Tu peux faire tous les exercices sur ton cahier et utiliser le bouton Voir la correction pour vérifier tes réponses — exactement comme une feuille papier.
Certains exercices proposent aussi un mode interactif (menus déroulants) si tu préfères travailler directement sur ton téléphone ou ton ordinateur. 👉 Dans tous les cas, commence toujours par réfléchir avant de regarder la correction !
📖 Rappels du cours
« Pour tout … »
La propriété est vraie pour chaque objet de l'ensemble, sans exception.
Pour la prouver : raisonnement général.
Pour la réfuter : un seul contre-exemple suffit.
« Il existe … »
On peut trouver au moins un objet vérifiant la propriété.
Pour la prouver : donner un exemple concret.
Pour la réfuter : montrer qu'aucun objet ne convient.
Nier une phrase logique
— « Pour tout … » → « Il existe … qui ne vérifie pas »
— « Il existe … » → « Pour tout …, la propriété est fausse »
La négation d'une phrase vraie est toujours fausse, et vice-versa.
Corrections vues :
0 / 5
🎉
Bravo !
⭐⭐⭐
💬
Partie 1 – La logique dans la vie de tous les jours
Exercice 1 / 5
Phrases du quotidien · trier « Pour tout » et « Il existe »
✓ Vu
Voici des phrases de la vie courante. Pour chacune, indique si elle est de type « Pour tout » ou « Il existe », puis dis si elle est vraie ou fausse. ✏️ Sur le cahier : écris ton analyse. 💻 En interactif : utilise les menus déroulants.
💡 Indices
Même sans les mots « pour tout » ou « il existe », le sens de la phrase suffit. Demande-toi : est-ce que la phrase parle de tous les membres d'un groupe (→ Pour tout), ou bien affirme-t-elle qu'on peut en trouver au moins un qui vérifie quelque chose (→ Il existe) ?
Pour réfuter une phrase de type « Pour tout », il suffit de trouver un seul contre-exemple. Par exemple, pour montrer que « tous les chats sont noirs » est faux, il suffit de montrer un chat blanc.
🔢
Partie 2 – Applications mathématiques
Exercice 2 / 4
Identifier · Prouver · Réfuter
✓ Vu
Pour chaque phrase, indique si elle est vraie ou fausse, puis justifie :
— phrase vraie : explique pourquoi (raisonnement ou exemple pour un « il existe »).
— phrase fausse : donne un contre-exemple précis.
a)Pour tout entier naturel \(n\), \(n^2\) est un entier naturel.
b)Pour tout réel \(x\), \(x^2 \geq 0\).
c)Pour tout réel \(x\), \(\sqrt{x}\) est défini.
d)Il existe un entier relatif \(n\) tel que \(n^2 = 4\).
e)Il existe un réel \(x\) tel que \(x^2 = -1\).
f)Pour tout réel \(x\), si \(x > 0\) alors \(\dfrac{1}{x} > 0\).
💡 Indices
\(\sqrt{x}\) n'est défini (dans \(\mathbb{R}\)) que pour \(x \geq 0\). Si \(x < 0\), la racine carrée n'existe pas. Essaie \(x = -1\) comme contre-exemple.
D'après b), \(x^2 \geq 0\) pour tout réel \(x\). Donc \(x^2\) ne peut jamais valoir \(-1\). Il n'existe aucun réel \(x\) tel que \(x^2 = -1\).
a)Vraie. Si \(n \in \mathbb{N}\), alors \(n^2 = n \times n\) est le produit de deux entiers naturels, donc \(n^2 \in \mathbb{N}\).
b)Vraie. Pour tout réel \(x\) : si \(x > 0\), \(x^2 > 0\) ; si \(x < 0\), \(x^2 > 0\) ; si \(x = 0\), \(x^2 = 0\). Dans tous les cas \(x^2 \geq 0\).
c)Fausse. Contre-exemple : \(x = -1\). On ne peut pas calculer \(\sqrt{-1}\) dans \(\mathbb{R}\). La racine carrée n'est définie que pour \(x \geq 0\).
d)Vraie. Exemple concret : \(n = 2\) (ou \(n = -2\)), \(2^2 = 4\). Un seul exemple suffit pour prouver un « Il existe ».
e)Fausse. D'après b), \(x^2 \geq 0\) pour tout réel \(x\), donc \(x^2\) ne peut jamais valoir \(-1\).
f)Vraie. Si \(x > 0\), alors \(\dfrac{1}{x}\) est le quotient d'un positif par un positif, donc \(\dfrac{1}{x} > 0\).
🔑 Pour réfuter un « Pour tout » : un seul contre-exemple précis suffit. Pour prouver un « Il existe » : un seul exemple concret suffit.
