Équations du premier degré

Chapitre 4 — Équations & Inéquations — Feuille n°1 — 2nde

⚖ Isoler x ↔ Développer ✓ Vérifier

📌 La méthode à connaître

① Développer / réduire
On développe les parenthèses et on réduit chaque membre avant de commencer à isoler x.
\(5(x-3) = 5x - 15\)
② Additionner / soustraire
On ajoute ou on retranche le même nombre (ou terme en x) aux deux membres pour regrouper les x d'un côté.
\(2x - 15 = 1 \;\Rightarrow\; 2x = 16\)
③ Multiplier / diviser
On multiplie ou on divise les deux membres par le même nombre non nul pour isoler x seul.
\(2x = 16 \;\Rightarrow\; x = 8\)
Exemple express — on entoure le terme à éliminer, la flèche indique l'opération appliquée aux deux membres :
\(2x\) \(+3\) \(= 9\)
\(-3\)
\(-3\)
2\(x = 6\)
✅ Vérification (réflexe conseillé) : une fois \(x\) trouvé, on remplace dans l'équation de départ et on vérifie que les deux membres donnent la même valeur.
Corrections vues :
0 / 6

Exercice 1 / 6

Une étape Isoler x directement
✓ Vu

Résoudre chacune des équations suivantes.

a)
\(x + 7 = 12\)
b)
\(x - 4 = 9\)
c)
\(3x = 21\)
d)
\(-2x = 10\)
e)
\(5 + x = 2\)
f)
\(-3x = -12\)

💡 Indices

Pour isoler \(x\), effectue l'opération inverse de celle qui est écrite : si on ajoute, on soustrait ; si on soustrait, on ajoute.
Quand on divise deux nombres de même signe, le résultat est positif. Quand ils sont de signes différents, le résultat est négatif.
Règle : on entoure le terme à éliminer, puis on applique la même opération inverse aux deux membres (les flèches).
a) \(x + 7 = 12\)
\(x\) \(+7\) \(= 12\)
\(-7\)
\(-7\)
\(x = 5\)
\(x = 5\)
b) \(x - 4 = 9\)
\(x \) \(-4\) \(= 9\)
\(+4\)
\(+4\)
\(x = 13\)
\(x = 13\)
c) \(3x = 21\)
3\(x = 21\)
\(\div 3\)
\(\div 3\)
\(x = 7\)
\(x = 7\)
d) \(-2x = 10\)
\(-2\)\(x = 10\)
\(\div(-2)\)
\(\div(-2)\)
\(x = -5\)
\(x = -5\)
e) \(5 + x = 2\)
5 \(+ x = 2\)
\(-5\)
\(-5\)
\(x = -3\)
\(x = -3\)
f) \(-3x = -12\)
\(-3\)\(x = -12\)
\(\div(-3)\)
\(\div(-3)\)
\(x = 4\)
\(x = 4\)
⚠ Point de vigilance : pense à bien gérer les signes quand tu divises par un nombre négatif — deux négatifs donnent un résultat positif.

Exercice 2 / 6

Deux étapes Type \(ax+b=c\)
✓ Vu

Résoudre chacune des équations suivantes.

a) \(2x + 3 = 11\)
b) \(5x - 7 = 13\)
c) \(-3x + 4 = -8\)
d) \(4 - 2x = 10\)
e) \(7x + 1 = -6\)
f) \(-x + 5 = 2\)

