Équations avec quotients

Chapitre 4 — Équations & Inéquations — Feuille n°2 — 2nde

⨯ Produits en croix 🚫 Domaine ⚖ A(x)/B(x)=k

📌 Les méthodes à connaître

① Produits en croix
Si \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) (avec \(b\neq0\), \(d\neq0\)), alors \(a\times d = b\times c\).
\(\dfrac{x}{4} = \dfrac{9}{6} \;\Rightarrow\; 6x = 36\)
② Domaine de définition
Dans \(\dfrac{A(x)}{B(x)}\), le dénominateur \(B(x)\) ne peut jamais être nul : on exclut la valeur qui l'annule.
\(\dfrac{2x+1}{x-3} \;\Rightarrow\; x \neq 3\)
③ Résoudre \(\frac{A(x)}{B(x)}=k\)
On multiplie les deux membres par \(B(x)\) pour supprimer le dénominateur, puis on résout avec la méthode des flèches.
\(2x+1 = 5(x-3)\)
⚠️ Réflexe indispensable Une fois la solution trouvée, on vérifie qu'elle n'est pas la valeur interdite. Si c'est le cas, l'équation n'a aucune solution.
Corrections vues :
0 / 6

Exercice 1 / 6

Produits en croix Proportions
✓ Vu

Résoudre chacune des équations suivantes à l'aide des produits en croix.

a)
\(\dfrac{x}{3} = \dfrac{4}{6}\)
b)
\(\dfrac{5}{x} = \dfrac{10}{8}\)
c)
\(\dfrac{x}{7} = \dfrac{21}{49}\)
d)
\(\dfrac{3}{4} = \dfrac{x}{12}\)
e)
\(\dfrac{x}{5} = \dfrac{7}{2}\)
f)
\(\dfrac{9}{x} = \dfrac{3}{4}\)

💡 Indices

Si \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\), alors \(a \times d = b \times c\). Multiplie en croix, puis résous l'équation obtenue avec la méthode des flèches.
Ici, l'inconnue \(x\) est au dénominateur. Le produit en croix fonctionne exactement de la même façon.
Règle : \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \;\Rightarrow\; a \times d = b \times c\) (avec \(b \neq 0\) et \(d \neq 0\)).
a) \(\dfrac{x}{3} = \dfrac{4}{6}\)
\(x \times 6 = 3 \times 4\)
6\(x = 12\)
\(\div 6\)
\(\div 6\)
\(x = 2\)
\(x = 2\)
b) \(\dfrac{5}{x} = \dfrac{10}{8}\)
\(5 \times 8 = x \times 10\)
\(40 = \) 10\(x\)
\(\div 10\)
\(\div 10\)
\(4 = x\)
\(x = 4\)
c) \(\dfrac{x}{7} = \dfrac{21}{49}\)
\(x \times 49 = 7 \times 21\)
49\(x = 147\)
\(\div 49\)
\(\div 49\)
\(x = 3\)
\(x = 3\)
d) \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{x}{12}\)
\(3 \times 12 = 4 \times x\)
\(36 = \) 4\(x\)
\(\div 4\)
\(\div 4\)
\(9 = x\)
\(x = 9\)
e) \(\dfrac{x}{5} = \dfrac{7}{2}\)
\(x \times 2 = 5 \times 7\)
2\(x = 35\)
\(\div 2\)
\(\div 2\)
\(x = 17{,}5\)
\(x = 17{,}5\)
f) \(\dfrac{9}{x} = \dfrac{3}{4}\)
\(9 \times 4 = x \times 3\)
\(36 = \) 3\(x\)
\(\div 3\)
\(\div 3\)
\(12 = x\)
\(x = 12\)
⚠ Point de vigilance : quand \(x\) est au dénominateur (b et f), pense bien à vérifier à la fin que la solution trouvée n'annule pas ce dénominateur.

Exercice 2 / 6

Domaine de définition Valeur interdite
✓ Vu

Pour chaque expression, déterminer la valeur de \(x\) qui est interdite (celle qui annule le dénominateur).

a) \(\dfrac{1}{x - 5}\)
b) \(\dfrac{3}{2x + 4}\)
c) \(\dfrac{x + 1}{3x - 9}\)
d) \(\dfrac{5}{x + 7}\)
e) \(\dfrac{2x - 3}{4 - x}\)
f) \(\dfrac{x - 2}{5x + 1}\)

💡 Indices

Résous l'équation « dénominateur \(= 0\) » avec la méthode des flèches. Seul le dénominateur compte, pas le numérateur.
La valeur interdite n'est pas toujours un nombre entier — ici elle est décimale (ou fractionnaire).
Méthode : on résout \(B(x) = 0\), où \(B(x)\) est le dénominateur, avec la méthode des flèches — cette valeur de \(x\) est à exclure.
a) \(\dfrac{1}{x - 5}\)
\(x\) \(-5\) \(= 0\)
\(+5\)
\(+5\)
\(x = 5\)

