I. Simplifier et réduire
1. Simplifier
📌 Convention
Dans une expression littérale, on peut supprimer le signe \(\times\) lorsqu'il est placé devant une lettre ou une parenthèse.
\(2 \times b = 2b \qquad\qquad 4 \times (a+3) = 4(a+3)\)
📗 Propriété
Pour simplifier un produit de plusieurs facteurs, on peut modifier l'ordre de ses facteurs.
\(3 \times x \times 2 = 2 \times 3 \times x = 6x\)
✏️ Exemple
Simplifier les expressions suivantes :
1) \(2 \times b\) . . . . . . \(= 2b\) 2) \(a \times b\) . . . . . . \(= ab\) 3) \(1 \times x\) . . . . . . \(= x\) 4) \(4 \times (7a + 3)\) . . . . . . \(= 4(7a+3)\) 5) \(2x \times 3x\) . . . . . . \(= 6x^2\) 6) \(x \times x\) . . . . . . \(= x^2\) 7) \(x \times x \times x\) . . . . . . \(= x^3\)
▶ Voir la correction
💡 3) Multiplier par 1 ne change pas un nombre : \(1 \times x = x\).4) On supprime le \(\times\), mais on ne développe pas : la parenthèse reste.5) On regroupe les nombres : \(2 \times 3 = 6\), puis les lettres : \(x \times x = x^2\).
2. Réduire
📗 Propriété
On peut regrouper les termes semblables , c'est-à-dire les termes qui contiennent la même lettre .
\(\textcolor{#1a6fa0}{ax} + \textcolor{#1a6fa0}{bx}\) se réduit en \(\textcolor{#1a6fa0}{(a+b)x}\)
⚠️ Attention
Multiplication répétée
\(x^2 = x \times x\)
Addition répétée
\(2x = x + x\)
\(x^2 \neq 2x\) — ce sont deux choses complètement différentes !
✏️ Exemple
Réduire, si possible, les expressions suivantes :
1)
\(2x + 3x\)
\(2x\) \(+\) \(3x\) . . . . . . \(= 5x\)
2)
\(5x - 3x\)
\(5x\) \(-\) \(3x\) . . . . . . \(= 2x\)
3)
\(2x + 2y\)
\(2x\) \(+\) \(2y\) . . . . . . Impossible(\(x\) et \(y\) sont différents)
4)
\(2x + 10x^2 + x\)
\(2x\) \(+\) \(10x^2\) \(+\) \(\underbrace{1x}_{x=1x}\) . . . . . . \(10x^2\) \(+\) \(3x\)
▶ Voir la correction
💡 Les termes de même couleur ont la même lettre avec le même exposant : on les additionne ou soustrait.3) \(x\) et \(y\) sont deux lettres différentes : impossible à réduire.4) \(x\) sans chiffre devant c'est \(1x\). Donc \(2x + 1x = 3x\). Et \(\textcolor{#c0392b}{x^2} \neq x\) : on ne les mélange pas.
🧩 Exercice
Réduire, si possible, les expressions suivantes :
a)
\(4x + 2x\)
\(4x\) \(+\) \(2x\) . . . . . . \(= 6x\)
b)
\(7a - 3a + 2\)
\(7a\) \(-\) \(3a\) \(+\) \(2\) . . . . . . \(4a\) \(+\) \(2\)
c)
\(3x + 5y + x\)
\(3x\) \(+\) \(5y\) \(+\) \(\underbrace{1x}_{x=1x}\) . . . . . . \(4x\) \(+\) \(5y\)
d)
\(6b + 3a + 2b\)
\(3a\) \(+\) \(6b\) \(+\) \(2b\) . . . . . . \(3a\) \(+\) \(8b\)
▶ Voir la correction
💡 Termes de même couleur = même lettre = on les regroupe.c) Le \(x\) seul vaut \(1x\) : \(3x + 1x = 4x\). Le \(5y\) reste seul car \(y \neq x\).d) On peut réorganiser : \(3a + 6b + 2b = 3a + 8b\).
II. Utiliser une expression littérale
📘 Définition
Calculer la valeur d'une expression littérale, c'est attribuer un nombre à chaque lettre de l'expression afin d'effectuer le calcul.
✏️ Exemple
Calculer \(A = 2x + 3y - 5\) lorsque \(x = 1\) et \(y = 3\).