💡 Indices

On traite toujours d'abord le terme sans \(x\) (on l'enlève des deux côtés), puis le coefficient devant \(x\) (on divise des deux côtés).
Dans d), le coefficient de \(x\) est \(-2\). Dans f), \(-x\) signifie \(-1x\) : n'oublie pas ce coefficient caché.
a) \(2x + 3 = 11\)
\(2x\) \(+3\) \(= 11\)
\(-3\)
\(-3\)
2\(x = 8\)
\(\div 2\)
\(\div 2\)
\(x = 4\)
\(x = 4\)
b) \(5x - 7 = 13\)
\(5x \) \(-7\) \(= 13\)
\(+7\)
\(+7\)
5\(x = 20\)
\(\div 5\)
\(\div 5\)
\(x = 4\)
\(x = 4\)
c) \(-3x + 4 = -8\)
\(-3x\) \(+4\) \(= -8\)
\(-4\)
\(-4\)
\(-3\)\(x = -12\)
\(\div(-3)\)
\(\div(-3)\)
\(x = 4\)
\(x = 4\)
d) \(4 - 2x = 10\)
4 \(- 2x = 10\)
\(-4\)
\(-4\)
\(-2\)\(x = 6\)
\(\div(-2)\)
\(\div(-2)\)
\(x = -3\)
\(x = -3\)
e) \(7x + 1 = -6\)
\(7x\) \(+1\) \(= -6\)
\(-1\)
\(-1\)
7\(x = -7\)
\(\div 7\)
\(\div 7\)
\(x = -1\)
\(x = -1\)
f) \(-x + 5 = 2\)
\(-x\) \(+5\) \(= 2\)
\(-5\)
\(-5\)
\(-1\)\(x = -3\)
\(\div(-1)\)
\(\div(-1)\)
\(x = 3\)
\(x = 3\)
⚠ Erreur classique : dans d), le terme en \(x\) est \(-2x\) et non \(2x\) — le signe fait partie du coefficient.

Exercice 3 / 6

x des deux côtés Regrouper les x
✓ Vu

Résoudre chacune des équations suivantes, où l'inconnue apparaît des deux côtés du signe égal.

a) \(4x + 3 = 2x + 9\)
b) \(6x - 5 = 3x + 7\)
c) \(x + 8 = 5x - 4\)
d) \(-2x + 9 = 3x - 1\)
e) \(5x + 2 = 2x + 2\)
f) \(3x - 1 = 7x - 9\)

💡 Indices

Commence par soustraire le terme en \(x\) le plus « petit » (en valeur) des deux membres, pour ne garder des x que d'un seul côté. Ensuite, tu retrouves une équation à deux étapes comme dans l'exercice 2.
Dans e), que se passe-t-il pour le terme constant si tu soustrais 2 des deux côtés ? Regarde bien s'il reste quelque chose à isoler.
Méthode : on entoure et on élimine d'abord le terme en \(x\) le plus « petit », puis le nombre, puis on divise par le coefficient restant.
a) \(4x + 3 = 2x + 9\)
\(4x + 3 = \) \(2x\) \(+ 9\)
\(-2x\)
\(-2x\)
\(2x\) \(+3\) \(= 9\)
\(-3\)
\(-3\)
2\(x = 6\)
\(\div 2\)
\(\div 2\)
\(x = 3\)
\(x = 3\)
b) \(6x - 5 = 3x + 7\)
\(6x - 5 = \) \(3x\) \(+ 7\)
\(-3x\)
\(-3x\)
\(3x\) \(-5\) \(= 7\)
\(+5\)
\(+5\)
3\(x = 12\)
\(\div 3\)
\(\div 3\)
\(x = 4\)
\(x = 4\)
c) \(x + 8 = 5x - 4\)
\(x\) \(+ 8 = 5x - 4\)
\(-x\)
\(-x\)
\(8 = 4x\) \(-4\)
\(+4\)
\(+4\)
\(12 = \) 4\(x\)
\(\div 4\)
\(\div 4\)
\(3 = x\)
\(x = 3\)
d) \(-2x + 9 = 3x - 1\)
\(-2x\) \(+ 9 = 3x - 1\)
\(+2x\)
\(+2x\)
\(9 = 5x\) \(-1\)
\(+1\)
\(+1\)
\(10 = \) 5\(x\)
\(\div 5\)
\(\div 5\)
\(2 = x\)
\(x = 2\)
e) \(5x + 2 = 2x + 2\)
\(5x + 2 = \) \(2x\) \(+ 2\)
\(-2x\)
\(-2x\)
\(3x\) \(+2\) \(= 2\)
\(-2\)
\(-2\)
3\(x = 0\)
\(\div 3\)
\(\div 3\)
\(x = 0\)
\(x = 0\)
f) \(3x - 1 = 7x - 9\)
\(3x - 1 = \) \(7x\) \(- 9\)
\(-7x\)
\(-7x\)
\(-1\) \(-4x\) \(= -9\)
\(+1\)
\(+1\)
\(-4\)\(x = -8\)
\(\div(-4)\)
\(\div(-4)\)
\(x = 2\)
\(x = 2\)
⚠ Point de vigilance : en e), le nombre \(x=0\) est une solution parfaitement valable — ne pas conclure « pas de solution » à tort.

