Calculer la valeur
d'une expression

Calcul littéral n°2 — Feuille d'exercices — 2^nde

x → nombre Substitution Ordre des opérations

📌 Méthode en 3 étapes

① Substituer

Remplacer chaque lettre par la valeur numérique donnée. On place la valeur entre parenthèses si elle est négative.

② Respecter les priorités

Calculer d'abord les puissances, puis les × et ÷, enfin les + et −. De gauche à droite en cas d'égalité de priorité.

③ Conclure

Écrire la valeur numérique obtenue. Vérifier le signe si des valeurs négatives sont intervenues.

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Exercice 1 / 6

Première substitution Valeurs positives

✓ Vu

Calculer la valeur de chaque expression pour la valeur indiquée.

a) \(x = 3\)

\(A = 2x + 1\)

b) \(a = 5\)

\(B = 3a - 4\)

c) \(x = 4\)

\(C = x^2 - 3\)

d) \(t = 2\)

\(D = 5t^2 + t\)

e) \(x = 6\)

\(E = \dfrac{x}{2} + 3\)

f) \(n = 3\)

\(F = n(n+1)\)

💡 Indices

Quelle opération doit-on effectuer en premier : la puissance ou la multiplication ? Rappelle-toi l'ordre des priorités.

Il y a une lettre à l'intérieur de la parenthèse aussi. Commence par remplacer \(n\) partout, puis effectue les calculs dans l'ordre.

Rappel : on remplace la lettre, puis on applique les priorités opératoires (puissances → × et ÷ → + et −).

a) \(A = 2x + 1\) pour \(x = 3\)

Substitue\(A = 2 \times 3 + 1\)

× d'abord\(A = 6 + 1\)

\(A = \) 7

b) \(B = 3a - 4\) pour \(a = 5\)

Substitue\(B = 3 \times 5 - 4\)

× d'abord\(B = 15 - 4\)

\(B = \) 11

c) \(C = x^2 - 3\) pour \(x = 4\)

Substitue\(C = 4^2 - 3\)

Puissance\(C = 16 - 3\)

\(C = \) 13

d) \(D = 5t^2 + t\) pour \(t = 2\)

Substitue\(D = 5 \times 2^2 + 2\)

Puissance\(D = 5 \times 4 + 2\)

× d'abord\(D = 20 + 2\)

\(D = \) 22

e) \(E = \dfrac{x}{2} + 3\) pour \(x = 6\)

Substitue\(E = \dfrac{6}{2} + 3\)

÷ d'abord\(E = 3 + 3\)

\(E = \) 6

f) \(F = n(n+1)\) pour \(n = 3\)

Substitue\(F = 3 \times (3 + 1)\)

Parenthèse\(F = 3 \times 4\)

\(F = \) 12

Exercice 2 / 6

Valeurs négatives Zéro Signes

✓ Vu

Calculer la valeur de chaque expression pour la valeur indiquée. Attention aux signes.

a) \(x = -2\)

\(A = 3x + 7\)

b) \(a = 0\)

\(B = 4a - 5\)

c) \(x = -3\)

\(C = x^2 + 1\)

d) \(x = -1\)

\(D = -2x + 3\)

e) \(t = -2\)

\(E = t^2 - 3t + 1\)

f) \(x = -4\)

\(F = x(x - 2)\)

💡 Indices

Quand on substitue une valeur négative, on la met entre parenthèses pour ne pas confondre le signe de la valeur avec le signe de l'opération. Par exemple : \(3 \times (-2)\), pas \(3 \times -2\).

Que vaut \((-3)^2\) ? Est-ce que le carré d'un nombre négatif est positif ou négatif ?

Il y a un signe − devant le \(2x\). Que vaut \(-2 \times (-1)\) ?

