Factoriser —
Facteur commun

Calcul littéral n°5 — Feuille d'exercices — 2nde

Facteur commun Nombre / Lettre / Monôme Vérifier en développant

📌 Méthode — Mettre en facteur commun

① Repérer le facteur commun
Pour chaque terme, chercher : quel nombre divise tous les coefficients ? Quelle lettre est présente partout ? On prend le plus grand facteur commun.
\(\textcolor{#6b3fa0}{3}x + \textcolor{#6b3fa0}{3} \times 5 = \textcolor{#6b3fa0}{3}(x + 5)\)
② Diviser chaque terme
Ce qui reste dans la parenthèse = chaque terme divisé par le facteur commun. On vérifie en redéveloppant.
\(\textcolor{#6b3fa0}{x^2} + \textcolor{#6b3fa0}{x} \times 7 = \textcolor{#6b3fa0}{x}(x + 7)\)
③ Vérifier
On développe le résultat obtenu : on doit retrouver exactement l'expression de départ.
\(\textcolor{#6b3fa0}{3x}(2x - 5) = 6x^2 - 15x\) ✓
Corrections vues :
0 / 6

Exercice 1 / 6

Facteur numérique Identifier et factoriser
✓ Vu

Factoriser chaque expression en mettant en évidence le facteur commun numérique indiqué.

a) Facteur commun : \(\textcolor{#6b3fa0}{3}\)
\(6x + 9\)
b) Facteur commun : \(\textcolor{#6b3fa0}{5}\)
\(15a - 10\)
c) Facteur commun : \(\textcolor{#6b3fa0}{4}\)
\(12x + 8y - 4\)
d) Facteur commun : \(\textcolor{#6b3fa0}{7}\)
\(14x^2 - 21x\)
e) Facteur commun : \(\textcolor{#6b3fa0}{-2}\)
\(-6x + 4\)
f) Facteur commun : \(\textcolor{#6b3fa0}{-3}\)
\(-9x - 12\)

💡 Indices

Pour trouver ce qui reste dans la parenthèse, divise chaque terme par le facteur commun. Par exemple pour a) : \(6x \div 3 = ?\) et \(9 \div 3 = ?\)
Quand le facteur commun est négatif, les signes à l'intérieur de la parenthèse s'inversent. Vérifie en redéveloppant : tu dois retrouver l'expression de départ.
Méthode : on décompose chaque terme pour faire apparaître le facteur commun en violet, puis ce qui reste en teal. On factorise ensuite.
a) \(6x + 9\)
Décompose\(\textcolor{#6b3fa0}{3} \times \textcolor{#0d9488}{2x} + \textcolor{#6b3fa0}{3} \times \textcolor{#0d9488}{3}\)
Factorise par \(\textcolor{#6b3fa0}{3}\)\(\textcolor{#6b3fa0}{3}(\textcolor{#0d9488}{2x + 3})\)
b) \(15a - 10\)
Décompose\(\textcolor{#6b3fa0}{5} \times \textcolor{#0d9488}{3a} - \textcolor{#6b3fa0}{5} \times \textcolor{#0d9488}{2}\)
Factorise par \(\textcolor{#6b3fa0}{5}\)\(\textcolor{#6b3fa0}{5}(\textcolor{#0d9488}{3a - 2})\)
c) \(12x + 8y - 4\) — trois termes
Décompose\(\textcolor{#6b3fa0}{4} \times \textcolor{#0d9488}{3x} + \textcolor{#6b3fa0}{4} \times \textcolor{#0d9488}{2y} - \textcolor{#6b3fa0}{4} \times \textcolor{#0d9488}{1}\)
Factorise par \(\textcolor{#6b3fa0}{4}\)\(\textcolor{#6b3fa0}{4}(\textcolor{#0d9488}{3x + 2y - 1})\)
d) \(14x^2 - 21x\)
Décompose\(\textcolor{#6b3fa0}{7} \times \textcolor{#0d9488}{2x^2} - \textcolor{#6b3fa0}{7} \times \textcolor{#0d9488}{3x}\)
Factorise par \(\textcolor{#6b3fa0}{7}\)\(\textcolor{#6b3fa0}{7}(\textcolor{#0d9488}{2x^2 - 3x})\)
e) \(-6x + 4\) — facteur négatif
Décompose\(\textcolor{#6b3fa0}{(-2)} \times \textcolor{#0d9488}{3x} + \textcolor{#6b3fa0}{(-2)} \times \textcolor{#0d9488}{(-2)}\)
Factorise par \(\textcolor{#6b3fa0}{-2}\)\(\textcolor{#6b3fa0}{(-2)}(\textcolor{#0d9488}{3x - 2})\)
Vérif.\(-2 \times 3x + (-2) \times (-2) = -6x + 4\) ✓
f) \(-9x - 12\) — facteur négatif
Décompose\(\textcolor{#6b3fa0}{(-3)} \times \textcolor{#0d9488}{3x} + \textcolor{#6b3fa0}{(-3)} \times \textcolor{#0d9488}{4}\)
Factorise par \(\textcolor{#6b3fa0}{-3}\)\(\textcolor{#6b3fa0}{(-3)}(\textcolor{#0d9488}{3x + 4})\)
Vérif.\(-3 \times 3x + (-3) \times 4 = -9x - 12\) ✓
⚠ Facteur négatif : e) et f) les signes à l'intérieur de la parenthèse s'inversent — toujours vérifier en redéveloppant.

