En mathématiques, les nombres ne sont pas tous de la même nature : certains servent à compter, d'autres à mesurer des températures négatives, d'autres encore ne peuvent même pas s'écrire comme une fraction. Pour s'y retrouver, on les classe dans des ensembles — comme des tiroirs emboîtés, chaque tiroir contenant le précédent.
Ce sont tout simplement les nombres qu'on utilise pour compter des objets : le nombre d'élèves dans une classe, le nombre de pages d'un livre, etc. Ils sont tous positifs ou nuls, sans virgule.
On ajoute au tiroir ℕ tous les entiers négatifs : \(-1, -2, -3, \ldots\) Pense à une droite graduée avec le zéro au milieu : ℤ contient tous les traits de cette droite — les positifs à droite, les négatifs à gauche.
Un nombre décimal est un nombre dont le développement décimal se termine : il n'y a qu'un nombre fini de chiffres après la virgule. On peut toujours l'écrire comme une fraction avec \(10\), \(100\), \(1000\), etc. au dénominateur.
Un rationnel est un nombre qu'on peut toujours écrire sous la forme \(\dfrac{p}{q}\) où \(p\) et \(q\) sont des entiers et \(q \neq 0\). Le mot « rationnel » vient de « ratio » qui signifie rapport (ou fraction).
Le développement décimal d'un rationnel est soit fini (comme \(0{,}25\)), soit infini mais périodique — c'est-à-dire qu'il finit par se répéter :
Un nombre réel est irrationnel s'il est impossible de l'écrire sous la forme \(\dfrac{p}{q}\) avec \(p\) et \(q\) entiers. Son développement décimal est infini et non périodique : il ne se répète jamais, il n'a aucun schéma régulier.
\(\sqrt{n}\) est rationnel uniquement si \(n\) est un carré parfait (c'est-à-dire \(0, 1, 4, 9, 16, 25, 36\ldots\)).
Dans tous les autres cas, \(\sqrt{n}\) est irrationnel.
L'ensemble ℝ est le plus grand des cinq. Il contient tous les rationnels (fractions, entiers, décimaux) et aussi tous les irrationnels (\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\pi\), \(e\)…). En fait, tout point qu'on peut placer sur une droite graduée correspond à un nombre réel.
Maintenant que tu sais ce que sont les irrationnels, la définition de ℝ est claire : les réels, ce sont les rationnels plus les irrationnels. Il n'existe pas de nombre réel qui ne soit ni l'un ni l'autre.
Maintenant que tu connais chacun des cinq ensembles, voici comment ils s'emboîtent. Chaque ellipse est entièrement contenue dans la suivante.
Chaque label est écrit dans la couronne de son ensemble (entre son ellipse et l'ellipse intérieure). Les exemples dans les zones entre deux ellipses appartiennent à l'ensemble extérieur mais pas à l'intérieur — par exemple, 1/3 est dans ℚ mais pas dans 𝔻.
\(\sqrt{n}\) est rationnel uniquement si \(n\) est un carré parfait (c'est-à-dire \(0, 1, 4, 9, 16, 25, 36\ldots\)).
Dans tous les autres cas, \(\sqrt{n}\) est irrationnel.
L'ensemble ℝ est le plus grand des cinq. Il contient tous les rationnels (fractions, entiers, décimaux) et aussi tous les irrationnels (\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\pi\), \(e\)…). En fait, tout point qu'on peut placer sur une droite graduée correspond à un nombre réel.
Maintenant que tu sais ce que sont les irrationnels, la définition de ℝ est claire : les réels, ce sont les rationnels plus les irrationnels. Il n'existe pas de nombre réel qui ne soit ni l'un ni l'autre.
Maintenant que tu connais chacun des cinq ensembles, voici comment ils s'emboîtent. Chaque ellipse est entièrement contenue dans la suivante.
Les exemples placés entre deux ellipses appartiennent à l'ensemble extérieur mais pas à l'intérieur — par exemple, 1/3 est dans ℚ mais pas dans 𝔻.
Ce que cette formule dit concrètement : tout entier naturel est un entier relatif, tout entier relatif est un décimal, tout décimal est un rationnel, tout rationnel est un réel.
On écrit \(x \in E\) pour dire que le nombre \(x\) appartient à l'ensemble \(E\), c'est-à-dire qu'il est un élément de \(E\).
On écrit \(x \notin E\) pour dire que \(x\) n'appartient pas à \(E\).
Pense à \(\in\) comme une flèche qui dit « est dans » : \(-3 \in \mathbb{Z}\) se lit « \(-3\) est dans ℤ ».
\(-3 \in \mathbb{Z}\)
\(\sqrt{2} \in \mathbb{R}\)
\(0 \in \mathbb{N}\)
\(\dfrac{1}{3} \in \mathbb{Q}\)
\(-3 \notin \mathbb{N}\)
\(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\)
\(\dfrac{1}{3} \notin \mathbb{D}\)
\(\pi \notin \mathbb{Q}\)
On écrit \(A \subset B\) pour dire que l'ensemble \(A\) est inclus dans l'ensemble \(B\), ce qui signifie que tout élément de \(A\) est aussi un élément de \(B\).
