la zone de vitesse autorisée à la fois sur la route et en ville — autrement dit la vitesse légale en ville.
c)75 km/h : \(50 \leq 75 \leq 90\) donc \(75 \in A\) — pas en infraction sur la route. Mais \(75 > 70\) donc \(75 \notin B\) — en infraction en ville.
d)Le radar déclenche si \(v > 90\) ou \(v < 50\), soit \(v \in ]\!-\!\infty\,;\,50[ \cup ]90\,;\,+\infty[\).
🔑 À retenir : « et » → intersection \(\cap\) ; « ou » → union \(\cup\).

Exercice 6 / 6

Problème · système de conditions ⚠️ Difficile
✓ Vu
Une serre agricole est équipée de deux systèmes de régulation de température :
— Le système chauffage se déclenche quand \(T < 15\) °C.
— Le système ventilation se déclenche quand \(T > 28\) °C.
La température idéale pour les plantes est \(15 \leq T \leq 28\) °C.
Une alarme se déclenche si aucun des deux systèmes ne suffit, c'est-à-dire si \(T < 5\) ou \(T > 40\).
a) Nomme \(C\) l'ensemble des températures qui déclenchent le chauffage, et \(V\) celles qui déclenchent la ventilation. Écris-les sous forme d'intervalles.
\(C =\)  et  \(V =\)
b) Calcule \(C \cup V\). Que représente cet ensemble ? Que représente son complémentaire (les températures qui ne déclenchent ni le chauffage ni la ventilation) ?
\(C \cup V =\)
c) Calcule \(C \cap V\). Ce résultat est-il logique ? Explique.
\(C \cap V =\)
d) Notons \(A = ]\!-\!\infty\,;\,5[\) et \(B = ]40\,;\,+\infty[\) les zones d'alarme. Calcule \(A \cup B\), puis vérifie que \(A \cup B \subset C\).
\(A \cup B =\)
💡 Indices
\(C \cup V\) c'est l'ensemble des températures qui déclenchent au moins un des deux systèmes. Son complémentaire (dans \(\mathbb{R}\)) est l'ensemble des températures où aucun système ne se déclenche — c'est la zone idéale pour les plantes.
\(C\) contient les températures \(< 15\) et \(V\) les températures \(> 28\). Ces deux ensembles sont disjoints (aucun réel ne peut être à la fois \(< 15\) et \(> 28\)). Donc \(C \cap V = \emptyset\).
Il faut montrer que tout élément de \(A \cup B\) est aussi dans \(C = ]\!-\!\infty\,;\,15[\). Si \(T < 5\), alors \(T < 15\) donc \(T \in C\). Et si \(T > 40\)... attends, est-ce que \(T > 40\) implique \(T \in C\) ? Réfléchis bien !
a)\(C = ]\!-\!\infty\,;\,15[\) (températures strictement inférieures à 15) et \(V = ]28\,;\,+\infty[\) (strictement supérieures à 28).
b) \(C \cup V = ]\!-\!\infty\,;\,15[ \cup ]28\,;\,+\infty[\).
C'est l'ensemble des températures qui activent au moins un système de régulation.
Le complémentaire est \([15\,;\,28]\) : la zone idéale où aucun système ne se déclenche.
c) \(C \cap V = \emptyset\). C'est logique : une température ne peut pas être à la fois \(< 15\) et \(> 28\). Les deux systèmes ne se déclenchent donc jamais en même temps.
d) \(A \cup B = ]\!-\!\infty\,;\,5[ \cup ]40\,;\,+\infty[\).
Vérification : \(A \subset C\) car si \(T < 5\) alors \(T < 15\), donc \(T \in C\) ✓.
Mais \(B \not\subset C\) : si \(T > 40\), alors \(T > 28 > 15\), donc \(T \notin C\) mais \(T \in V\).
En revanche, \(A \cup B \subset C \cup V\) : toute température d'alarme active bien un système.
🔑 Conclusion : quand deux intervalles sont disjoints, leur intersection est \(\emptyset\) et leur union garde les deux intervalles séparés. L'union d'un intervalle \(]\!-\!\infty\,;\,a[\) et d'un \(]b\,;\,+\infty[\) avec \(a < b\) ne se simplifie pas.
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