Exercice 2 / 6

Facteur littéral Lettre ou monôme
✓ Vu

Factoriser chaque expression. Identifier d'abord le facteur commun.

a)
\(x^2 + 5x\)
b)
\(3a^2 - 7a\)
c)
\(4x^2 + 6x\)
d)
\(12x^3 - 8x^2\)
e)
\(5x^2 + 10x - 15\)
f)
\(6a^2b - 4ab^2\)

💡 Indices

Pour d) : \(x^3\) et \(x^2\) ont tous les deux un facteur \(x^2\) (c'est le plus petit exposant). Que reste-t-il quand on divise \(x^3\) par \(x^2\) ?
Pour e) : cherche d'abord le facteur numérique commun à 5, 10 et 15. Y a-t-il aussi une lettre commune ? Pour f) : les deux termes ont-ils \(a\) ? Et \(b\) ?
Méthode : on décompose chaque terme pour faire apparaître le facteur commun en violet, puis ce qui reste en teal. On factorise ensuite.
a) \(x^2 + 5x\)
Décompose\(\textcolor{#6b3fa0}{x} \times \textcolor{#0d9488}{x} + \textcolor{#6b3fa0}{x} \times \textcolor{#0d9488}{5}\)
Factorise par \(\textcolor{#6b3fa0}{x}\)\(\textcolor{#6b3fa0}{x}(\textcolor{#0d9488}{x + 5})\)
b) \(3a^2 - 7a\)
Décompose\(\textcolor{#6b3fa0}{a} \times \textcolor{#0d9488}{3a} - \textcolor{#6b3fa0}{a} \times \textcolor{#0d9488}{7}\)
Factorise par \(\textcolor{#6b3fa0}{a}\)\(\textcolor{#6b3fa0}{a}(\textcolor{#0d9488}{3a - 7})\)
c) \(4x^2 + 6x\) — facteur commun : \(2x\) (pgcd des coefficients = 2, lettre commune = \(x\))
Décompose\(\textcolor{#6b3fa0}{2x} \times \textcolor{#0d9488}{2x} + \textcolor{#6b3fa0}{2x} \times \textcolor{#0d9488}{3}\)
Factorise par \(\textcolor{#6b3fa0}{2x}\)\(\textcolor{#6b3fa0}{2x}(\textcolor{#0d9488}{2x + 3})\)
d) \(12x^3 - 8x^2\) — facteur commun : \(4x^2\) (pgcd = 4, plus petit exposant = \(x^2\))
Décompose\(\textcolor{#6b3fa0}{4x^2} \times \textcolor{#0d9488}{3x} - \textcolor{#6b3fa0}{4x^2} \times \textcolor{#0d9488}{2}\)
Factorise par \(\textcolor{#6b3fa0}{4x^2}\)\(\textcolor{#6b3fa0}{4x^2}(\textcolor{#0d9488}{3x - 2})\)
e) \(5x^2 + 10x - 15\) — facteur commun : \(5\) (le terme \(-15\) n'a pas de \(x\))
Décompose\(\textcolor{#6b3fa0}{5} \times \textcolor{#0d9488}{x^2} + \textcolor{#6b3fa0}{5} \times \textcolor{#0d9488}{2x} - \textcolor{#6b3fa0}{5} \times \textcolor{#0d9488}{3}\)
Factorise par \(\textcolor{#6b3fa0}{5}\)\(\textcolor{#6b3fa0}{5}(\textcolor{#0d9488}{x^2 + 2x - 3})\)
f) \(6a^2b - 4ab^2\) — facteur commun : \(2ab\) (pgcd = 2, lettres communes = \(a\) et \(b\))
Décompose\(\textcolor{#6b3fa0}{2ab} \times \textcolor{#0d9488}{3a} - \textcolor{#6b3fa0}{2ab} \times \textcolor{#0d9488}{2b}\)
Factorise par \(\textcolor{#6b3fa0}{2ab}\)\(\textcolor{#6b3fa0}{2ab}(\textcolor{#0d9488}{3a - 2b})\)