Valeur interdite : \(x \neq 5\)

b) \(\dfrac{3}{2x + 4}\)
\(2x\) \(+4\) \(= 0\)
\(-4\)
\(-4\)
2\(x = -4\)
\(\div 2\)
\(\div 2\)
\(x = -2\)

Valeur interdite : \(x \neq -2\)

c) \(\dfrac{x + 1}{3x - 9}\)
\(3x\) \(-9\) \(= 0\)
\(+9\)
\(+9\)
3\(x = 9\)
\(\div 3\)
\(\div 3\)
\(x = 3\)

Valeur interdite : \(x \neq 3\)

d) \(\dfrac{5}{x + 7}\)
\(x\) \(+7\) \(= 0\)
\(-7\)
\(-7\)
\(x = -7\)

Valeur interdite : \(x \neq -7\)

e) \(\dfrac{2x - 3}{4 - x}\)
4 \(- x = 0\)
\(-4\)
\(-4\)
\(-1\)\(x = -4\)
\(\div(-1)\)
\(\div(-1)\)
\(x = 4\)

Valeur interdite : \(x \neq 4\)

f) \(\dfrac{x - 2}{5x + 1}\)
\(5x\) \(+1\) \(= 0\)
\(-1\)
\(-1\)
5\(x = -1\)
\(\div 5\)
\(\div 5\)
\(x = -0{,}2\)

Valeur interdite : \(x \neq -0{,}2\)

⚠ Point de vigilance : seul le dénominateur détermine la valeur interdite — le numérateur n'intervient jamais dans cette recherche.

Exercice 3 / 6

\(\frac{A(x)}{B(x)}=k\) Méthode complète
✓ Vu

Résoudre chaque équation en suivant la méthode en 4 étapes : domaine, multiplication, résolution, vérification.

a) \(\dfrac{3x + 2}{x - 1} = 4\)
b) \(\dfrac{x + 6}{x + 2} = 3\)
c) \(\dfrac{4x - 1}{x + 5} = 2\)
d) \(\dfrac{2x + 7}{x - 4} = 3\)

💡 Indices

Multiplie les deux membres par le dénominateur : \(\dfrac{A(x)}{B(x)} = k\) devient \(A(x) = k \times B(x)\). N'oublie pas de développer le membre de droite.
Compare toujours la solution trouvée à la valeur interdite de l'étape 1 avant de conclure.
a) \(\dfrac{3x + 2}{x - 1} = 4\)
Étape 1 — Domaine\(x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1\). Valeur interdite : \(x \neq 1\).
Étape 2 — Multiplication
\(3x + 2 = 4(x - 1)\)
On développe :
\(3x + 2 = 4x - 4\)
Étape 3 — Résolution
\(3x + 2 = \) \(4x\) \(- 4\)
\(-4x\)
\(-4x\)
\(-x\) \(+2\) \(= -4\)
\(-2\)
\(-2\)
\(-1\)\(x = -6\)
\(\div(-1)\)
\(\div(-1)\)
\(x = 6\)
Étape 4 — Vérification du domaineLa valeur interdite était \(x=1\). Or \(6 \neq 1\) : solution acceptée.
\(x = 6\)
b) \(\dfrac{x + 6}{x + 2} = 3\)
Étape 1 — Domaine\(x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2\). Valeur interdite : \(x \neq -2\).
Étape 2 — Multiplication
\(x + 6 = 3(x + 2)\)
On développe :
\(x + 6 = 3x + 6\)
Étape 3 — Résolution
\(x\) \(+6\) \(= 3x + 6\)
\(x + 6 = \) \(3x\) \(+ 6\)
\(-3x\)
\(-3x\)
\(-2x\) \(+6\) \(= 6\)
\(-6\)
\(-6\)
\(-2\)\(x = 0\)
\(\div(-2)\)
\(\div(-2)\)
\(x = 0\)
Étape 4 — Vérification du domaineLa valeur interdite était \(x=-2\). Or \(0 \neq -2\) : solution acceptée.
\(x = 0\)
c) \(\dfrac{4x - 1}{x + 5} = 2\)
Étape 1 — Domaine\(x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5\). Valeur interdite : \(x \neq -5\).
Étape 2 — Multiplication
\(4x - 1 = 2(x + 5)\)
On développe :
\(4x - 1 = 2x + 10\)
Étape 3 — Résolution
\(4x - 1 = \) \(2x\) \(+ 10\)
\(-2x\)
\(-2x\)
\(2x\) \(-1\) \(= 10\)
\(+1\)
\(+1\)
2\(x = 11\)
\(\div 2\)
\(\div 2\)
\(x = 5{,}5\)
Étape 4 — Vérification du domaineLa valeur interdite était \(x=-5\). Or \(5{,}5 \neq -5\) : solution acceptée.
\(x = 5{,}5\)
d) \(\dfrac{2x + 7}{x - 4} = 3\)
Étape 1 — Domaine\(x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4\). Valeur interdite : \(x \neq 4\).
Étape 2 — Multiplication
\(2x + 7 = 3(x - 4)\)
On développe :
\(2x + 7 = 3x - 12\)
Étape 3 — Résolution
\(2x + 7 = \) \(3x\) \(- 12\)
\(-3x\)
\(-3x\)
\(-x\) \(+7\) \(= -12\)
\(-7\)
\(-7\)
\(-1\)\(x = -19\)
\(\div(-1)\)
\(\div(-1)\)
\(x = 19\)
Étape 4 — Vérification du domaineLa valeur interdite était \(x=4\). Or \(19 \neq 4\) : solution acceptée.
\(x = 19\)

