Développer —
Double distributivité

Calcul littéral n°4 — Feuille d'exercices — 2nde

(a+b)(c+d) 4 produits Tableau / Calcul

📌 Double distributivité — les deux méthodes

① Méthode du tableau
On place les termes du 1er facteur en ligne, ceux du 2e en colonne, puis on remplit chaque case avec le produit.
×\(\textcolor{#2563eb}{c}\)\(\textcolor{#2563eb}{d}\)
\(\textcolor{#dc2626}{a}\)\(ac\)\(ad\)
\(\textcolor{#dc2626}{b}\)\(bc\)\(bd\)
② Méthode du calcul
On distribue chaque terme du 1er facteur sur toute la 2e parenthèse — 4 produits au total.
\((\textcolor{#dc2626}{a}+\textcolor{#dc2626}{b})(\textcolor{#2563eb}{c}+\textcolor{#2563eb}{d})\)
\(= \textcolor{#dc2626}{a}(\textcolor{#2563eb}{c}+\textcolor{#2563eb}{d}) + \textcolor{#dc2626}{b}(\textcolor{#2563eb}{c}+\textcolor{#2563eb}{d})\)
\(= \textcolor{#dc2626}{a}\textcolor{#2563eb}{c} + \textcolor{#dc2626}{a}\textcolor{#2563eb}{d} + \textcolor{#dc2626}{b}\textcolor{#2563eb}{c} + \textcolor{#dc2626}{b}\textcolor{#2563eb}{d}\)
Corrections vues :
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Exercice 1 / 6

Double distributivité Termes positifs
✓ Vu

Développer et réduire chaque expression. Utiliser la méthode de son choix.

a)
\((x+2)(x+3)\)
b)
\((x+1)(x+5)\)
c)
\((2x+1)(x+4)\)
d)
\((3x+2)(2x+3)\)

💡 Indices

Dans le tableau, la case en haut à gauche contient toujours le produit des premiers termes de chaque parenthèse. Combien de cases doit-on remplir au total ?
Après avoir obtenu 4 termes, cherche les termes semblables. Dans a), quels termes peut-on regrouper après \(x^2\) ?
Méthode : 4 produits → additionner → réduire les termes semblables (les deux termes en \(x\) se regroupent toujours).
\((\textcolor{#dc2626}{x}+\textcolor{#dc2626}{2})(\textcolor{#2563eb}{x}+\textcolor{#2563eb}{3})\)
📊 Tableau
×\(\textcolor{#2563eb}{x}\)\(\textcolor{#2563eb}{3}\)
\(\textcolor{#dc2626}{x}\)\(x^2\)\(3x\)
\(\textcolor{#dc2626}{2}\)\(2x\)\(6\)
4 produits\(= x^2 + 3x + 2x + 6\)
Réduit\(= x^2 + 5x + 6\)
\((\textcolor{#dc2626}{x}+\textcolor{#dc2626}{1})(\textcolor{#2563eb}{x}+\textcolor{#2563eb}{5})\)
4 produits\(= x^2 + 5x + x + 5\)
Réduit\(= x^2 + 6x + 5\)
\((\textcolor{#dc2626}{2x}+\textcolor{#dc2626}{1})(\textcolor{#2563eb}{x}+\textcolor{#2563eb}{4})\)
4 produits\(= 2x^2 + 8x + x + 4\)
Réduit\(= 2x^2 + 9x + 4\)
\((\textcolor{#dc2626}{3x}+\textcolor{#dc2626}{2})(\textcolor{#2563eb}{2x}+\textcolor{#2563eb}{3})\)
4 produits\(= 6x^2 + 9x + 4x + 6\)
Réduit\(= 6x^2 + 13x + 6\)

Exercice 2 / 6

Termes négatifs Signes à surveiller
✓ Vu

Développer et réduire chaque expression. Attention aux signes des termes soustraits.

a)
\((x+3)(x-2)\)
b)
\((x-4)(x-1)\)
c)
\((2x-3)(x+5)\)
d)
\((-x+2)(3x-1)\)

💡 Indices

Dans le tableau, chaque case contient le produit avec son signe. Si un terme de la ligne est \(-4\) et un terme de la colonne est \(-1\), que vaut le produit de la case ?
Le premier terme \(-x\) est négatif. Quand tu le multiplies par \(3x\), quel signe obtiens-tu ? Et par \(-1\) ?
\((\textcolor{#dc2626}{x}+\textcolor{#dc2626}{3})(\textcolor{#2563eb}{x}-\textcolor{#2563eb}{2})\)
📊 Tableau
×\(\textcolor{#2563eb}{x}\)\(\textcolor{#2563eb}{-2}\)
\(\textcolor{#dc2626}{x}\)\(x^2\)\(-2x\)
\(\textcolor{#dc2626}{3}\)\(3x\)\(-6\)
4 produits\(= x^2 - 2x + 3x - 6\)
Réduit\(= x^2 + x - 6\)
\((\textcolor{#dc2626}{x}-\textcolor{#dc2626}{4})(\textcolor{#2563eb}{x}-\textcolor{#2563eb}{1})\)
4 produits\(= x^2 - x - 4x + 4\)
Réduit\(= x^2 - 5x + 4\)

💡 \((-4) \times (-1) = +4\) — deux négatifs donnent un positif.