Exemple : \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\) signifie que tout entier naturel est aussi un entier relatif. C'est vrai : \(5 \in \mathbb{N}\) et \(5 \in \mathbb{Z}\).
Ces deux symboles ne jouent pas le même rôle :
Pour chaque nombre, on indique à quels ensembles il appartient. Les nombres sont présentés dans l'ordre : d'abord les entiers naturels, puis les relatifs, puis les décimaux, puis les rationnels, puis les irrationnels.
| Nombre | ℕ | ℤ | 𝔻 | ℚ | ℝ | Pourquoi ? |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(3\) entier naturel | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | Entier positif → dans tous les ensembles |
| \(0\) zéro | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | \(0 \in \mathbb{N}\) par convention |
| \(-5\) entier relatif négatif | ✗ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | Entier négatif → pas dans ℕ |
| \(0{,}25\) décimal positif | ✗ | ✗ | ✓ | ✓ | ✓ | \(0{,}25 = \frac{25}{100}\), décimal fini |
| \(-\dfrac{7}{5}\) décimal négatif | ✗ | ✗ | ✓ | ✓ | ✓ | \(-\frac{7}{5} = -1{,}4\), décimal fini négatif |
| \(\dfrac{1}{3}\) rationnel non décimal | ✗ | ✗ | ✗ | ✓ | ✓ | \(0{,}333\ldots\) infini périodique — pas dans 𝔻 |
| \(\sqrt{2}\) irrationnel | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | ✓ | \(1{,}41421\ldots\) infini non périodique |
| \(\pi\) irrationnel | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | ✓ | \(3{,}14159\ldots\) infini non périodique |
(a) \(\sqrt{16} \in \mathbb{N}\) ? Justifie.
(b) \(-\dfrac{3}{2} \in \mathbb{N}\) ? \(\in \mathbb{Z}\) ? \(\in \mathbb{D}\) ?
(c) Donne un nombre appartenant à \(\mathbb{R}\) mais pas à \(\mathbb{Q}\).
(d) Donne un nombre appartenant à \(\mathbb{Q}\) mais pas à \(\mathbb{D}\).
(e) Vrai ou Faux : \(\sqrt{2} \in \mathbb{Q}\) ? Justifie ta réponse.
(a) \(5\) appartient à l'ensemble des entiers naturels.
(b) \(-2\) n'appartient pas à l'ensemble des entiers naturels.
(c) L'ensemble des entiers relatifs est inclus dans l'ensemble des rationnels.
(d) \(\pi\) n'est pas un rationnel.
(e) \(\sqrt{4}\) est un entier naturel.
-3, 1/4, √5 ou π), choisis un ensemble, et clique sur "Tester". L'outil t'explique pourquoi.1. \(\sqrt{4} \in \mathbb{N}\) — Vrai ou Faux ?
2. \(\mathbb{Q} \subset \mathbb{Z}\) — Vrai ou Faux ?
3. \(-\dfrac{3}{2} \in \mathbb{D}\) — Vrai ou Faux ?
4. \(\pi \in \mathbb{Q}\) — Vrai ou Faux ?
5. \(\mathbb{N} \subset \mathbb{R}\) — Vrai ou Faux ?
6. \(0 \in \mathbb{N}\) — Vrai ou Faux ?
Cette section répond aux vraies questions qu'on n'ose pas toujours poser en classe. Si tu te retrouves bloqué sur une idée, lis d'abord ici.
En pratique, si. Dans la vie quotidienne, on travaille presque toujours dans ℝ et on n'a pas besoin de distinguer. Mais en mathématiques, classer les nombres permet de savoir ce qu'on peut faire avec eux. Par exemple, dans ℕ, la soustraction ne marche pas toujours (\(3 - 5\) n'est pas dans ℕ). Dans ℤ, la division n'est pas toujours possible (\(3 \div 4\) n'est pas dans ℤ). Connaître l'ensemble dans lequel on travaille permet de savoir à l'avance quelles opérations resteront "à l'intérieur" de cet ensemble.
\(1{,}41\) est une approximation de \(\sqrt{2}\), mais ce n'est pas \(\sqrt{2}\) lui-même. \(\sqrt{2}\) c'est le nombre exact dont le carré vaut \(2\) — et ce nombre-là ne peut pas s'écrire comme fraction d'entiers, quoi qu'on fasse. Les mathématiciens grecs ont démontré cela il y a plus de 2 500 ans : si on suppose que \(\sqrt{2} = \frac{p}{q}\) avec \(p\) et \(q\) entiers, on aboutit à une contradiction. Donc c'est impossible.