Exercice 4 / 6

Solution exclue ? Piège du domaine
✓ Vu

Résoudre chaque équation. Attention : pour certaines, la solution trouvée doit être rejetée !

a) \(\dfrac{2x + 3}{x - 5} = 1\)
b) \(\dfrac{3x - 6}{x - 2} = 4\)
c) \(\dfrac{4x + 1}{x + 3} = 3\)
d) \(\dfrac{2x + 2}{x + 1} = 5\)

💡 Indices

N'oublie jamais l'étape 1 (domaine) et l'étape 4 (vérification) : c'est là que se joue le piège. Une solution qui égale la valeur interdite doit être rejetée.
a) \(\dfrac{2x + 3}{x - 5} = 1\)
Étape 1 — Domaine\(x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5\). Valeur interdite : \(x \neq 5\).
\(2x + 3 = 1 \times (x - 5) = x - 5\)
\(2x + 3 = \) \(x\) \(- 5\)
\(-x\)
\(-x\)
\(x\) \(+3\) \(= -5\)
\(-3\)
\(-3\)
\(x = -8\)
Étape 4 — Vérification du domaineValeur interdite \(x=5\). Or \(-8 \neq 5\) : solution acceptée.
\(x = -8\)
b) \(\dfrac{3x - 6}{x - 2} = 4\)
Étape 1 — Domaine\(x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\). Valeur interdite : \(x \neq 2\).
\(3x - 6 = 4(x - 2) = 4x - 8\)
\(3x - 6 = \) \(4x\) \(- 8\)
\(-4x\)
\(-4x\)
\(-x\) \(-6\) \(= -8\)
\(+6\)
\(+6\)
\(-1\)\(x = -2\)
\(\div(-1)\)
\(\div(-1)\)
\(x = 2\)
Étape 4 — Vérification du domaineValeur interdite \(x=2\). Or on trouve \(x=2\) : cette solution est exclue !
✖ Aucune solution
c) \(\dfrac{4x + 1}{x + 3} = 3\)
Étape 1 — Domaine\(x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3\). Valeur interdite : \(x \neq -3\).
\(4x + 1 = 3(x + 3) = 3x + 9\)
\(4x + 1 = \) \(3x\) \(+ 9\)
\(-3x\)
\(-3x\)
\(x\) \(+1\) \(= 9\)
\(-1\)
\(-1\)
\(x = 8\)
Étape 4 — Vérification du domaineValeur interdite \(x=-3\). Or \(8 \neq -3\) : solution acceptée.
\(x = 8\)
d) \(\dfrac{2x + 2}{x + 1} = 5\)
Étape 1 — Domaine\(x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\). Valeur interdite : \(x \neq -1\).
\(2x + 2 = 5(x + 1) = 5x + 5\)
\(2x + 2 = \) \(5x\) \(+ 5\)
\(-5x\)
\(-5x\)
\(-3x\) \(+2\) \(= 5\)
\(-2\)
\(-2\)
\(-3\)\(x = 3\)
\(\div(-3)\)
\(\div(-3)\)
\(x = -1\)
Étape 4 — Vérification du domaineValeur interdite \(x=-1\). Or on trouve \(x=-1\) : cette solution est exclue !
✖ Aucune solution
⚠ À retenir : quand la solution calculée est égale à la valeur interdite, l'équation n'a aucune solution — ce n'est pas une erreur de calcul, c'est le résultat correct !