\((\textcolor{#dc2626}{2x}-\textcolor{#dc2626}{3})(\textcolor{#2563eb}{x}+\textcolor{#2563eb}{5})\)
4 produits\(= 2x^2 + 10x - 3x - 15\)
Réduit\(= 2x^2 + 7x - 15\)
\((\textcolor{#dc2626}{-x}+\textcolor{#dc2626}{2})(\textcolor{#2563eb}{3x}-\textcolor{#2563eb}{1})\)
4 produits\(= -3x^2 + x + 6x - 2\)
Réduit\(= -3x^2 + 7x - 2\)
⚠ Piège : b) \((-4) \times (-1) = +4\) — ne pas oublier que le produit de deux termes négatifs est positif.

Exercice 3 / 6

Développer et réduire Plusieurs parenthèses
✓ Vu

Développer et réduire chaque expression.

a) \((x+4)(x-4)\)
b) \((x+3)^2\)
c) \((x+2)(x+3) + (x-1)(x+4)\)
d) \((2x-1)(x+3) - (x+2)(x-1)\)

💡 Indices

\((x+3)^2\) signifie \((x+3) \times (x+3)\). Réécris-le sous cette forme avant d'appliquer la double distributivité.
Développe chaque produit séparément en deux étapes, puis additionne ou soustrait les résultats. Ne pas mélanger les deux développements.
a) \((\textcolor{#dc2626}{x}+\textcolor{#dc2626}{4})(\textcolor{#2563eb}{x}-\textcolor{#2563eb}{4})\)
4 produits\(= x^2 - 4x + 4x - 16\)
Réduit\(= x^2 - 16\)

💡 Les termes en \(x\) s'annulent ! On reconnaîtra cette structure comme une identité remarquable en F6.

b) \((x+3)^2 = (\textcolor{#dc2626}{x}+\textcolor{#dc2626}{3})(\textcolor{#2563eb}{x}+\textcolor{#2563eb}{3})\)
4 produits\(= x^2 + 3x + 3x + 9\)
Réduit\(= x^2 + 6x + 9\)
c) \((x+2)(x+3) + (x-1)(x+4)\)
1er produit\((x+2)(x+3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6\)
2e produit\((x-1)(x+4) = x^2 + 4x - x - 4 = x^2 + 3x - 4\)
Additionne\(= (x^2 + 5x + 6) + (x^2 + 3x - 4)\)
Réduit\(= 2x^2 + 8x + 2\)
d) \((2x-1)(x+3) - (x+2)(x-1)\)
1er produit\((2x-1)(x+3) = 2x^2 + 6x - x - 3 = 2x^2 + 5x - 3\)
2e produit\((x+2)(x-1) = x^2 - x + 2x - 2 = x^2 + x - 2\)
Soustrait\(= (2x^2 + 5x - 3) - (x^2 + x - 2)\)
Signe \(-\)\(= 2x^2 + 5x - 3 - x^2 - x + 2\)
Réduit\(= x^2 + 4x - 1\)

Exercice 4 / 6

Vrai / Faux Pièges classiques
✓ Vu

Chaque développement est-il exact ? Corriger si nécessaire.

a) \((x+2)(x+3) = x^2 + 6\)
b) \((x+1)(x-1) = x^2 - 1\)
c) \((x+3)^2 = x^2 + 9\)
d) \((2x+1)(x-3) = 2x^2 - 5x - 3\)

💡 Indices

Combien de produits doit-on obtenir avec la double distributivité ? Si tu n'en vois que deux dans le résultat proposé, quelque chose manque.
Teste avec \(x = 1\) pour vérifier rapidement une égalité. Si les deux membres donnent des valeurs différentes, l'égalité est fausse.
a) \((x+2)(x+3) = x^2 + 6\)

❌ FAUX — il manque les termes croisés. Développement correct :

4 produits\(= x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6\)
b) \((x+1)(x-1) = x^2 - 1\)

✓ VRAI — les termes croisés s'annulent : \(x - x = 0\).