▶ Voir la correction
Substitue \(A = 2 \times \textcolor{#6b3fa0}{1} + 3 \times \textcolor{#1b7a40}{3} - 5\)
\(\times\) d'abord \(A = \textcolor{#1a6fa0}{2} + \textcolor{#1b7a40}{9} - 5\)
G → D \(A = 11 - 5\)
\(A = \textcolor{#c0392b}{6}\)
🧩 Exercice
Calculer \(B = 4x - 3\) pour \(x = 5\), puis pour \(x = 0\).
▶ Voir la correction
Pour \(x = 5\) :
Substitue \(B = 4 \times \textcolor{#6b3fa0}{5} - 3\)
\(\times\) d'abord \(B = 20 - 3\)
\(B = \textcolor{#c0392b}{17}\)
Pour \(x = 0\) :
Substitue \(B = 4 \times \textcolor{#6b3fa0}{0} - 3\)
\(\times\) d'abord \(B = 0 - 3\)
\(B = \textcolor{#c0392b}{-3}\)
III. Développer
📘 Définition
Développer , c'est transformer un produit en somme ou en différence.
1. Simple distributivité
📙 Propriété – Distributivité
\(k\), \(a\) et \(b\) désignent des nombres :
\(\textcolor{#c0392b}{k}(\textcolor{#1a6fa0}{a} + \textcolor{#1b7a40}{b}) = \textcolor{#c0392b}{k}\textcolor{#1a6fa0}{a} + \textcolor{#c0392b}{k}\textcolor{#1b7a40}{b}\)
Le facteur \(\textcolor{#c0392b}{k}\) se distribue sur chaque terme entre parenthèses.
✏️ Exemple
Développer : \(A = 7(4 + x)\)
▶ Voir la correction
Distribue \(A = \textcolor{#c0392b}{7} \times \textcolor{#1a6fa0}{4} + \textcolor{#c0392b}{7} \times \textcolor{#1b7a40}{x}\)
Calcule \(A = \textcolor{#1a6fa0}{28} + \textcolor{#1b7a40}{7x}\)
\(A = \textcolor{#c0392b}{28 + 7x}\)
✏️ Exemple
Développer : \(B = -3(x - 5)\)
▶ Voir la correction
Distribue \(B = \textcolor{#c0392b}{(-3)} \times \textcolor{#1a6fa0}{x} - \textcolor{#c0392b}{(-3)} \times \textcolor{#1b7a40}{5}\)
Signe \(- \times -\) \(B = \textcolor{#1a6fa0}{-3x} + \textcolor{#1b7a40}{15}\)
\(B = \textcolor{#c0392b}{-3x + 15}\)
⚠️ Attention aux signes
Quand le facteur extérieur est négatif , tous les signes à l'intérieur de la parenthèse s'inversent :
\(\textcolor{#c0392b}{-k}(\textcolor{#1a6fa0}{a} + \textcolor{#1b7a40}{b}) = \textcolor{#c0392b}{-k}\textcolor{#1a6fa0}{a} - \textcolor{#c0392b}{k}\textcolor{#1b7a40}{b}\)
Rappel : \((-) \times (+) = (-)\) et \((-) \times (-) = (+)\)
🧩 Exercice
Développer et réduire :
\(C = -5(x + 3) \qquad D = -2(4x - 7) \qquad E = 3(x - 4) - 2(x + 1)\)
▶ Voir la correction
\(C = -5(x+3)\)
Distribue \(= \textcolor{#c0392b}{(-5)} \times x + \textcolor{#c0392b}{(-5)} \times 3\)
\(= \textcolor{#c0392b}{-5x - 15}\)
\(D = -2(4x-7)\)
Distribue \(= \textcolor{#c0392b}{(-2)} \times 4x - \textcolor{#c0392b}{(-2)} \times 7\)
\(-\times -\) \(= \textcolor{#c0392b}{-8x + 14}\)
\(E = 3(x-4)-2(x+1)\)
Distribue \(= 3x - 12 - 2x - 2\)
Réduit \(= \textcolor{#c0392b}{x - 14}\)
💡 D) \(-2 \times (-7) = +14\) : deux négatifs font un positif.E) \(-2(x+1) = -2x - 2\), pas \(-2x + 2\).