Exercice 3 / 6

Facteur = expression Reconnaître \((x+a)\)
✓ Vu

Le facteur commun est une expression entre parenthèses. Factoriser chaque expression.

a) \(3(x+2) + 5(x+2)\)
b) \(x(x-1) + 4(x-1)\)
c) \(2x(3x+1) - (3x+1)\)
d) \((x+3)^2 + 5(x+3)\)
e) \(x(x+4) - 3(x+4) + 2(x+4)\)

💡 Indices

Quelle expression identique apparaît dans chaque terme ? C'est elle le facteur commun — traite-la comme un bloc entier, exactement comme tu traiterais un \(x\) ou un nombre.
Pour c) : \(-(3x+1)\) s'écrit \(\mathbf{1} \times -(3x+1)\). Quel est le coefficient devant ce facteur commun ? Pour d) : \((x+3)^2 = (x+3) \times (x+3)\) — le facteur commun est \((x+3)\).
Méthode : on repère l'expression identique dans chaque terme — c'est le facteur commun en violet. Ce qui reste dans la parenthèse est en teal.
a) \(3\textcolor{#6b3fa0}{(x+2)} + 5\textcolor{#6b3fa0}{(x+2)}\)
Décompose\(\textcolor{#6b3fa0}{(x+2)} \times \textcolor{#0d9488}{3} + \textcolor{#6b3fa0}{(x+2)} \times \textcolor{#0d9488}{5}\)
Factorise par \(\textcolor{#6b3fa0}{(x+2)}\)\(\textcolor{#6b3fa0}{(x+2)}(\textcolor{#0d9488}{3+5}) = \textcolor{#6b3fa0}{(x+2)} \times \textcolor{#0d9488}{8}\)
b) \(x\textcolor{#6b3fa0}{(x-1)} + 4\textcolor{#6b3fa0}{(x-1)}\)
Décompose\(\textcolor{#6b3fa0}{(x-1)} \times \textcolor{#0d9488}{x} + \textcolor{#6b3fa0}{(x-1)} \times \textcolor{#0d9488}{4}\)
Factorise par \(\textcolor{#6b3fa0}{(x-1)}\)\(\textcolor{#6b3fa0}{(x-1)}(\textcolor{#0d9488}{x+4})\)
c) \(2x\textcolor{#6b3fa0}{(3x+1)} - 1 \times \textcolor{#6b3fa0}{(3x+1)}\)
Décompose\(\textcolor{#6b3fa0}{(3x+1)} \times \textcolor{#0d9488}{2x} - \textcolor{#6b3fa0}{(3x+1)} \times \textcolor{#0d9488}{1}\)
Factorise par \(\textcolor{#6b3fa0}{(3x+1)}\)\(\textcolor{#6b3fa0}{(3x+1)}(\textcolor{#0d9488}{2x-1})\)

💡 \(-(3x+1) = (-1) \times (3x+1)\) — le coefficient qui reste est \(-1\).

