Simplifier et réduire

Calcul littéral n°1 — Feuille d'exercices — 2nde

✕ Simplifier + Termes semblables ∑ Réduire

📌 Les 3 règles à connaître

① Supprimer le ×
On supprime le signe × devant une lettre ou une parenthèse.
\(2 \times b = 2b \quad 4 \times (a+3) = 4(a+3)\)
② Réorganiser un produit
On peut changer l'ordre des facteurs pour regrouper les nombres entre eux.
\(3 \times x \times 2 = 6x\)
③ Réduire les termes semblables
Même lettre + même exposant → on additionne ou soustrait les coefficients.
\(ax + bx = (a+b)x\)
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Exercice 1 / 6

Supprimer le × Convention d'écriture
✓ Vu

Écrire chaque expression de façon simplifiée en supprimant le signe ×.

a)
\(5 \times x\)
b)
\(a \times b\)
c)
\(1 \times y\)
d)
\(3 \times (x + 2)\)
e)
\((a - 1) \times 7\)
f)
\(x \times x\)
g)
\(x \times x \times x\)
h)
\(3 \times x \times 2\)
i)
\(2x \times 3x\)
j)
\(5a \times (-2)\)

💡 Indices

Que se passe-t-il quand on multiplie un nombre par 1 ?
Quand on multiplie une lettre par elle-même plusieurs fois, on utilise une notation spéciale. Comment s'écrit \(x \times x\) dans cette notation ?
Dans un produit de plusieurs facteurs, on peut changer leur ordre. Comment regrouper les nombres entre eux et les lettres entre elles ?
Règle : On supprime le × devant une lettre ou une parenthèse. On peut réorganiser les facteurs pour mettre les nombres en premier.
a) à e)

a) \(5x\)  |  b) \(ab\)  |  c) \(y\)  |  d) \(3(x+2)\)  |  e) \(7(a-1)\)

f) à j) — puissances et regroupements

f) \(x \times x = x^2\)

g) \(x \times x \times x = x^3\)

h) \(3 \times x \times 2 = (3 \times 2) \times x = 6x\)

i) \(2x \times 3x = (2 \times 3)(x \times x) = 6x^2\)

j) \(5a \times (-2) = -10a\)

⚠ Points de vigilance :
• c) On écrit \(y\), pas \(1y\) — le coefficient 1 est toujours omis.
• e) Par convention, le nombre se place en premier : \(7(a-1)\).
• j) \(5 \times (-2) = -10\) : attention au signe.

Exercice 2 / 6

Termes semblables Réduire
✓ Vu

Réduire, si possible, chaque expression. Si la réduction est impossible, l'expliquer.

a) \(3x + 5x\)
b) \(8a - 3a\)
c) \(4x + 3y\)
d) \(6x - x\)
e) \(2x^2 + 5x^2\)
f) \(4x + x^2\)

💡 Indices

Pour pouvoir additionner deux termes, que doivent-ils avoir en commun ? Pense à la même situation avec des unités : peut-on additionner 3 kg et 5 litres ?
Pour d) : quel coefficient masqué se cache devant le \(x\) isolé ? Pour f) : \(x\) et \(x^2\) sont-ils « la même chose » ?
Termes semblables : même lettre ET même exposant → on additionne ou soustrait les coefficients.
a) \(3x + 5x\)

\(\class{fa}{3x} + \class{fa}{5x} = (3+5)x = \) \(8x\)

b) \(8a - 3a\)

\(\class{fb}{8a} - \class{fb}{3a} = (8-3)a = \) \(5a\)

c) \(4x + 3y\)

\(x \neq y\) : les deux termes n'ont pas la même lettre. Réduction impossible — l'expression est déjà sous sa forme la plus simple.

d) \(6x - x\)

\(x\) seul s'écrit \(1x\), donc : \(\class{fa}{6x} - \class{fa}{1x} = (6-1)x = \) \(5x\)

e) \(2x^2 + 5x^2\)

\(\class{fc}{2x^2} + \class{fc}{5x^2} = (2+5)x^2 = \) \(7x^2\)

f) \(4x + x^2\)

\(x\) (exposant 1) et \(x^2\) (exposant 2) ne sont pas semblables : \(x^2 = x \times x \neq 2x\). Réduction impossible.

⚠ Erreur classique : \(x^2 \neq 2x\). Ces deux expressions sont fondamentalement différentes et ne se réduisent jamais ensemble.

Exercice 3 / 6

Réduire Plusieurs familles
✓ Vu

Réduire chaque expression en regroupant les termes semblables.

a) \(3x + 5 - x + 2\)
b) \(2a + 3b + 5a - b\)
c) \(4x^2 + 2x - x^2 + 3x\)
d) \(7x - 3 + 2x^2 - 4x + 1\)
e) \(5a - 2b + a + 4b - 3a\)

💡 Indices

Avant de calculer, repère les familles : souligne de la même façon tous les termes qui ont exactement la même partie littérale. Combien de familles y a-t-il dans chaque expression ?
Dans c), attention : \(x^2\) et \(x\) forment deux familles distinctes. Combien de familles dénombres-tu en tout dans cette expression ?
a) \(3x + 5 - x + 2\)

