Un intervalle est un sous-ensemble de \(\mathbb{R}\) formé de tous les réels compris entre deux bornes \(a\) et \(b\). Les crochets indiquent si les bornes sont incluses ou non.
La météo annonce : « Les températures seront comprises entre \(-3\,°C\) et \(12\,°C\). » Ce n'est pas 2 valeurs isolées, c'est une plage continue. L'intervalle \([-3\,;\,12]\) représente exactement cet ensemble.
La vitesse autorisée sur une autoroute est « entre \(0\) et \(130\) km/h inclus ». En maths : \([0\,;\,130]\). Rouler à \(65{,}7\) ou à \(130\) : dans l'intervalle. Rouler à \(131\) : en dehors.
On ne peut pas lister les réels d'un intervalle car ils sont en nombre infini : entre \(1\) et \(2\) se trouvent \(1{,}5\), \(\sqrt{2}\), \(1{,}001\)… et infiniment d'autres. L'intervalle est la notation compacte qui les désigne tous.
Déplace les poignées ▲ pour choisir ton intervalle. Coche si une borne est incluse ou exclue. L'écriture mathématique se met à jour en direct.
Pour chaque droite graduée ci-dessous, écris l'intervalle correspondant :
(a)
(b)
(c)
(a) Points pleins en \(1\) et \(4\) → les deux bornes sont incluses : \([1\,;\,4]\)
(b) Rond vide en \(1\) (exclu), point plein en \(3\) (inclus) → \(]1\,;\,3]\)
(c) Flèche vers \(-\infty\) + rond vide en \(1\) (exclu) → \(]-\infty\,;\,1[\)
Pour chaque intervalle, identifie les points pleins (●), les points vides (○), et de quel côté la droite est colorée :
(a) \([-3\,;\,2]\) (b) \(]0\,;\,5[\) (c) \([1\,;\,+\infty[\) (d) \(]-\infty\,;\,-1]\)
(a) Points pleins ● en \(-3\) et en \(2\) — segment coloré entre les deux.
(b) Ronds vides ○ en \(0\) et \(5\) — segment coloré entre les deux (bornes exclues).
(c) Point plein ● en \(1\) — flèche colorée vers \(+\infty\) à droite.
(d) Point plein ● en \(-1\) — flèche colorée vers \(-\infty\) à gauche.
L'ensemble \(\mathbb{R}\) est représenté par une droite infinie. Tout réel correspond à un point unique. Un intervalle, c'est un segment coloré sur cette droite.
\(\sqrt{2}\) et \(\pi\) sont des réels irrationnels : ils ont une place précise sur la droite, mais on ne peut pas les écrire comme fractions. Ils font bien partie de \(\mathbb{R}\), et donc d'intervalles qui les contiennent, comme \([1\,;\,2]\) pour \(\sqrt{2}\) ou \([3\,;\,4]\) pour \(\pi\).
Sur une droite graduée :
L'intervalle \([a\,;\,b]\) est l'ensemble des réels \(x\) tels que \(a \leq x \leq b\). Les deux bornes sont incluses.
Points pleins ● en \(1\) et \(4\) : les deux bornes appartiennent à l'intervalle.
L'intervalle \(]a\,;\,b[\) est l'ensemble des réels \(x\) tels que \(a < x < b\). Les deux bornes sont exclues.
Points vides ○ en \(1\) et \(4\) : les bornes n'appartiennent pas à l'intervalle.
\(a\) inclus ● | \(b\) exclu ○
\(a \leq x < b\)
\(a\) exclu ○ | \(b\) inclus ●
\(a < x \leq b\)
L'infini n'est jamais inclus : on écrit toujours \(]-\infty\,;\,...[\) et \(]...\,;\,+\infty[\) avec des crochets ouverts vers l'extérieur du côté de l'infini.
Tous les \(x \leq b\)
Tous les \(x \geq a\)
Crochet tourné vers l'intérieur \([\) ou \(]\) → borne incluse (\(\leq\) ou \(\geq\)).
Crochet tourné vers l'extérieur \(]\) ou \([\) → borne exclue (\(<\) ou \(>\)).
| Notation | Inégalité | Schéma | Type |
|---|---|---|---|
| \([a\,;\,b]\) | \(a \leq x \leq b\) | Fermé | |
| \(]a\,;\,b[\) | \(a < x < b\) | Ouvert | |
| \([a\,;\,b[\) | \(a \leq x < b\) | Semi-ouvert | |
| \(]a\,;\,b]\) | \(a < x \leq b\) | Semi-ouvert | |
| \(]-\infty\,;\,b]\) | \(x \leq b\) | Infini gauche | |
| \(]-\infty\,;\,b[\) | \(x < b\) | Infini gauche | |
| \([a\,;\,+\infty[\) | \(x \geq a\) | Infini droit | |
| \(]a\,;\,+\infty[\) | \(x > a\) | Infini droit | |
| \(]-\infty\,;\,+\infty[\) | tout \(x \in \mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}\) entier |
(a) \(x \in [-2\,;\,5]\) (b) \(x > 3\) (c) \(x \in ]0\,;\,7[\) (d) \(-5 \leq x < 1\)
(a) \(x \in [-2\,;\,5]\) → \(-2 \leq x \leq 5\)
(b) \(x > 3\) → \(x \in ]3\,;\,+\infty[\)
(c) \(x \in ]0\,;\,7[\) → \(0 < x < 7\)
(d) \(-5 \leq x < 1\) → \(x \in [-5\,;\,1[\)
Voici les pièges les plus courants. Compare les colonnes :
\([-\infty\,;\,5]\)
\(]-\infty\,;\,5]\) — l'infini est toujours exclu
\([5\,;\,+\infty]\)
\([5\,;\,+\infty[\) — l'infini n'est jamais inclus
\([5\,;\,2]\) — borne gauche > borne droite
\([2\,;\,5]\) — on écrit toujours le plus petit à gauche
\((3\,;\,7)\) — notation parenthèses
\(]3\,;\,7[\) — en France on utilise les crochets
\(3 \in ]3\,;\,8[\)
\(3 \notin ]3\,;\,8[\) — la borne exclue n'appartient pas à l'intervalle
\(A \cap B\) est l'ensemble des réels qui appartiennent à la fois à \(A\) et à \(B\). C'est la zone où les deux intervalles se chevauchent.