4 produits\(= x^2 - x + x - 1 = x^2 - 1\) ✓
c) \((x+3)^2 = x^2 + 9\)

❌ FAUX — \((x+3)^2 = (x+3)(x+3)\), il ne faut pas simplement mettre les termes au carré séparément.

4 produits\(= x^2 + 3x + 3x + 9 = x^2 + 6x + 9\)
d) \((2x+1)(x-3) = 2x^2 - 5x - 3\)

✓ VRAI :

4 produits\(= 2x^2 - 6x + x - 3 = 2x^2 - 5x - 3\) ✓
⚠ Erreur très fréquente : \((x+3)^2 \neq x^2 + 9\). On ne peut pas « distribuer » un carré sur une somme terme à terme — il faut écrire le produit \((x+3)(x+3)\) et développer.

Exercice 5 / 6

Réflexion Choisir sa stratégie
✓ Vu

Pour chaque expression, développer et réduire en choisissant la méthode la plus efficace.

a) \((x-5)(x+5)\)
b) \((3x-2)^2\)
c) \((x+4)(x-4) - (x+1)(x+3)\)
d) \(2(x+1)(x-3)\)

💡 Indices

Reconnais-tu une structure particulière dans \((x-5)(x+5)\) ? Que se passera-t-il avec les termes croisés ?
Le \(2\) devant est un facteur séparé. Commence par développer \((x+1)(x-3)\) avec la double distributivité, puis multiplie le résultat par \(2\).
a) \((\textcolor{#dc2626}{x}-\textcolor{#dc2626}{5})(\textcolor{#2563eb}{x}+\textcolor{#2563eb}{5})\)
4 produits\(= x^2 + 5x - 5x - 25\)
Réduit\(= x^2 - 25\)
b) \((3x-2)^2 = (\textcolor{#dc2626}{3x}-\textcolor{#dc2626}{2})(\textcolor{#2563eb}{3x}-\textcolor{#2563eb}{2})\)
4 produits\(= 9x^2 - 6x - 6x + 4\)
Réduit\(= 9x^2 - 12x + 4\)
c) \((x+4)(x-4) - (x+1)(x+3)\)
1er produit\((x+4)(x-4) = x^2 - 16\)
2e produit\((x+1)(x+3) = x^2 + 3x + x + 3 = x^2 + 4x + 3\)
Soustrait\(= (x^2 - 16) - (x^2 + 4x + 3)\)
Signe \(-\)\(= x^2 - 16 - x^2 - 4x - 3\)
Réduit\(= -4x - 19\)
d) \(2(x+1)(x-3)\)
Développe\((x+1)(x-3) = x^2 - 3x + x - 3 = x^2 - 2x - 3\)
Multiplie par 2\(= 2(x^2 - 2x - 3)\)
Distribue\(= 2x^2 - 4x - 6\)

Exercice 6 / 6

Problème Aire Développer et réduire
✓ Vu

Un carré de côté \(x\) cm est agrandi : on augmente sa longueur de \(3\) cm et sa largeur de \(2\) cm pour obtenir un rectangle.

1) Exprimer les dimensions du rectangle en fonction de \(x\).
2) Montrer que l'aire du rectangle vaut \(x^2 + 5x + 6\) cm².
3) Exprimer, en fonction de \(x\), l'augmentation d'aire obtenue par rapport au carré de départ. Développer et réduire.
4) Calculer cette augmentation pour \(x = 5\).

💡 Indices

L'augmentation d'aire = aire du rectangle − aire du carré initial. Quelle est l'aire du carré de côté \(x\) ?
Tu connais l'aire du rectangle grâce à Q2. Soustrais-y l'aire du carré \(x^2\). Que reste-t-il ?
1) Dimensions du rectangle

Longueur : \(x + 3\) cm  |  Largeur : \(x + 2\) cm

2) Aire du rectangle
Aire\(\mathcal{A}_\text{rect} = (x+3)(x+2)\)
4 produits\(= x^2 + 2x + 3x + 6\)
Réduit\(= x^2 + 5x + 6\) ✓
On obtient bien \(\mathcal{A}_\text{rect} = x^2 + 5x + 6\) cm². ✓
3) Augmentation d'aire
Carré initial\(\mathcal{A}_\text{carré} = x^2\)
Augmentation\(\Delta\mathcal{A} = (x^2 + 5x + 6) - x^2\)
Réduit\(\Delta\mathcal{A} = 5x + 6\) cm²
4) Calcul pour \(x = 5\)
Substitue\(\Delta\mathcal{A} = 5 \times 5 + 6 = 25 + 6\)
\(= 31\) cm²
L'augmentation d'aire est de 31 cm² pour \(x = 5\).

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