Exercice 4 / 5
Négation · inverser le quantificateur
✓ Vu
Écris la négation de chaque phrase mathématique, puis indique si la négation est vraie ou fausse.
a)Pour tout entier \(n\), \(n + 1 > n\).
Négation :
b)Il existe un réel \(x\) tel que \(x + 1 = 0\).
Négation :
c)Pour tout réel \(x\), \(x^2 \geq x\).
Négation :
d)Il existe un entier naturel \(n\) tel que \(n^2 = 3\).
Négation :
💡 Indices
La négation de « Pour tout \(x\), P(\(x\)) » est « Il existe \(x\) tel que P(\(x\)) est fausse ».
La négation de « Il existe \(x\) tel que P(\(x\)) » est « Pour tout \(x\), P(\(x\)) est fausse ».
Il faut aussi nier la propriété : la négation de \(a > b\) est \(a \leq b\), celle de \(a = b\) est \(a \neq b\).
La négation de \(x^2 \geq x\) est \(x^2 < x\). Donc la négation de la phrase c) est : « Il existe un réel \(x\) tel que \(x^2 < x\) ». Et cette négation est vraie — essaie \(x = 0{,}5\).
a)
Phrase vraie : « Pour tout entier \(n\), \(n + 1 > n\) ».
Négation : « Il existe un entier \(n\) tel que \(n + 1 \leq n\) » — fausse (ajouter 1 augmente toujours).
b)
Phrase vraie : « Il existe un réel \(x\) tel que \(x + 1 = 0\) » (par exemple \(x = -1\)).
Négation : « Pour tout réel \(x\), \(x + 1 \neq 0\) » — fausse (car \(x = -1\) est un contre-exemple).
c)
Phrase fausse : contre-exemple \(x = 0{,}5\), car \(0{,}25 < 0{,}5\).
Négation : « Il existe un réel \(x\) tel que \(x^2 < x\) » — vraie (exemple : \(x = 0{,}5\)).
d)
Phrase fausse : \(\sqrt{3}\) n'est pas un entier naturel.
Négation : « Pour tout entier naturel \(n\), \(n^2 \neq 3\) » — vraie.
🔑 Une phrase et sa négation ont toujours des valeurs de vérité opposées : si la phrase est vraie, sa négation est fausse, et vice-versa.
📝
Partie 3 – Mise en situation
Exercice 5 / 5
Problème · logique en contexte⚠️ Difficile
✓ Vu
Un professeur dit à sa classe : « Pour tout élève de cette classe, si l'élève travaille régulièrement, alors il réussit le contrôle. »
Trois élèves réagissent :
— Léa a travaillé régulièrement et a réussi le contrôle.
— Tom n'a pas travaillé régulièrement mais a quand même réussi le contrôle.
— Nina a travaillé régulièrement mais n'a pas réussi le contrôle.
a) La phrase du professeur est-elle de type « Pour tout » ou « Il existe » ?
b) Le cas de Léa confirme-t-il la phrase du professeur ? Explique.
c) Le cas de Tom contredit-il la phrase du professeur ? Explique pourquoi.
d) Le cas de Nina suffit-il à montrer que la phrase est fausse ? Explique.
e) Écris la négation de la phrase du professeur.
💡 Indices
La phrase dit « si travaille régulièrement → réussit ». Un contre-exemple est un élève qui travaille régulièrement (condition remplie) mais qui ne réussit pas (conclusion fausse). Regarde les cas de Tom et Nina à cette lumière.
La phrase ne dit pas « seuls ceux qui travaillent réussissent ». Elle dit que travailler régulièrement suffit pour réussir. Tom n'a pas travaillé régulièrement : la phrase ne fait aucune prédiction sur son cas — elle ne s'applique pas à lui.
a)C'est une phrase de type « Pour tout » : elle s'applique à chaque élève de la classe.
b)Le cas de Léa est compatible avec la phrase, mais il ne la prouve pas. Un seul exemple ne suffit jamais à valider un « Pour tout » : il faudrait vérifier pour chaque élève de la classe.
c)Non, le cas de Tom ne contredit pas la phrase. La phrase ne parle que des élèves qui travaillent régulièrement. Tom n'a pas travaillé : la condition n'est pas remplie, la phrase ne s'applique pas à lui.
d)Oui. Nina a travaillé régulièrement (condition remplie) et n'a pas réussi (conclusion fausse). C'est exactement un contre-exemple : un seul suffit à réfuter un « Pour tout ». La phrase du professeur est donc fausse pour cette classe.
e)Négation : « Il existe un élève de cette classe qui travaille régulièrement et qui ne réussit pas le contrôle. » — Cette négation est vraie, car Nina en est un exemple concret.
🔑 Piège classique : « Si A alors B » n'est réfuté que par « A est vrai et B est faux ». Tom réussit sans travailler : cela ne contredit pas la promesse du professeur, car sa promesse ne porte que sur ceux qui travaillent.