En pratique dans les exercices, \(\sqrt{2}\) reste écrit \(\sqrt{2}\) — on ne le remplace jamais par un décimal, sauf quand on veut une valeur approchée.
Tu n'as pas besoin de tout mémoriser. Voici la règle pratique : écris \(\frac{1}{3}\) sous forme décimale. Tu obtiens \(0{,}333\ldots\) — ça ne s'arrête pas. Donc ce n'est pas dans 𝔻.
Plus généralement, une fraction \(\frac{p}{q}\) (irréductible) est dans 𝔻 si et seulement si les seuls facteurs premiers du dénominateur sont 2 et/ou 5. C'est parce que notre système décimal est en base 10, et \(10 = 2 imes 5\). Exemple : \(\frac{3}{8} = \frac{3}{2^3}\) → décimal (\(0{,}375\)) ; \(\frac{1}{3}\) → dénominateur \(3\), facteur premier différent de \(2\) et \(5\) → pas décimal.
Non. \(\frac{22}{7} \approx 3{,}142857\ldots\) est une approximation de \(\pi\), mais \(\pi = 3{,}14159265\ldots\) Ces deux nombres ne sont pas égaux : ils diffèrent à partir de la troisième décimale. \(\pi\) est irrationnel, donc il ne peut jamais s'écrire exactement comme une fraction d'entiers. \(\frac{22}{7}\) est juste la fraction simple la plus connue qui s'en approche.
Voici une façon de ne plus jamais les confondre :
Test rapide : si ce qui est à gauche du symbole est un nombre → \(\in\). Si c'est un ensemble (comme ℕ, ℤ…) → \(\subset\).
Oui ! Il existe des nombres complexes (notés ℂ), qui permettent notamment de calculer \(\sqrt{-1}\). Tu les verras en Terminale. Les nombres complexes contiennent tous les réels, et plus encore. Mais en Seconde, on travaille exclusivement dans ℝ.
Les ensembles de nombres n'ont pas tous été inventés en même temps. Leur découverte s'est étalée sur des millénaires, et chaque étape a représenté une révolution dans la façon de penser les mathématiques.
Les premiers humains comptaient déjà : des encoches sur des os témoignent du comptage dès la préhistoire. Dénombrer des animaux, des jours, des objets — c'est le tout premier besoin mathématique de l'humanité.
Les Égyptiens et les Babyloniens avaient besoin de partager des terres, des récoltes, des marchandises. Ils ont inventé les fractions. Les Babyloniens utilisaient même une forme de nombres décimaux en base 60 (d'où nos 60 secondes et 60 minutes).
Les Pythagoriciens croyaient que tout dans l'univers pouvait s'exprimer par des fractions entières. Un de leurs élèves, Hippase de Métaponte, démontra que \(\sqrt{2}\) ne peut pas s'écrire comme fraction. Ce fut un choc philosophique. La légende dit qu'il fut jeté à la mer pour avoir révélé ce secret…
Les mathématiciens indiens (Brahmagupta, VIIe siècle) et arabes acceptèrent les nombres négatifs pour représenter des dettes. Les Européens ont mis bien plus longtemps à les accepter — encore au XVIe siècle, certains mathématiciens les appelaient "nombres absurdes".
Ce n'est qu'au XIXe siècle que les mathématiciens (Cauchy, Weierstrass, Dedekind, Cantor) ont formalisé rigoureusement l'ensemble ℝ. Avant cela, tout le monde les utilisait intuitivement sans les avoir vraiment définis. Cantor a même montré qu'il existe "autant" de rationnels que d'entiers (infinité dénombrable), mais "infiniment plus" de réels — une idée vertigineuse.
Tout ce que tu dois savoir sur ce chapitre, résumé en une page.
\(\{0, 1, 2, 3, \ldots\}\)
Pour compter. Toujours ≥ 0. Toujours entier.
✓ 0, 5, 1000 ✗ −3, 2,5
\(\{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}\)
Tous les entiers, positifs et négatifs.
✓ −7, 0, 4 ✗ 1,5, π
Développement décimal fini.
S'écrit \(\dfrac{p}{10^n}\).
✓ 0,25 ; −1,5 ✗ 1/3
S'écrit \(\dfrac{p}{q}\), \(p,q\) entiers.
Développement fini ou périodique.
✓ 1/3 ; −7/5 ✗ √2, π
Tous les points de la droite graduée.
= Rationnels + Irrationnels
✓ Tout nombre qu'on peut placer sur une droite
Irrationnels : ni entier, ni fraction.
Développement décimal infini, non périodique.
Ex : √2, √3, π, √5, e…
\(3 \in \mathbb{N}\) — "3 appartient à ℕ"
Relie un nombre à un ensemble
\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\) — "ℕ est inclus dans ℤ"
Relie deux ensembles l'un à l'autre
Mnémotechnique : Nos Zèbres Dansent Quand il faut Rire.