Développer —
Simple distributivité

Calcul littéral n°3 — Feuille d'exercices — 2nde

k(a+b) Facteur négatif ±(…)

📌 Les 3 situations à maîtriser

① Facteur positif
On multiplie chaque terme de la parenthèse par le facteur.
\(\textcolor{#c0401c}{k}(\textcolor{#0d9488}{a} + \textcolor{#6d28d9}{b}) = \textcolor{#c0401c}{k}\textcolor{#0d9488}{a} + \textcolor{#c0401c}{k}\textcolor{#6d28d9}{b}\)
② Facteur négatif
Chaque signe à l'intérieur de la parenthèse s'inverse.
\(\textcolor{#c0401c}{-k}(\textcolor{#0d9488}{a} - \textcolor{#6d28d9}{b}) = \textcolor{#c0401c}{-k}\textcolor{#0d9488}{a} + \textcolor{#c0401c}{k}\textcolor{#6d28d9}{b}\)
③ Signe seul devant (…)
Un \(+\) seul : signes inchangés. Un \(-\) seul : tous les signes s'inversent.
\(-(a - b) = -a + b\)
Corrections vues :
0 / 6

Exercice 1 / 6

Facteur positif Distributivité simple
✓ Vu

Développer chaque expression.

a)
\(3(x + 4)\)
b)
\(5(2x - 1)\)
c)
\(x(x + 3)\)
d)
\(2x(3x - 5)\)
e)
\(7(a + b - 2)\)
f)
\(\dfrac{1}{2}(4x + 6)\)

💡 Indices

Le facteur peut être une lettre ou un monôme, pas uniquement un nombre. Que vaut \(x \times x\) ?
Pour e), combien de termes sont dans la parenthèse ? On distribue le facteur sur chacun d'eux. Pour f), pense à simplifier les fractions obtenues.
Méthode : le facteur extérieur se multiplie avec chaque terme de la parenthèse, un par un.
\(\textcolor{#c0401c}{3}(\textcolor{#0d9488}{x}+\textcolor{#6d28d9}{4})\)
Distribue\(\textcolor{#c0401c}{3} \times \textcolor{#0d9488}{x} + \textcolor{#c0401c}{3} \times \textcolor{#6d28d9}{4}\)
\(= 3x + 12\)
\(\textcolor{#c0401c}{5}(\textcolor{#0d9488}{2x}-\textcolor{#6d28d9}{1})\)
Distribue\(\textcolor{#c0401c}{5} \times \textcolor{#0d9488}{2x} - \textcolor{#c0401c}{5} \times \textcolor{#6d28d9}{1}\)
\(= 10x - 5\)
\(\textcolor{#c0401c}{x}(\textcolor{#0d9488}{x}+\textcolor{#6d28d9}{3})\)
Distribue\(\textcolor{#c0401c}{x} \times \textcolor{#0d9488}{x} + \textcolor{#c0401c}{x} \times \textcolor{#6d28d9}{3}\)
\(= x^2 + 3x\)
\(\textcolor{#c0401c}{2x}(\textcolor{#0d9488}{3x}-\textcolor{#6d28d9}{5})\)
Distribue\(\textcolor{#c0401c}{2x} \times \textcolor{#0d9488}{3x} - \textcolor{#c0401c}{2x} \times \textcolor{#6d28d9}{5}\)
\(= 6x^2 - 10x\)
\(\textcolor{#c0401c}{7}(\textcolor{#0d9488}{a}+\textcolor{#6d28d9}{b}-\textcolor{#059669}{2})\)
3 termes\(\textcolor{#c0401c}{7} \times \textcolor{#0d9488}{a} + \textcolor{#c0401c}{7} \times \textcolor{#6d28d9}{b} - \textcolor{#c0401c}{7} \times \textcolor{#059669}{2}\)
\(= 7a + 7b - 14\)
\(\textcolor{#c0401c}{\tfrac{1}{2}}(\textcolor{#0d9488}{4x}+\textcolor{#6d28d9}{6})\)
Distribue\(\frac{\textcolor{#0d9488}{4x}}{2} + \frac{\textcolor{#6d28d9}{6}}{2}\)
\(= 2x + 3\)

Exercice 2 / 6

Facteur négatif Attention aux signes
✓ Vu

Développer chaque expression. Le facteur est négatif — soigner particulièrement les signes.

a)
\(-2(x + 5)\)
b)
\(-3(4x - 7)\)
c)
\(-x(x - 1)\)
d)
\(-5(2 - 3x)\)
e)
\(-(x + 4)\)
f)
\(-(3x - 2y + 1)\)