2. Opposé d'une expression littérale
📘 Règle du signe devant une parenthèse
Si la parenthèse est précédée de + : on enlève la parenthèse, les signes ne changent pas.
\(+(a - b) = a - b\)
Si la parenthèse est précédée de − : on enlève la parenthèse et on change le signe de chaque terme .
\(-(a - b) = -a + b\)
✏️ Exemple — signe −
Développer et réduire :
▶ Voir la correction
Signe − On change les signes des termes dans la parenthèse :
\(A = 4x \textcolor{#c0392b}{- 5x + 6}\)
Réduit \(A = \textcolor{#c0392b}{-x + 6}\)
✏️ Exemple — signe +
Développer et réduire :
▶ Voir la correction
Signe + Les signes ne changent pas :
\(B = 4x \textcolor{#1b7a40}{+ 5x - 6}\)
Réduit \(B = \textcolor{#1b7a40}{9x - 6}\)
3. Double distributivité
📙 Propriété – Double distributivité
Quels que soient les nombres \(a, b, c, d\) :
\((\textcolor{#dc2626}{a} + \textcolor{#dc2626}{b})(\textcolor{#2563eb}{c} + \textcolor{#2563eb}{d}) = \textcolor{#dc2626}{a}\textcolor{#2563eb}{c} + \textcolor{#dc2626}{a}\textcolor{#2563eb}{d} + \textcolor{#dc2626}{b}\textcolor{#2563eb}{c} + \textcolor{#dc2626}{b}\textcolor{#2563eb}{d}\)
Chaque terme du 1er facteur se multiplie par chaque terme du 2e → 4 produits .
✏️ Exemple
Développer et réduire \(A = (\textcolor{#dc2626}{x + 3})(\textcolor{#2563eb}{x + 5})\).
▶ Voir la correction
📊 Méthode du tableau
× x 5 x \(x^2\) \(5x\) 3 \(3x\) \(15\)
\(A = x^2 + 5x + 3x + 15 =\) \(x^2 + 8x + 15\)
✏️ Méthode du calcul
\(A = \textcolor{#dc2626}{x}(\textcolor{#2563eb}{x+5}) + \textcolor{#dc2626}{3}(\textcolor{#2563eb}{x+5})\)
\(= x^2 + 5x + 3x + 15\)
\(=\) \(x^2 + 8x + 15\)
🧩 Exercice
Développer et réduire :
\(B = (\textcolor{#dc2626}{-3 + 2x})(\textcolor{#2563eb}{7 - x})\)
▶ Voir la correction
📊 Méthode du tableau
× 7 \(-x\) \(-3\) \(-21\) \(3x\) \(2x\) \(14x\) \(-2x^2\)
\(-21 + 3x + 14x - 2x^2 =\) \(-2x^2 + 17x - 21\)
✏️ Méthode du calcul
\(B = \textcolor{#dc2626}{(-3)} \times \textcolor{#2563eb}{7} + \textcolor{#dc2626}{(-3)} \times \textcolor{#2563eb}{(-x)}\)
\(\phantom{B =} + \textcolor{#dc2626}{2x} \times \textcolor{#2563eb}{7} + \textcolor{#dc2626}{2x} \times \textcolor{#2563eb}{(-x)}\)
\(= -21 + 3x + 14x - 2x^2\)
\(=\) \(-2x^2 + 17x - 21\)
IV. Factoriser
📘 Définition
Factoriser , c'est transformer une somme ou une différence en produit .
📗 Propriété
\(k\), \(a\) et \(b\) désignent des nombres :
\(\textcolor{#6b3fa0}{k}a + \textcolor{#6b3fa0}{k}b = \textcolor{#6b3fa0}{k}(a + b)\)
On cherche le facteur commun à tous les termes, puis on le met en facteur.
✏️ Exemple
Factoriser les expressions suivantes :
1)
\(2 \times x + 2 \times 4\)
Facteur commun : 2
. . . . . . \(= 2(x + 4)\)
2)
\(12x^2 - 15x\)
Facteur commun : 3x
. . . . . . \(= 3x(4x - 5)\)
3)
\(x^2 + 7x\)
Facteur commun : x
. . . . . . \(= x(x + 7)\)
▶ Voir la correction
💡 Toujours vérifier en développant le résultat : on doit retrouver l'expression de départ.2) \(12\) et \(15\) sont divisibles par \(3\), et les deux termes ont un facteur \(x\) → facteur commun \(3x\).