\(= (\class{fa}{3x - x}) + (\class{fb}{5 + 2}) = \) \(2x + 7\)

b) \(2a + 3b + 5a - b\)

\(= (\class{fa}{2a + 5a}) + (\class{fb}{3b - b}) = \) \(7a + 2b\)

c) \(4x^2 + 2x - x^2 + 3x\)

\(= (\class{fc}{4x^2 - x^2}) + (\class{fa}{2x + 3x}) = \) \(3x^2 + 5x\)

d) \(7x - 3 + 2x^2 - 4x + 1\)

\(= \class{fc}{2x^2} + (\class{fa}{7x - 4x}) + (\class{fb}{-3 + 1}) = \) \(2x^2 + 3x - 2\)

e) \(5a - 2b + a + 4b - 3a\)

\(= (\class{fa}{5a + a - 3a}) + (\class{fb}{-2b + 4b}) = \) \(3a + 2b\)

Exercice 4 / 6

Simplifier Puis réduire Combiné
✓ Vu

Pour chaque expression, d'abord simplifier (supprimer ×), puis réduire si possible.

a) \(3 \times x + 2 \times x\)
b) \(4 \times a \times 2 + 3 \times a\)
c) \(5 \times x \times x + 2 \times x\)
d) \(2 \times a + 3 \times b - 1 \times a + 4 \times b\)

💡 Indices

Il y a deux étapes distinctes à ne pas mélanger. Quelle est la première chose à faire avant même de chercher des termes semblables ?
Dans \(4 \times a \times 2\), tous les facteurs sont des nombres ou des lettres — dans quel ordre peut-on les réorganiser pour simplifier ?
Méthode en 2 étapes : ① Supprimer × et regrouper les facteurs numériques. ② Chercher les termes semblables et les réduire.
a) \(3 \times x + 2 \times x\)

\(= 3x + 2x = \) \(5x\)

b) \(4 \times a \times 2 + 3 \times a\)

\(= (4 \times 2)a + 3a = 8a + 3a = \) \(11a\)

c) \(5 \times x \times x + 2 \times x\)

\(= 5x^2 + 2x\) — deux familles distinctes : déjà réduit.

d) \(2 \times a + 3 \times b - 1 \times a + 4 \times b\)

\(= 2a + 3b - a + 4b = (\class{fa}{2a - a}) + (\class{fb}{3b + 4b}) = \) \(a + 7b\)

Exercice 5 / 6

Vrai / Faux Pièges classiques
✓ Vu

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, et corriger si nécessaire.

a) \(3x + 2 = 5x\)
b) \(x + x + x = x^3\)
c) \(2x^2 + 3x^2 = 5x^2\)
d) \(4ab + 2ab = 6ab\)
e) \(1 \times x = 0\)
f) \(5x - 5x = 1\)

💡 Indices

Quelle est la différence entre additionner \(x\) trois fois et multiplier \(x\) par lui-même trois fois ? Essaie avec \(x = 2\) pour les deux calculs.
Pour e) : confonds-tu multiplier par 1 et multiplier par 0 ? Pour f) : confonds-tu soustraire deux termes identiques et les diviser ?
a) \(3x + 2 = 5x\)

❌ FAUX — \(3x\) (terme en \(x\)) et \(2\) (nombre seul) ne sont pas semblables. La forme correcte est \(3x + 2\).

b) \(x + x + x = x^3\)

❌ FAUX — \(x + x + x = 3x\) (addition répétée). C'est \(x \times x \times x\) qui donne \(x^3\).

c) \(2x^2 + 3x^2 = 5x^2\)

✓ VRAI — Termes semblables : \((2+3)x^2 = 5x^2\).

d) \(4ab + 2ab = 6ab\)

✓ VRAI — \(ab\) est la partie littérale commune : \((4+2)ab = 6ab\).

e) \(1 \times x = 0\)

❌ FAUX — \(1 \times x = x\). C'est \(0 \times x\) qui donne \(0\).

f) \(5x - 5x = 1\)

❌ FAUX — \(5x - 5x = (5-5)x = 0\). C'est \(5x \div 5x\) qui donnerait \(1\).

Exercice 6 / 6

Problème Périmètre Réduire
✓ Vu

Un rectangle a pour longueur \(3x + 2\) et pour largeur \(x + 5\).

1) Écrire l'expression du périmètre du rectangle en fonction de \(x\).
2) Réduire cette expression.
3) Calculer le périmètre pour \(x = 4\).
Rappel : Périmètre d'un rectangle \(= 2 \times \text{longueur} + 2 \times \text{largeur}\).

💡 Indices

Remplace « longueur » et « largeur » dans la formule par les expressions données. N'oublie pas les parenthèses autour de chaque expression.
Pour développer \(2 \times (3x+2)\), que donne la distributivité ? Refais de même avec le deuxième terme, puis regroupe.
1) Expression du périmètre

\(P = 2(3x+2) + 2(x+5)\)

\(P = 6x + 4 + 2x + 10\)

2) Réduction

\(P = (\class{fa}{6x + 2x}) + (\class{fb}{4 + 10})\)

\(P = 8x + 14\)
3) Calcul pour \(x = 4\)

\(P = 8 \times 4 + 14 = 32 + 14 = \) 46

Le périmètre vaut 46 unités.

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