💡 Indices

Rappelle-toi : \((-) \times (+) = (-)\) et \((-) \times (-) = (+)\). Que se passe-t-il donc quand le facteur négatif rencontre un terme soustrait dans la parenthèse ?
Un \(-\) seul devant une parenthèse équivaut à multiplier par \(-1\). Que vaut \((-1) \times x\) ? Et \((-1) \times (-2y)\) ?
Règle clé : facteur négatif × terme positif = terme négatif  |  facteur négatif × terme négatif = terme positif.
\(\textcolor{#c0401c}{-2}(\textcolor{#0d9488}{x}+\textcolor{#6d28d9}{5})\)
Distribue\(\textcolor{#c0401c}{(-2)} \times \textcolor{#0d9488}{x} + \textcolor{#c0401c}{(-2)} \times \textcolor{#6d28d9}{5}\)
\(= -2x - 10\)
\(\textcolor{#c0401c}{-3}(\textcolor{#0d9488}{4x}-\textcolor{#6d28d9}{7})\)
Distribue\(\textcolor{#c0401c}{(-3)} \times \textcolor{#0d9488}{4x} - \textcolor{#c0401c}{(-3)} \times \textcolor{#6d28d9}{7}\)
\(-\times-=+\)\(= -12x + 21\)
\(\textcolor{#c0401c}{-x}(\textcolor{#0d9488}{x}-\textcolor{#6d28d9}{1})\)
Distribue\(\textcolor{#c0401c}{(-x)} \times \textcolor{#0d9488}{x} - \textcolor{#c0401c}{(-x)} \times \textcolor{#6d28d9}{1}\)
\(= -x^2 + x\)
\(\textcolor{#c0401c}{-5}(\textcolor{#0d9488}{2}-\textcolor{#6d28d9}{3x})\)
Distribue\(\textcolor{#c0401c}{(-5)} \times \textcolor{#0d9488}{2} - \textcolor{#c0401c}{(-5)} \times \textcolor{#6d28d9}{3x}\)
\(= -10 + 15x\)
\(\textcolor{#c0401c}{-1} \times (\textcolor{#0d9488}{x}+\textcolor{#6d28d9}{4})\)
Distribue\(\textcolor{#c0401c}{(-1)} \times \textcolor{#0d9488}{x} + \textcolor{#c0401c}{(-1)} \times \textcolor{#6d28d9}{4}\)
\(= -x - 4\)
\(\textcolor{#c0401c}{-1} \times (\textcolor{#0d9488}{3x}-\textcolor{#6d28d9}{2y}+\textcolor{#059669}{1})\)
Tous les signess'inversent :
\(= -3x + 2y - 1\)
⚠ Piège classique : b) \(-3 \times (-7) = +21\), pas \(-21\). Quand le terme dans la parenthèse est déjà négatif, la double négation donne un résultat positif.

Exercice 3 / 6

Signe devant (…) Opposé d'une expression
✓ Vu

Développer et réduire chaque expression.

a) \(3x + (2x - 5)\)
b) \(7x - (x + 4)\)
c) \(2a - (3a - 1)\)
d) \(5x + (x^2 - 2x + 3)\)
e) \(x^2 - (x^2 - 4x + 1)\)

💡 Indices

Le signe devant la parenthèse est-il \(+\) ou \(-\) ? Avec un \(+\), les signes à l'intérieur restent identiques. Avec un \(-\), ils s'inversent tous sans exception.
Il y a trois termes dans la parenthèse. Le \(-\) devant change le signe de chacun d'eux. Que devient \(-(- 4x)\) ?
a) \(3x + (2x-5)\)
Signe \(+\)signes inchangés : \(= 3x + 2x - 5\)
Réduit\(= 5x - 5\)
b) \(7x - (x+4)\)
Signe \(-\)signes inversés : \(= 7x - x - 4\)
Réduit\(= 6x - 4\)
c) \(2a - (3a-1)\)
Signe \(-\)signes inversés : \(= 2a - 3a + 1\)
Réduit\(= -a + 1\)

💡 \(-(3a-1) = -3a+1\) : le \(-\) change le signe de \(3a\) et de \(-1\).

d) \(5x + (x^2-2x+3)\)
Signe \(+\)\(= 5x + x^2 - 2x + 3\)
Réduit\(= x^2 + 3x + 3\)
e) \(x^2 - (x^2-4x+1)\)
Signe \(-\)signes inversés : \(= x^2 - x^2 + 4x - 1\)
Réduit\(= 4x - 1\)

Exercice 4 / 6

Développer Puis réduire Combiné
✓ Vu

Développer et réduire chaque expression.

a) \(3(x+2) + 4(x-1)\)
b) \(5(2x-3) - 2(x+4)\)
c) \(-2(x-3) + 3(x+1)\)
d) \(4(x^2 + x) - 2(x^2 - 3)\)
e) \(x(x+5) - 3(x+2)\)