Identités remarquables
📗 Propriété — Les trois identités remarquables
Les éléments en bleu et en orange te montrent d'où vient chaque terme du résultat :
Ces égalités s'utilisent dans les deux sens : ➡️ développer (gauche → droite) et ⬅️ factoriser (droite → gauche).
① Carré d'une somme
✏️ Exemple — Développer
Développer \((\textcolor{#1a6fa0}{x}+\textcolor{#b85c0b}{5})^{2}\)
▶ Voir la correction
On repère : premier terme \(= x\) et second terme \(= 5\) .
Identité ① \((\textcolor{#1a6fa0}{x}+\textcolor{#b85c0b}{5})^{2} = \textcolor{#1a6fa0}{x}^{2}+\textcolor{#6b3fa0}{2\times\textcolor{#1a6fa0}{x}\times\textcolor{#b85c0b}{5}}+\textcolor{#b85c0b}{5}^{2}\)
Calcule \(= \textcolor{#1a6fa0}{x^{2}}+\textcolor{#6b3fa0}{10x}+\textcolor{#b85c0b}{25}\)
✏️ Exemple — Factoriser
Factoriser \(\textcolor{#1a6fa0}{x^{2}}+\textcolor{#6b3fa0}{8x}+\textcolor{#b85c0b}{16}\)
▶ Voir la correction
\(\sqrt{x^{2}}=x\) · \(\sqrt{16}=4\) · Vérif : \(2\times x\times 4=8x\) ✓
Reconnaît \(\textcolor{#1a6fa0}{x^{2}}+\textcolor{#6b3fa0}{8x}+\textcolor{#b85c0b}{16}=\textcolor{#1a6fa0}{x}^{2}+\textcolor{#6b3fa0}{2\times\textcolor{#1a6fa0}{x}\times\textcolor{#b85c0b}{4}}+\textcolor{#b85c0b}{4}^{2}\)
Identité ① \(=\textcolor{#c0392b}{(\textcolor{#1a6fa0}{x}+\textcolor{#b85c0b}{4})^{2}}\)
🧩 Exercice — Identité ①
➡️ Développer
\(\text{a)}\;(x+3)^{2}\qquad\text{b)}\;(x+7)^{2}\qquad\text{c)}\;(2x+1)^{2}\)
▶ Correction — Développer
a) \((\textcolor{#1a6fa0}{x}+\textcolor{#b85c0b}{3})^{2}\)
\(=\textcolor{#1a6fa0}{x^{2}}+\textcolor{#6b3fa0}{2\times x\times 3}+\textcolor{#b85c0b}{3^{2}}\)
\(=\textcolor{#c0392b}{x^{2}+6x+9}\)
b) \((\textcolor{#1a6fa0}{x}+\textcolor{#b85c0b}{7})^{2}\)
\(=\textcolor{#1a6fa0}{x^{2}}+\textcolor{#6b3fa0}{2\times x\times 7}+\textcolor{#b85c0b}{7^{2}}\)
\(=\textcolor{#c0392b}{x^{2}+14x+49}\)
c) \((\textcolor{#1a6fa0}{2x}+\textcolor{#b85c0b}{1})^{2}\) ⚠️ \((2x)^{2}=4x^{2}\)
\(=\textcolor{#1a6fa0}{(2x)^{2}}+\textcolor{#6b3fa0}{2\times 2x\times 1}+\textcolor{#b85c0b}{1^{2}}\)
\(=\textcolor{#c0392b}{4x^{2}+4x+1}\)
⬅️ Factoriser
\(\text{d)}\;x^{2}+6x+9\qquad\text{e)}\;x^{2}+12x+36\qquad\text{f)}\;x^{2}+10x+25\)
▶ Correction — Factoriser
d) \(\textcolor{#1a6fa0}{x^{2}}+\textcolor{#6b3fa0}{6x}+\textcolor{#b85c0b}{9}\)
\(\sqrt{x^{2}}=x\) · \(\sqrt{9}=3\) · \(2\times x\times 3=6x\) ✓
\(=\textcolor{#c0392b}{(x+3)^{2}}\)
e) \(\textcolor{#1a6fa0}{x^{2}}+\textcolor{#6b3fa0}{12x}+\textcolor{#b85c0b}{36}\)
\(\sqrt{x^{2}}=x\) · \(\sqrt{36}=6\) · \(2\times x\times 6=12x\) ✓
\(=\textcolor{#c0392b}{(x+6)^{2}}\)
f) \(\textcolor{#1a6fa0}{x^{2}}+\textcolor{#6b3fa0}{10x}+\textcolor{#b85c0b}{25}\)
\(\sqrt{x^{2}}=x\) · \(\sqrt{25}=5\) · \(2\times x\times 5=10x\) ✓
\(=\textcolor{#c0392b}{(x+5)^{2}}\)
💡 Méthode : prends la racine carrée du 1er terme et la racine carrée du dernier terme , puis vérifie que le terme du milieu vaut bien \(2\times\) bleu \(\times\) orange.