Exercice 5 / 6

Vrai / Faux Pièges classiques
✓ Vu

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, et corriger si nécessaire.

a) Pour résoudre \(\dfrac{1}{x-2} = 3\), il faut d'abord exclure \(x = 2\).
b) L'équation \(\dfrac{x-4}{x-4} = 1\) est vraie pour tout \(x\).
c) Si \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) alors \(ad = bc\), même si \(b\) ou \(d\) est nul.
d) La solution d'une équation \(\dfrac{A(x)}{B(x)} = k\) peut être exclue si elle annule le dénominateur.
e) Pour résoudre \(\dfrac{x}{5} = \dfrac{3}{4}\), on peut écrire \(4x = 15\).
f) L'équation \(\dfrac{2}{x+1} = 0\) a pour solution \(x = -1\).

💡 Indices

Même si l'expression semble « toujours égale à 1 », existe-t-elle vraiment pour toutes les valeurs de \(x\) ? Que se passe-t-il en \(x=4\) ?
Une fraction peut-elle être nulle si son numérateur ne l'est jamais ? Regarde bien le numérateur de cette fraction.
a) Pour résoudre \(\dfrac{1}{x-2} = 3\), il faut exclure \(x=2\)

✓ VRAI — \(x - 2\) est le dénominateur : il ne doit jamais être nul, donc \(x \neq 2\).

b) \(\dfrac{x-4}{x-4} = 1\) est vraie pour tout \(x\)

❌ FAUX — c'est vrai pour tout \(x\) sauf \(x = 4\), car le dénominateur \(x - 4\) s'annule à cet endroit et la fraction n'est alors pas définie.

c) \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow ad=bc\), même si \(b\) ou \(d\) est nul

❌ FAUX — la règle du produit en croix suppose \(b \neq 0\) et \(d \neq 0\) : une fraction avec un dénominateur nul n'est pas définie.

d) La solution peut être exclue si elle annule le dénominateur

✓ VRAI — c'est exactement ce que vérifie l'étape 4 de la méthode.

e) \(\dfrac{x}{5} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow 4x = 15\)

✓ VRAI — produit en croix : \(x \times 4 = 5 \times 3\), soit \(4x = 15\).

f) \(\dfrac{2}{x+1} = 0\) a pour solution \(x=-1\)

❌ FAUX — une fraction est nulle seulement si son numérateur est nul. Ici le numérateur est \(2\), qui n'est jamais nul : cette équation n'a aucune solution (et \(x=-1\) est de toute façon interdit).

⚠ À retenir : une fraction \(\dfrac{A(x)}{B(x)}\) est nulle uniquement quand \(A(x)=0\) (et que cette valeur ne soit pas interdite) — jamais parce que le dénominateur s'annule.

Exercice 6 / 6

Problèmes Proportionnalité
✓ Vu

Pour chaque situation, écrire l'équation avec un quotient, puis la résoudre à l'aide des produits en croix.

1) Sur un plan à l'échelle \(\dfrac{1}{200}\), un mur mesure \(3{,}5\) cm. On pose \(\dfrac{3{,}5}{L} = \dfrac{1}{200}\), où \(L\) est la longueur réelle du mur (en cm). Déterminer \(L\), puis convertir le résultat en mètres.
2) Une recette pour 4 personnes nécessite 250 g de farine. Pour 6 personnes, on pose \(\dfrac{x}{250} = \dfrac{6}{4}\), où \(x\) est la quantité de farine (en g). Déterminer \(x\).
3) Dans une configuration de Thalès, on a \(\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{2}{7}\) avec \(AB = 6\) cm. En posant \(\dfrac{6}{AC} = \dfrac{2}{7}\), déterminer \(AC\).

💡 Indices

Dans chaque cas, applique directement le produit en croix comme dans l'exercice 1 : multiplie « en diagonale » les deux fractions.
N'oublie pas l'unité demandée à la fin : le résultat du calcul est en cm, il faut ensuite le convertir en mètres (1 m = 100 cm).
1) Échelle du plan
\(3{,}5 \times 200 = 1 \times L\)
\(L = 700\)
La longueur réelle du mur est \(L = 700\) cm, soit \(7\) m.
2) Recette de cuisine
\(x \times 4 = 250 \times 6\)
4\(x = 1500\)
\(\div 4\)
\(\div 4\)
\(x = 375\)
Il faut \(375\) g de farine pour 6 personnes.
3) Théorème de Thalès
\(6 \times 7 = AC \times 2\)
\(42 = \) 2\(AC\)
\(\div 2\)
\(\div 2\)
\(21 = AC\)
\(AC = 21\) cm.
💡 À retenir : échelles, recettes, Thalès... de nombreuses situations concrètes se traduisent par une égalité de quotients, résolue par un simple produit en croix.

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