Exercice 4 / 6

Développer Puis résoudre
✓ Vu

Pour chaque équation, développer d'abord les parenthèses, puis résoudre.

a) \(2(x+3) = x+10\)
b) \(5(x-2) = 3x+4\)
c) \(3(2x-1) = 4(x+2)\)
d) \(-2(x+1) = 3(x-4)\)
e) \(4(x-3)+2 = x+5\)
f) \(2(3x+1)-5 = 4x+3\)

💡 Indices

Distribue bien le nombre devant la parenthèse à chacun des deux termes à l'intérieur, en faisant attention aux signes. Ensuite, tu retombes sur une équation comme dans l'exercice 3.
Il faut développer les deux membres, à gauche ET à droite, avant de regrouper les termes en x.
Méthode en 2 étapes : ① développer (et réduire) chaque membre. ② appliquer la méthode des flèches comme précédemment.
a) \(2(x+3) = x+10\)
\(2(x+3) = x+10\)
On développe :
\(2x + 6 = \) \(x\) \(+ 10\)
\(-x\)
\(-x\)
\(x\) \(+6\) \(= 10\)
\(-6\)
\(-6\)
\(x = 4\)
\(x = 4\)
b) \(5(x-2) = 3x+4\)
\(5(x-2) = 3x+4\)
On développe :
\(5x - 10 = \) \(3x\) \(+ 4\)
\(-3x\)
\(-3x\)
\(2x\) \(-10\) \(= 4\)
\(+10\)
\(+10\)
2\(x = 14\)
\(\div 2\)
\(\div 2\)
\(x = 7\)
\(x = 7\)
c) \(3(2x-1) = 4(x+2)\)
\(3(2x-1) = 4(x+2)\)
On développe :
\(6x - 3 = \) \(4x\) \(+ 8\)
\(-4x\)
\(-4x\)
\(2x\) \(-3\) \(= 8\)
\(+3\)
\(+3\)
2\(x = 11\)
\(\div 2\)
\(\div 2\)
\(x = 5{,}5\)
\(x = 5{,}5\)
d) \(-2(x+1) = 3(x-4)\)
\(-2(x+1) = 3(x-4)\)
On développe :
\(-2x - 2 = \) \(3x\) \(- 12\)
\(-3x\)
\(-3x\)
\(-5x\) \(-2\) \(= -12\)
\(+2\)
\(+2\)
\(-5\)\(x = -10\)
\(\div(-5)\)
\(\div(-5)\)
\(x = 2\)
\(x = 2\)
e) \(4(x-3)+2 = x+5\)
\(4(x-3)+2 = x+5\)
On développe et on réduit à gauche :
\(4x - 10 = \) \(x\) \(+ 5\)
\(-x\)
\(-x\)
\(3x\) \(-10\) \(= 5\)
\(+10\)
\(+10\)
3\(x = 15\)
\(\div 3\)
\(\div 3\)
\(x = 5\)
\(x = 5\)
f) \(2(3x+1)-5 = 4x+3\)
\(2(3x+1)-5 = 4x+3\)
On développe et on réduit à gauche :
\(6x - 3 = \) \(4x\) \(+ 3\)
\(-4x\)
\(-4x\)
\(2x\) \(-3\) \(= 3\)
\(+3\)
\(+3\)
2\(x = 6\)
\(\div 2\)
\(\div 2\)
\(x = 3\)
\(x = 3\)
⚠ Erreur classique : en d), \(-2(x+1) = -2x - 2\) — le signe « − » se distribue à chacun des deux termes, pas seulement au premier.

Exercice 5 / 6

Vrai / Faux Pièges classiques
✓ Vu

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, et corriger si nécessaire.

a) Si \(3x = 12\) alors \(x = 4\).
b) Si \(-2x = 10\) alors \(x = 5\).
c) Si \(x + 5 = 2\) alors \(x = 7\).
d) \(2(x+3) = 2x+3\) pour tout \(x\).
e) L'équation \(5x = 0\) a pour solution \(x = 0\).
f) L'équation \(x = x + 1\) n'a aucune solution.