Astuce : toujours mettre la valeur négative entre parenthèses lors de la substitution pour éviter les erreurs de signe.

a) \(A = 3x + 7\) pour \(x = -2\)

Substitue\(A = 3 \times (-2) + 7\)

× d'abord\(A = -6 + 7\)

\(A = \) 1

b) \(B = 4a - 5\) pour \(a = 0\)

Substitue\(B = 4 \times 0 - 5\)

× d'abord\(B = 0 - 5\)

\(B = \) -5

c) \(C = x^2 + 1\) pour \(x = -3\)

Substitue\(C = (-3)^2 + 1\)

Puissance\(C = 9 + 1\)

\(C = \) 10

💡 \((-3)^2 = (-3) \times (-3) = +9\) — le carré d'un négatif est positif.

d) \(D = -2x + 3\) pour \(x = -1\)

Substitue\(D = -2 \times (-1) + 3\)

× d'abord\(D = +2 + 3\)

\(D = \) 5

e) \(E = t^2 - 3t + 1\) pour \(t = -2\)

Substitue\(E = (-2)^2 - 3 \times (-2) + 1\)

Puissance\(E = 4 - 3 \times (-2) + 1\)

× d'abord\(E = 4 + 6 + 1\)

\(E = \) 11

f) \(F = x(x-2)\) pour \(x = -4\)

Substitue\(F = (-4) \times ((-4) - 2)\)

Parenthèse\(F = (-4) \times (-6)\)

\(F = \) 24

⚠ Erreur fréquente : \(-3^2 \neq (-3)^2\). Sans parenthèse, \(-3^2 = -(3^2) = -9\). Avec parenthèse, \((-3)^2 = +9\).

Exercice 3 / 6

Deux variables Substitution multiple

✓ Vu

Calculer la valeur de chaque expression pour les valeurs indiquées.

a) \(A = 2x + 3y\) pour \(x = 4\) et \(y = 1\)

b) \(B = x^2 - y^2\) pour \(x = 5\) et \(y = 3\)

c) \(C = 3a - 2b + 1\) pour \(a = -1\) et \(b = 2\)

d) \(D = (x+y)(x-y)\) pour \(x = 7\) et \(y = 3\)

💡 Indices

Quand il y a deux lettres, on remplace toutes les occurrences de chaque lettre en même temps, puis on calcule. Repère d'abord chaque lettre dans l'expression avant de substituer.

Commence par calculer la valeur de chaque parenthèse séparément, puis multiplie les deux résultats. Ce résultat te rappelle-t-il une identité remarquable ?

a) \(A = 2x + 3y\) pour \(x=4, y=1\)

Substitue\(A = 2 \times 4 + 3 \times 1\)

× d'abord\(A = 8 + 3\)

\(A = \) 11

b) \(B = x^2 - y^2\) pour \(x=5, y=3\)

Substitue\(B = 5^2 - 3^2\)

Puissances\(B = 25 - 9\)

\(B = \) 16

c) \(C = 3a - 2b + 1\) pour \(a=-1, b=2\)

Substitue\(C = 3 \times (-1) - 2 \times 2 + 1\)

× d'abord\(C = -3 - 4 + 1\)

\(C = \) -6

d) \(D = (x+y)(x-y)\) pour \(x=7, y=3\)

Substitue\(D = (7+3)(7-3)\)

Parenthèses\(D = 10 \times 4\)

\(D = \) 40

💡 On retrouve \(x^2 - y^2 = 49 - 9 = 40\) — cohérent avec b) ! C'est une identité remarquable.

Exercice 4 / 6

Tableau de valeurs Plusieurs valeurs

✓ Vu

Compléter le tableau de valeurs pour l'expression \(f(x) = 3x^2 - 2x + 1\).

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(3\)
\(f(x)\)	…	…	…	…	…

Montrer le détail du calcul pour au moins deux valeurs.

💡 Indices

Pour \(x = 0\), que valent \(3x^2\) et \(-2x\) ? Le calcul est beaucoup plus simple que pour les autres valeurs.

N'oublie pas : \((-2)^2 = 4\). Mets bien la valeur entre parenthèses pour chaque terme avant de calculer.

Méthode : pour chaque colonne, remplacer \(x\) par la valeur, calculer \(3x^2\) puis \(-2x\) puis \(+1\), additionner.