Sur le schéma, chaque ligne représente un intervalle. La zone violette est la partie commune :
Sur le schéma, \(A\) va de \(1\) à \(5\) et \(B\) va de \(3\) à \(7\). La partie commune (en violet) part de \(3\) et va jusqu'à \(5\).
En \(3\) : borne de \(B\), incluse \([\). En \(5\) : borne de \(A\), incluse \(]\).
\(A \cup B\) est l'ensemble des réels qui appartiennent à \(A\) ou à \(B\) (ou aux deux à la fois).
Les deux intervalles se chevauchent (ils partagent \([3\,;\,5]\)). On les fusionne : on prend tout depuis le début de \(A\) jusqu'à la fin de \(B\).
La réunion commence en \(1\) (borne de \(A\), incluse) et finit en \(7\) (borne de \(B\), incluse).
Intersection \(A \cap B\) :
La zone commune commence là où \(B\) démarre : en \(1\) (inclus). Elle finit là où \(A\) s'arrête : en \(5\) (inclus).
Réunion \(A \cup B\) :
Les deux intervalles se chevauchent. On prend tout depuis le début de \(A\) (\(-2\), inclus) jusqu'à la fin de \(B\) (\(8\), exclu).
Entre les bornes de \(A\) et \(B\). La droite graduée se met à jour en direct !
Le symbole \(\in\) se lit « appartient à ». On écrit \(x \in [a\,;\,b]\) si et seulement si \(a \leq x \leq b\).
Le symbole \(\notin\) se lit « n'appartient pas à ».
(a) \(4 \in [4\,;\,10]\) (b) \(0 \in ]-3\,;\,0[\) (c) \(-1 \in ]-\infty\,;\,0[\) (d) \(7 \in [7\,;\,+\infty[\) (e) \(\sqrt{2} \in ]1\,;\,2[\)
(a) ✅ Vrai — \(4\) est la borne gauche incluse : \(4 \leq 4 \leq 10\).
(b) ❌ Faux — \(0\) est la borne droite exclue de \(]-3\,;\,0[\).
(c) ✅ Vrai — \(-1 < 0\) donc \(-1 \in ]-\infty\,;\,0[\).
(d) ✅ Vrai — \(7\) est la borne gauche incluse : \(7 \geq 7\).
(e) ✅ Vrai — \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\) et \(1 < 1{,}414 < 2\).
Choisis un intervalle, entre un nombre et vérifie s'il lui appartient :
(a) \(x \in [-3\,;\,7]\) (b) \(x \in ]2\,;\,9[\) (c) \(x \in [0\,;\,+\infty[\) (d) \(x \in ]-\infty\,;\,5[\)
(a) \(-3 \leq x \leq 7\)
(b) \(2 < x < 9\)
(c) \(x \geq 0\)
(d) \(x < 5\)
(a) \(-1 \leq x \leq 4\) (b) \(x > 3\) (c) \(-5 < x \leq 0\) (d) \(x \leq -2\)
(a) \([-1\,;\,4]\)
(b) \(]3\,;\,+\infty[\)
(c) \(]-5\,;\,0]\)
(d) \(]-\infty\,;\,-2]\)
(a) \(A \cap B\) (b) \(A \cup B\) (c) \(B \cap C\) (d) \(A \cap C\)
(a) \(A \cap B\) : la zone commune entre \(A\) (de \(-1\) à \(4\)) et \(B\) (de \(2\) à \(6\)). Elle commence en \(2\) (borne de \(B\), exclue) et finit en \(4\) (borne de \(A\), incluse).
\(A \cap B = ]2\,;\,4]\)
(b) \(A \cup B\) : \(A\) et \(B\) se chevauchent. On fusionne depuis \(-1\) (début de \(A\), inclus) jusqu'à \(6\) (fin de \(B\), inclus).
\(A \cup B = [-1\,;\,6]\)
(c) \(B \cap C\) : \(B\) va de \(2\) à \(6\) et \(C\) démarre à \(5\). La zone commune commence en \(5\) (borne de \(C\), incluse) et finit en \(6\) (borne de \(B\), incluse).
\(B \cap C = [5\,;\,6]\)
(d) \(A \cap C\) : \(A\) se termine en \(4\) et \(C\) commence en \(5\). Ils ne se touchent pas : aucun nombre n'appartient aux deux à la fois.
\(A \cap C = \emptyset\) (ensemble vide).
(a) « au moins 16 » → \(a \geq 16\) → borne gauche incluse ; « moins de 70 » → \(a < 70\) → borne droite exclue.
Intervalle : \([16\,;\,70[\)
(b) \(15 \notin [16\,;\,70[\) car \(15 < 16\). ❌ Élise ne peut pas adhérer.
(c) \(70 \notin [16\,;\,70[\) car \(70\) est la borne droite exclue. ❌ Marc ne peut pas adhérer.
(d) Intervalles : \([16\,;\,70[\) et \([70\,;\,80]\).
En \(70\) : exclu dans \([16\,;\,70[\), inclus dans \([70\,;\,80]\) — les deux intervalles se collent exactement en \(70\), on peut les fusionner :
\([16\,;\,70[ \cup [70\,;\,80] = [16\,;\,80]\)