💡 Indices

Remplace \(x\) par la valeur proposée dans l'équation de départ : \(-2 \times 5\) donne-t-il vraiment \(10\) ?
Pour d) : développe complètement \(2(x+3)\), en distribuant le 2 aux deux termes. Pour f) : si tu retires \(x\) des deux côtés, que reste-t-il comme égalité ? Est-elle vraie ?
a) Si \(3x = 12\) alors \(x = 4\)

✓ VRAI — \(12 \div 3 = 4\).

b) Si \(-2x = 10\) alors \(x = 5\)

❌ FAUX — reprenons la résolution :

\(-2\)\(x = 10\)
\(\div(-2)\)
\(\div(-2)\)
\(x = -5\)

La bonne solution est \(x = -5\).

c) Si \(x + 5 = 2\) alors \(x = 7\)

❌ FAUX — reprenons la résolution :

\(x\) \(+5\) \(= 2\)
\(-5\)
\(-5\)
\(x = -3\)

La bonne solution est \(x = -3\).

d) \(2(x+3) = 2x+3\) pour tout \(x\)

❌ FAUX — en développant correctement, \(2(x+3) = 2x + 6\), et non \(2x+3\). Le 2 doit se distribuer aussi au 3.

e) L'équation \(5x = 0\) a pour solution \(x = 0\)

✓ VRAI — \(0 \div 5 = 0\). Une équation peut tout à fait avoir \(0\) comme solution.

f) L'équation \(x = x + 1\) n'a aucune solution

✓ VRAI — en soustrayant \(x\) des deux côtés, on obtient \(0 = 1\), ce qui est toujours faux : aucune valeur de \(x\) ne convient.

⚠ À retenir : une solution égale à \(0\) reste une solution valable, et une équation peut n'avoir aucune solution si elle se ramène à une égalité fausse comme \(0 = 1\).

Exercice 6 / 6

Méthode complète Avec vérification
✓ Vu

Résoudre chaque équation en détaillant toutes les étapes, puis vérifier la solution trouvée en la substituant dans l'équation de départ.

a) \(4(x+2) = 3x-1\)
b) \(3(2x-1)+4 = 5(x+1)\)
c) \(-2(x-5) = 3(x+1)-7\)

💡 Indices

Applique dans l'ordre : ① développer, ② regrouper les x, ③ regrouper les nombres, ④ diviser pour isoler x. Puis remplace x par ta solution dans les DEUX membres de l'équation de départ.
Développe soigneusement chaque membre : à gauche \(-2(x-5)\), à droite \(3(x+1)-7\). Attention aux deux signes « − » de cette équation.
a) \(4(x+2) = 3x-1\)
\(4(x+2) = 3x-1\)
On développe :
\(4x + 8 = \) \(3x\) \(- 1\)
\(-3x\)
\(-3x\)
\(x\) \(+8\) \(= -1\)
\(-8\)
\(-8\)
\(x = -9\)
\(x = -9\)
✅ Vérification : gauche : \(4\times(-9+2) = 4\times(-7) = -28\)  |  droite : \(3\times(-9)-1 = -27-1 = -28\) ✓
b) \(3(2x-1)+4 = 5(x+1)\)
\(3(2x-1)+4 = 5(x+1)\)
On développe et on réduit à gauche :
\(6x + 1 = \) \(5x\) \(+ 5\)
\(-5x\)
\(-5x\)
\(x\) \(+1\) \(= 5\)
\(-1\)
\(-1\)
\(x = 4\)
\(x = 4\)
✅ Vérification : gauche : \(3\times(2\times4-1)+4 = 3\times7+4 = 25\)  |  droite : \(5\times(4+1) = 5\times5 = 25\) ✓
c) \(-2(x-5) = 3(x+1)-7\)
\(-2(x-5) = 3(x+1)-7\)
On développe et on réduit à droite :
\(-2x + 10 = \) \(3x\) \(- 4\)
\(-3x\)
\(-3x\)
\(-5x\) \(+10\) \(= -4\)
\(-10\)
\(-10\)
\(-5\)\(x = -14\)
\(\div(-5)\)
\(\div(-5)\)
\(x = 2{,}8\)
\(x = 2{,}8\)
✅ Vérification : gauche : \(-2\times(2{,}8-5) = -2\times(-2{,}2) = 4{,}4\)  |  droite : \(3\times(2{,}8+1)-7 = 3\times3{,}8-7 = 11{,}4-7 = 4{,}4\) ✓
💡 Bon réflexe : la vérification permet de repérer immédiatement une erreur de signe ou de calcul si les deux membres ne coïncident pas.

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