d) \((x+3)^2 + 5\textcolor{#6b3fa0}{(x+3)}\) — on réécrit \((x+3)^2 = \textcolor{#6b3fa0}{(x+3)} \times (x+3)\)
Décompose\(\textcolor{#6b3fa0}{(x+3)} \times \textcolor{#0d9488}{(x+3)} + \textcolor{#6b3fa0}{(x+3)} \times \textcolor{#0d9488}{5}\)
Factorise par \(\textcolor{#6b3fa0}{(x+3)}\)\(\textcolor{#6b3fa0}{(x+3)}(\textcolor{#0d9488}{x+3+5}) = \textcolor{#6b3fa0}{(x+3)}(\textcolor{#0d9488}{x+8})\)
e) \(x\textcolor{#6b3fa0}{(x+4)} - 3\textcolor{#6b3fa0}{(x+4)} + 2\textcolor{#6b3fa0}{(x+4)}\)
Décompose\(\textcolor{#6b3fa0}{(x+4)} \times \textcolor{#0d9488}{x} - \textcolor{#6b3fa0}{(x+4)} \times \textcolor{#0d9488}{3} + \textcolor{#6b3fa0}{(x+4)} \times \textcolor{#0d9488}{2}\)
Factorise par \(\textcolor{#6b3fa0}{(x+4)}\)\(\textcolor{#6b3fa0}{(x+4)}(\textcolor{#0d9488}{x - 3 + 2})\)
Simplifie\(\textcolor{#6b3fa0}{(x+4)}(\textcolor{#0d9488}{x-1})\)

Exercice 4 / 6

Vrai / Faux Pièges classiques
✓ Vu

Chaque factorisation est-elle correcte ? Corriger si nécessaire.

a) \(6x + 4 = 2(3x + 4)\)
b) \(x^2 + x = x(x + 1)\)
c) \(5x^2 - 10x = 5x(x - 2)\)
d) \(3(x+1) + x(x+1) = (x+1)(x+3)\)
e) \(4x^2 + 6 = 2(2x^2 + 6)\)

💡 Indices

Pour vérifier une factorisation, développe le résultat proposé. Si tu retrouves l'expression de départ, c'est correct. Sinon, cherche l'erreur.
Pour a) : \(2 \times 4 = 8 \neq 4\). Le facteur commun a bien été sorti, mais vérifie ce qui reste dans la parenthèse pour chaque terme. Pour e) : est-ce que \(2 \times 6 = 6\) ?
a) \(6x + 4 = 2(3x + 4)\)

❌ FAUX — vérification : \(2(3x+4) = 6x + 8 \neq 6x + 4\).

Correction : \(4 \div 2 = 2\), donc \(6x + 4 = 2(3x + 2)\).

b) \(x^2 + x = x(x+1)\)

✓ VRAI — vérification : \(x(x+1) = x^2 + x\) ✓

c) \(5x^2 - 10x = 5x(x-2)\)

✓ VRAI — vérification : \(5x(x-2) = 5x^2 - 10x\) ✓

d) \(3(x+1) + x(x+1) = (x+1)(x+3)\)

✓ VRAI — le facteur commun \((x+1)\) est bien mis en évidence : \((x+1)(3+x) = (x+1)(x+3)\) ✓

e) \(4x^2 + 6 = 2(2x^2 + 6)\)

❌ FAUX — vérification : \(2(2x^2 + 6) = 4x^2 + 12 \neq 4x^2 + 6\).

Correction : \(6 \div 2 = 3\), donc \(4x^2 + 6 = 2(2x^2 + 3)\).

⚠ Erreur fréquente : sortir le facteur commun du premier terme seulement et oublier de diviser les autres. Toujours vérifier en redéveloppant.

Exercice 5 / 6

Sans aide Trouver le facteur
✓ Vu

Factoriser chaque expression en cherchant seul le facteur commun.

a) \(8x - 12\)
b) \(x^3 + x^2\)
c) \(6x^2 - 9xy\)
d) \((2x-3)(x+1) + (2x-3)(x-4)\)
e) \(x(x+2) + (x+2)\)