② Carré d'une différence
⚠️ Piège fréquent
Le dernier terme est toujours positif \(\textcolor{#b85c0b}{+b^{2}}\), même si on part d'une différence . Car \(\textcolor{#b85c0b}{(-b)}\times\textcolor{#b85c0b}{(-b)}=\textcolor{#b85c0b}{+b^{2}}\).Ne pas confondre \((a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\) avec \(a^{2}-b^{2}\) (identité ③) !
✏️ Exemple — Développer
Développer \((\textcolor{#1a6fa0}{x}-\textcolor{#b85c0b}{4})^{2}\)
▶ Voir la correction
On repère : premier terme \(= x\) et second terme \(= 4\) .
Identité ② \((\textcolor{#1a6fa0}{x}-\textcolor{#b85c0b}{4})^{2}=\textcolor{#1a6fa0}{x}^{2}-\textcolor{#6b3fa0}{2\times\textcolor{#1a6fa0}{x}\times\textcolor{#b85c0b}{4}}+\textcolor{#b85c0b}{4}^{2}\)
Calcule \(=\textcolor{#1a6fa0}{x^{2}}-\textcolor{#6b3fa0}{8x}+\textcolor{#b85c0b}{16}\)
✏️ Exemple — Factoriser
Factoriser \(\textcolor{#1a6fa0}{x^{2}}-\textcolor{#6b3fa0}{10x}+\textcolor{#b85c0b}{25}\)
▶ Voir la correction
\(\sqrt{x^{2}}=x\) · \(\sqrt{25}=5\) · Vérif : \(2\times x\times 5=10x\) ✓ — signe du milieu \(-\) → identité ②.
Reconnaît \(\textcolor{#1a6fa0}{x^{2}}-\textcolor{#6b3fa0}{10x}+\textcolor{#b85c0b}{25}=\textcolor{#1a6fa0}{x}^{2}-\textcolor{#6b3fa0}{2\times\textcolor{#1a6fa0}{x}\times\textcolor{#b85c0b}{5}}+\textcolor{#b85c0b}{5}^{2}\)
Identité ② \(=\textcolor{#c0392b}{(\textcolor{#1a6fa0}{x}-\textcolor{#b85c0b}{5})^{2}}\)
🧩 Exercice — Identité ②
➡️ Développer
\(\text{a)}\;(x-2)^{2}\qquad\text{b)}\;(x-6)^{2}\qquad\text{c)}\;(3x-2)^{2}\)
▶ Correction — Développer
a) \((\textcolor{#1a6fa0}{x}-\textcolor{#b85c0b}{2})^{2}\)
\(=\textcolor{#1a6fa0}{x^{2}}-\textcolor{#6b3fa0}{2\times x\times 2}+\textcolor{#b85c0b}{2^{2}}\)
\(=\textcolor{#c0392b}{x^{2}-4x+4}\)
b) \((\textcolor{#1a6fa0}{x}-\textcolor{#b85c0b}{6})^{2}\)
\(=\textcolor{#1a6fa0}{x^{2}}-\textcolor{#6b3fa0}{2\times x\times 6}+\textcolor{#b85c0b}{6^{2}}\)
\(=\textcolor{#c0392b}{x^{2}-12x+36}\)
c) \((\textcolor{#1a6fa0}{3x}-\textcolor{#b85c0b}{2})^{2}\) ⚠️ \((3x)^{2}=9x^{2}\)
\(=\textcolor{#1a6fa0}{(3x)^{2}}-\textcolor{#6b3fa0}{2\times 3x\times 2}+\textcolor{#b85c0b}{2^{2}}\)
\(=\textcolor{#c0392b}{9x^{2}-12x+4}\)
⬅️ Factoriser
\(\text{d)}\;x^{2}-4x+4\qquad\text{e)}\;x^{2}-14x+49\qquad\text{f)}\;x^{2}-18x+81\)
▶ Correction — Factoriser
d) \(\textcolor{#1a6fa0}{x^{2}}-\textcolor{#6b3fa0}{4x}+\textcolor{#b85c0b}{4}\)