Détail des calculs

Pour \(x = -2\) :

Substitue\(f(-2) = 3 \times (-2)^2 - 2 \times (-2) + 1\)

Puissance\(= 3 \times 4 + 4 + 1\)

× d'abord\(= 12 + 4 + 1\)

\(= 17\)

Pour \(x = 1\) :

Substitue\(f(1) = 3 \times 1^2 - 2 \times 1 + 1\)

\(= 3 - 2 + 1\)

\(= 2\)

Tableau complété

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(3\)
\(f(x)\)	17	6	1	2	22

Pour \(x=0\) : \(f(0) = 0 - 0 + 1 = 1\). Pour \(x=3\) : \(27 - 6 + 1 = 22\).

Exercice 5 / 6

Vrai / Faux Contre-exemples

✓ Vu

Chacune des affirmations suivantes est-elle vraie pour toute valeur de \(x\) ? Si non, donner une valeur qui la met en défaut.

a) « \(2x + 1\) est toujours strictement positif. »

b) « \(x^2\) est toujours positif ou nul. »

c) « Si \(x = 3\) alors \(5x - 2 = 10\). »

d) « \((x+1)^2\) et \(x^2 + 1\) ont la même valeur pour tout \(x\). »

💡 Indices

Pour réfuter une affirmation du type « toujours », il suffit de trouver un seul contre-exemple. Essaie des valeurs négatives ou très négatives pour \(x\).

Calcule les deux expressions pour une valeur simple, par exemple \(x = 2\). Les deux résultats sont-ils égaux ?

a) « \(2x + 1\) est toujours strictement positif. »

❌ FAUX — pour \(x = -2\) : \(2 \times (-2) + 1 = -4 + 1 = -3 < 0\). Un seul contre-exemple suffit.

b) « \(x^2\) est toujours positif ou nul. »

✓ VRAI — le carré d'un nombre réel est toujours \(\geq 0\), qu'il soit positif, négatif ou nul (\(0^2 = 0\)).

c) « Si \(x = 3\) alors \(5x - 2 = 10\). »

❌ FAUX — \(5 \times 3 - 2 = 15 - 2 = 13 \neq 10\). L'affirmation est incorrecte.

d) « \((x+1)^2\) et \(x^2 + 1\) ont la même valeur pour tout \(x\). »

❌ FAUX — pour \(x = 2\) :

\((2+1)^2 = 3^2 = 9\)

\(2^2 + 1 = 4 + 1 = 5\)

\(9 \neq 5\) — les deux expressions sont différentes. En développant : \((x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 \neq x^2 + 1\).

Exercice 6 / 6

Problème Aire et périmètre Substitution

✓ Vu

Un carré a pour côté \((2x + 1)\) cm, avec \(x > 0\).

1) Écrire l'expression du périmètre \(P\) et de l'aire \(A\) de ce carré en fonction de \(x\).

2) Calculer \(P\) et \(A\) pour \(x = 3\).

3) Pour quelle valeur de \(x\) le périmètre vaut-il \(36\) cm ? (Raisonner sans résoudre d'équation formelle.)

Rappel : périmètre d'un carré \(= 4 \times \text{côté}\) | aire d'un carré \(= \text{côté}^2\).

💡 Indices

Le côté est \((2x+1)\). Remplace « côté » dans chaque formule par cette expression. Pour l'aire, que signifie \((2x+1)^2\) à ce stade ? (Pas besoin de développer pour l'instant.)

Si \(P = 36\), que doit valoir \(4 \times (2x+1)\) ? Commence par trouver ce que doit valoir \((2x+1)\), c'est-à-dire le côté du carré.

1) Expressions de \(P\) et \(A\)

\(P = 4 \times (2x+1) = 8x + 4\) (en cm)

\(A = (2x+1)^2\) (en cm²)

2) Calculs pour \(x = 3\)

Côté\(2 \times 3 + 1 = 7\) cm

Périmètre\(P = 8 \times 3 + 4 = 28\) cm

Aire\(A = 7^2 = 49\) cm²

\(P = 28\) cm | \(A = 49\) cm²

3) Quelle valeur de \(x\) donne \(P = 36\) cm ?

Objectif\(P = 36\) donc le côté \(= 36 \div 4 = 9\) cm

ÉquationOn cherche \(x\) tel que \(2x + 1 = 9\)

Raisonne\(2x = 8\) donc \(x = 4\)

Pour \(x = 4\), le périmètre vaut bien \(36\) cm.