💡 Indices

\(x^3 = x^2 \times x\). Quel est le plus grand facteur littéral commun à \(x^3\) et \(x^2\) ?
Le deuxième terme \((x+2)\) peut s'écrire \(1 \times (x+2)\). Le facteur commun est donc \((x+2)\). Que reste-t-il après ?
a) \(8x - 12\)
Décompose\(\textcolor{#6b3fa0}{4} \times \textcolor{#0d9488}{2x} - \textcolor{#6b3fa0}{4} \times \textcolor{#0d9488}{3}\)
Factorise par \(\textcolor{#6b3fa0}{4}\)\(\textcolor{#6b3fa0}{4}(\textcolor{#0d9488}{2x - 3})\)
b) \(x^3 + x^2\)
Décompose\(\textcolor{#6b3fa0}{x^2} \times \textcolor{#0d9488}{x} + \textcolor{#6b3fa0}{x^2} \times \textcolor{#0d9488}{1}\)
Factorise par \(\textcolor{#6b3fa0}{x^2}\)\(\textcolor{#6b3fa0}{x^2}(\textcolor{#0d9488}{x + 1})\)
c) \(6x^2 - 9xy\) — facteur commun : \(3x\) (pgcd = 3, lettre commune = \(x\))
Décompose\(\textcolor{#6b3fa0}{3x} \times \textcolor{#0d9488}{2x} - \textcolor{#6b3fa0}{3x} \times \textcolor{#0d9488}{3y}\)
Factorise par \(\textcolor{#6b3fa0}{3x}\)\(\textcolor{#6b3fa0}{3x}(\textcolor{#0d9488}{2x - 3y})\)
d) \(\textcolor{#6b3fa0}{(2x-3)}(x+1) + \textcolor{#6b3fa0}{(2x-3)}(x-4)\)
Décompose\(\textcolor{#6b3fa0}{(2x-3)} \times \textcolor{#0d9488}{(x+1)} + \textcolor{#6b3fa0}{(2x-3)} \times \textcolor{#0d9488}{(x-4)}\)
Factorise par \(\textcolor{#6b3fa0}{(2x-3)}\)\(\textcolor{#6b3fa0}{(2x-3)}\big[\textcolor{#0d9488}{(x+1)+(x-4)}\big]\)
Simplifie\(\textcolor{#6b3fa0}{(2x-3)}(\textcolor{#0d9488}{2x-3}) = (2x-3)^2\)
e) \(x\textcolor{#6b3fa0}{(x+2)} + 1 \times \textcolor{#6b3fa0}{(x+2)}\) — le 2e terme vaut \(1 \times (x+2)\)
Décompose\(\textcolor{#6b3fa0}{(x+2)} \times \textcolor{#0d9488}{x} + \textcolor{#6b3fa0}{(x+2)} \times \textcolor{#0d9488}{1}\)
Factorise par \(\textcolor{#6b3fa0}{(x+2)}\)\(\textcolor{#6b3fa0}{(x+2)}(\textcolor{#0d9488}{x+1})\)

Exercice 6 / 6

Problème Factoriser pour simplifier Aire
✓ Vu

Une figure est composée d'un grand rectangle de dimensions \(5x\) par \((x+3)\), duquel on a retiré un petit rectangle de dimensions \(2x\) par \((x+3)\).

1) Écrire l'expression de l'aire de la figure sous la forme d'une différence de deux produits.
2) Montrer que cette aire peut se factoriser en \(3x(x+3)\).
3) En développant \(3x(x+3)\), vérifier que les deux expressions sont bien égales.
4) Calculer l'aire pour \(x = 4\).

💡 Indices

Aire de la figure = aire grand rectangle − aire petit rectangle. Écris chaque aire comme un produit de ses deux dimensions, sans développer.
Dans l'expression trouvée en Q1, quel facteur est commun aux deux termes ? Pense à la fois au facteur numérique et au facteur littéral.
1) Aire de la figure
Grand rect.\(\mathcal{A}_1 = 5x(x+3)\)
Petit rect.\(\mathcal{A}_2 = 2x(x+3)\)
Figure\(\mathcal{A} = 5x(x+3) - 2x(x+3)\)
2) Factorisation
Décompose\(\textcolor{#6b3fa0}{x(x+3)} \times \textcolor{#0d9488}{5} - \textcolor{#6b3fa0}{x(x+3)} \times \textcolor{#0d9488}{2}\)
Factorise par \(\textcolor{#6b3fa0}{x(x+3)}\)\(\textcolor{#6b3fa0}{x(x+3)} \times \textcolor{#0d9488}{(5-2)}\)
Simplifie\(\textcolor{#6b3fa0}{x(x+3)} \times \textcolor{#0d9488}{3} = 3x(x+3)\) ✓
On obtient bien \(\mathcal{A} = 3x(x+3)\). ✓
3) Vérification par développement
Développe\(3x(x+3) = 3x^2 + 9x\)
Depuis Q1\(5x(x+3) - 2x(x+3) = 5x^2+15x - 2x^2-6x = 3x^2+9x\) ✓
4) Calcul pour \(x = 4\)
Forme factorisée\(\mathcal{A} = 3 \times 4 \times (4+3) = 12 \times 7\)
\(= 84\) unités²
L'aire vaut 84 unités² pour \(x = 4\). La forme factorisée est plus rapide à calculer !

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