\(\sqrt{x^{2}}=x\) · \(\sqrt{4}=2\) · \(2\times x\times 2=4x\) ✓
\(=\textcolor{#c0392b}{(x-2)^{2}}\)
e) \(\textcolor{#1a6fa0}{x^{2}}-\textcolor{#6b3fa0}{14x}+\textcolor{#b85c0b}{49}\)
\(\sqrt{x^{2}}=x\) · \(\sqrt{49}=7\) · \(2\times x\times 7=14x\) ✓
\(=\textcolor{#c0392b}{(x-7)^{2}}\)
f) \(\textcolor{#1a6fa0}{x^{2}}-\textcolor{#6b3fa0}{18x}+\textcolor{#b85c0b}{81}\)
\(\sqrt{x^{2}}=x\) · \(\sqrt{81}=9\) · \(2\times x\times 9=18x\) ✓
\(=\textcolor{#c0392b}{(x-9)^{2}}\)
③ Produit de la somme par la différence
✏️ Exemple — Développer
Développer \((\textcolor{#1a6fa0}{x}+\textcolor{#b85c0b}{7})(\textcolor{#1a6fa0}{x}-\textcolor{#b85c0b}{7})\)
▶ Voir la correction
On repère : premier terme \(=x\) et second terme \(=7\) . Les deux parenthèses ont la même structure → identité ③.
Identité ③ \((\textcolor{#1a6fa0}{x}+\textcolor{#b85c0b}{7})(\textcolor{#1a6fa0}{x}-\textcolor{#b85c0b}{7})=\textcolor{#1a6fa0}{x}^{2}-\textcolor{#b85c0b}{7}^{2}\)
Calcule \(=\textcolor{#c0392b}{x^{2}-49}\)
✏️ Exemple — Factoriser
Factoriser \(\textcolor{#1a6fa0}{x^{2}}-\textcolor{#b85c0b}{36}\)
▶ Voir la correction
Deux carrés avec un « − » entre eux → identité ③. \(\sqrt{x^{2}}=x\) · \(\sqrt{36}=6\) .
Reconnaît \(\textcolor{#1a6fa0}{x^{2}}-\textcolor{#b85c0b}{36}=\textcolor{#1a6fa0}{x}^{2}-\textcolor{#b85c0b}{6}^{2}\)
Identité ③ \(=\textcolor{#c0392b}{(\textcolor{#1a6fa0}{x}+\textcolor{#b85c0b}{6})(\textcolor{#1a6fa0}{x}-\textcolor{#b85c0b}{6})}\)
🧩 Exercice — Identité ③
➡️ Développer
\(\text{a)}\;(x+3)(x-3)\qquad\text{b)}\;(x+8)(x-8)\qquad\text{c)}\;(2x+5)(2x-5)\)
▶ Correction — Développer
a) \((\textcolor{#1a6fa0}{x}+\textcolor{#b85c0b}{3})(\textcolor{#1a6fa0}{x}-\textcolor{#b85c0b}{3})\)
\(=\textcolor{#1a6fa0}{x}^{2}-\textcolor{#b85c0b}{3}^{2}=\textcolor{#c0392b}{x^{2}-9}\)
b) \((\textcolor{#1a6fa0}{x}+\textcolor{#b85c0b}{8})(\textcolor{#1a6fa0}{x}-\textcolor{#b85c0b}{8})\)
\(=\textcolor{#1a6fa0}{x}^{2}-\textcolor{#b85c0b}{8}^{2}=\textcolor{#c0392b}{x^{2}-64}\)
c) \((\textcolor{#1a6fa0}{2x}+\textcolor{#b85c0b}{5})(\textcolor{#1a6fa0}{2x}-\textcolor{#b85c0b}{5})\) ⚠️ \((2x)^{2}=4x^{2}\)
\(=\textcolor{#1a6fa0}{(2x)}^{2}-\textcolor{#b85c0b}{5}^{2}=\textcolor{#c0392b}{4x^{2}-25}\)
💡 Astuce mentale : \(99\times 101=(100-1)(100+1)=100^{2}-1^{2}=9\,999\). L'identité ③ permet des calculs rapides !