💡 Indices

Deux étapes distinctes : d'abord développer chaque parenthèse séparément, puis seulement regrouper les termes semblables. Ne pas mélanger les deux étapes.
Pour b) : attention, c'est \(-2(x+4)\) qui est soustrait, pas \(-2x+4\). Pour c) : \(-2 \times (-3)\) donne quel signe ?
a) \(3(x+2) + 4(x-1)\)
Développe\(= 3x + 6 + 4x - 4\)
Réduit\(= 7x + 2\)
b) \(5(2x-3) - 2(x+4)\)
Développe\(= 10x - 15 - 2x - 8\)
Réduit\(= 8x - 23\)
c) \(-2(x-3) + 3(x+1)\)
Développe\(= -2x + 6 + 3x + 3\)
Réduit\(= x + 9\)

💡 \(-2 \times (-3) = +6\).

d) \(4(x^2+x) - 2(x^2-3)\)
Développe\(= 4x^2 + 4x - 2x^2 + 6\)
Réduit\(= 2x^2 + 4x + 6\)
e) \(x(x+5) - 3(x+2)\)
Développe\(= x^2 + 5x - 3x - 6\)
Réduit\(= x^2 + 2x - 6\)

Exercice 5 / 6

Vrai / Faux Pièges de signes
✓ Vu

Chaque développement est-il exact ? Corriger si nécessaire.

a) \(3(x - 4) = 3x - 4\)
b) \(-2(x - 5) = -2x - 10\)
c) \(-(x + 3) = -x - 3\)
d) \(4(x + 1) - (x + 1) = 3(x+1)\)
e) \(2(x - 3) + 3(x - 3) = 5x - 15\)

💡 Indices

Pour vérifier une égalité algébrique, une bonne méthode est de tester avec une valeur numérique simple (ex. \(x = 0\) ou \(x = 1\)). Les deux membres donnent-ils le même résultat ?
Pour d) et e) : au lieu de développer, peut-on factoriser directement ? \(4(x+1) - 1 \times (x+1)\) — quel est le facteur commun ?
a) \(3(x-4) = 3x - 4\)

❌ FAUX — le 3 doit se distribuer sur les deux termes : \(3(x-4) = 3x - 12\).

b) \(-2(x-5) = -2x - 10\)

❌ FAUX — \(-2 \times (-5) = +10\), pas \(-10\). Résultat correct : \(-2x + 10\).

c) \(-(x+3) = -x - 3\)

✓ VRAI — \(-(x+3) = (-1) \times x + (-1) \times 3 = -x - 3\).

d) \(4(x+1) - (x+1) = 3(x+1)\)

✓ VRAI — \((x+1)\) est un facteur commun : \((4-1)(x+1) = 3(x+1)\). On peut vérifier en développant : \(3x + 3\).

e) \(2(x-3) + 3(x-3) = 5x - 15\)

✓ VRAI — \((2+3)(x-3) = 5(x-3) = 5x - 15\). ✓

⚠ Erreurs les plus fréquentes :
• a) Distribuer le facteur sur le premier terme seulement.
• b) Oublier que \(-\times- = +\) quand le terme soustrait est lui-même précédé d'un signe −.

Exercice 6 / 6

Problème Périmètre Développer et réduire
✓ Vu

Un triangle isocèle a pour base \(b = 4x - 2\) et pour côtés égaux \(c = 3(x + 1)\) chacun.

1) Développer l'expression de \(c\).
2) Montrer que le périmètre \(P\) du triangle vaut \(P = 10x + 4\).
3) Un deuxième triangle isocèle a le même périmètre, mais avec base \(b' = 2(x - 3)\) et côtés \(c'\). Exprimer \(2c'\) en fonction de \(x\), développé et réduit.
4) Calculer \(P\) pour \(x = 4\).

💡 Indices

Pour écrire \(2c\), utilise le résultat développé de la question 1) et multiplie par 2, ou développe directement \(2 \times 3(x+1)\). Les deux méthodes doivent donner le même résultat.
Le périmètre est le même : \(b' + 2c' = P\), donc \(2c' = P - b'\). Tu connais \(P\) (question 2) et \(b'\) — développe \(b'\), puis fais la soustraction en faisant attention au signe devant la parenthèse.
1) Développer \(c = 3(x+1)\)
Distribue\(c = 3 \times x + 3 \times 1\)
\(c = 3x + 3\)
2) Périmètre \(P = b + 2c\)
Calcule \(2c\)\(2c = 2(3x+3) = 6x + 6\)
Additionne\(P = (4x - 2) + (6x + 6)\)
Réduit\(P = 10x + 4\)
On obtient bien \(P = 10x + 4\). ✓
3) Exprimer \(2c'\)
Développe \(b'\)\(b' = 2(x-3) = 2x - 6\)
Soustrait\(2c' = P - b' = (10x + 4) - (2x - 6)\)
Signe \(-\)\(= 10x + 4 - 2x + 6\)
Réduit\(2c' = 8x + 10\)

💡 Le signe \(-\) devant \((2x-6)\) change le signe du \(-6\) en \(+6\).

4) Calcul pour \(x = 4\)
Substitue\(P = 10 \times 4 + 4 = 40 + 4\)
\(P = 44\) unités
Le périmètre vaut 44 unités pour \(x = 4\).

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