⬅️ Factoriser
\(\text{d)}\;\textcolor{#1a6fa0}{x^{2}}-\textcolor{#b85c0b}{4}\qquad\text{e)}\;\textcolor{#1a6fa0}{x^{2}}-\textcolor{#b85c0b}{25}\qquad\text{f)}\;\textcolor{#1a6fa0}{x^{2}}-\textcolor{#b85c0b}{100}\)
▶ Correction — Factoriser
d) \(\textcolor{#1a6fa0}{x^{2}}-\textcolor{#b85c0b}{4}\)
\(\sqrt{x^{2}}=x\) · \(\sqrt{4}=2\)
Identité ③ \(=\textcolor{#1a6fa0}{x}^{2}-\textcolor{#b85c0b}{2}^{2}\)
\(=\textcolor{#c0392b}{(\textcolor{#1a6fa0}{x}+\textcolor{#b85c0b}{2})(\textcolor{#1a6fa0}{x}-\textcolor{#b85c0b}{2})}\)
e) \(\textcolor{#1a6fa0}{x^{2}}-\textcolor{#b85c0b}{25}\)
\(\sqrt{x^{2}}=x\) · \(\sqrt{25}=5\)
Identité ③ \(=\textcolor{#1a6fa0}{x}^{2}-\textcolor{#b85c0b}{5}^{2}\)
\(=\textcolor{#c0392b}{(\textcolor{#1a6fa0}{x}+\textcolor{#b85c0b}{5})(\textcolor{#1a6fa0}{x}-\textcolor{#b85c0b}{5})}\)
f) \(\textcolor{#1a6fa0}{x^{2}}-\textcolor{#b85c0b}{100}\)
\(\sqrt{x^{2}}=x\) · \(\sqrt{100}=10\)
Identité ③ \(=\textcolor{#1a6fa0}{x}^{2}-\textcolor{#b85c0b}{10}^{2}\)
\(=\textcolor{#c0392b}{(\textcolor{#1a6fa0}{x}+\textcolor{#b85c0b}{10})(\textcolor{#1a6fa0}{x}-\textcolor{#b85c0b}{10})}\)
V. Utiliser le calcul littéral pour démontrer
1. Égalités d'expressions
📘 Définition
Deux expressions littérales sont égales si elles donnent le même résultat pour n'importe quelle valeur des lettres. Pour le prouver, on développe et réduit chaque membre séparément, puis on compare.
✏️ Exemple
Prouver que pour tout \(x\) :
▶ Voir la correction
Membre gauche
Développe \(10x - 2x^2 + 15 - 3x + 10\)
Réduit \(\textcolor{#1a6fa0}{-2x^2 + 7x + 25}\)
Membre droit
Développe \(47 + 7x - 2x^2 - 22\)
Réduit \(\textcolor{#1b7a40}{-2x^2 + 7x + 25}\)
Donc :
Gauche \(= -2x^2 + 7x + 25 =\) Droite. L'égalité est vraie pour tout \(x\) .
2. Contre-exemples
📘 Définition
Il suffit de trouver un seul exemple pour lequel deux expressions donnent des résultats différents pour prouver qu'elles ne sont pas égales. Cet exemple s'appelle un contre-exemple .
✏️ Exemple
Léo affirme : « pour tous \(a\) et \(b\) : \((a+b)^2 = a^2 + b^2\) ». A-t-il raison ?
▶ Voir la correction
Membre gauche
Substitue \((2 + 3)^2 = 5^2\)
\(= \textcolor{#c0392b}{25}\)
Membre droit
Substitue \(2^2 + 3^2 = 4 + 9\)
\(= \textcolor{#c0392b}{13}\)
Donc :
Gauche \(= 25 \neq 13 =\) Droite. L'égalité est fausse pour \(a=2, b=3\).
\(a=2, b=3\) est un contre-exemple : Léo a tort .