Modéliser un problème

Chapitre 4 — Équations & Inéquations — Feuille n°3 — 2nde

🔤 Traduire ⚖ Résoudre 💬 Interpréter

📌 La méthode à connaître

① Inconnue On choisit l'inconnue \(x\) en fonction de ce que l'on cherche (toujours préciser ce qu'elle représente, avec son unité).
② Traduction On traduit chaque donnée de l'énoncé en expression avec \(x\), puis on écrit l'équation.
③ Résolution On résout l'équation obtenue avec la méthode des flèches.
④ Interprétation On répond à la question posée en toutes lettres, avec l'unité, et on vérifie si possible.
Corrections vues :
0 / 6

Exercice 1 / 6

Traduction Sans résoudre
✓ Vu

Pour chaque énoncé, écrire l'équation correspondante (on ne demande pas de la résoudre).

a) La somme d'un nombre \(x\) et de 8 est égale à 21.
b) Le triple d'un nombre \(x\) diminué de 5 vaut 16.
c) Le double d'un nombre \(x\) augmenté de son triple donne 25.
d) Un rectangle a une longueur qui vaut le double de sa largeur \(x\) ; son périmètre est 48 cm.
e) Trois nombres consécutifs, dont le premier est \(x\), ont une somme de 66.
f) Léa a deux ans de plus que son frère, dont l'âge est \(x\) ; la somme de leurs âges est 30.

💡 Indices

Le périmètre d'un rectangle est \(2 \times (\text{longueur} + \text{largeur})\). Ici la longueur vaut \(2x\).
Si le premier nombre consécutif est \(x\), le suivant est \(x+1\), et celui d'après \(x+2\).
a) La somme d'un nombre \(x\) et de 8 est égale à 21
\(x + 8 = 21\)
b) Le triple d'un nombre \(x\) diminué de 5 vaut 16
\(3x - 5 = 16\)
c) Le double d'un nombre \(x\) augmenté de son triple donne 25
\(2x + 3x = 25\)
d) Rectangle : longueur \(=2x\), largeur \(=x\), périmètre \(=48\) cm
\(2 \times (x + 2x) = 48\)
e) Trois nombres consécutifs \(x, x+1, x+2\) de somme 66
\(x + (x+1) + (x+2) = 66\)
f) Léa \(= x+2\), frère \(= x\), somme des âges \(=30\)
\(x + (x + 2) = 30\)
⚠ Point de vigilance : l'ordre des mots compte ! « 5 de moins que le triple de x » se traduit par \(3x - 5\), et non \(5 - 3x\).

Exercice 2 / 6

Nombres mystères Méthode complète
✓ Vu

Pour chaque problème, poser l'équation puis la résoudre en suivant la méthode en 4 étapes.

a) La somme d'un nombre et de son double est 36. Quel est ce nombre ?
b) Le triple d'un nombre diminué de 4 vaut 20. Trouver ce nombre.
c) Trois nombres consécutifs ont une somme de 72. Quels sont ces nombres ?
d) La moitié d'un nombre, augmentée de 5, est égale à 12. Quel est ce nombre ?

💡 Indices

Pose \(x\) pour le premier nombre, puis \(x+1\) et \(x+2\) pour les deux suivants, et additionne les trois.
« La moitié d'un nombre » se traduit par \(\dfrac{x}{2}\). L'équation est \(\dfrac{x}{2} + 5 = 12\).
a) Somme d'un nombre et de son double
Étape 1 — InconnueOn pose \(x\) = le nombre cherché.
Étape 2 — TraductionLe double du nombre est \(2x\). L'équation est \(x + 2x = 36\).
Étape 3 — Résolution
3\(x = 36\)
\(\div 3\)
\(\div 3\)
\(x = 12\)
Étape 4 — InterprétationLe nombre cherché est 12. Vérification : \(12 + 24 = 36\) ✓
b) Le triple d'un nombre diminué de 4
Étape 1 — InconnueOn pose \(x\) = le nombre cherché.
Étape 2 — TraductionL'équation est \(3x - 4 = 20\).
Étape 3 — Résolution
\(3x\) \(-4\) \(= 20\)
\(+4\)
\(+4\)
3\(x = 24\)
\(\div 3\)
\(\div 3\)
\(x = 8\)
Étape 4 — InterprétationLe nombre cherché est 8. Vérification : \(3 \times 8 - 4 = 20\) ✓
c) Trois nombres consécutifs de somme 72
Étape 1 — InconnueOn pose \(x\) = le premier des trois nombres.
Étape 2 — TraductionLes trois nombres sont \(x\), \(x+1\), \(x+2\). L'équation est \(x + (x+1) + (x+2) = 72\).
Étape 3 — Résolution
\(3x\) \(+3\) \(= 72\)
\(-3\)
\(-3\)
3\(x = 69\)
\(\div 3\)
\(\div 3\)
\(x = 23\)
Étape 4 — InterprétationLes trois nombres sont 23, 24 et 25. Vérification : \(23+24+25=72\) ✓
d) La moitié d'un nombre augmentée de 5
Étape 1 — InconnueOn pose \(x\) = le nombre cherché.
Étape 2 — TraductionL'équation est \(\dfrac{x}{2} + 5 = 12\).
Étape 3 — Résolution
\(\dfrac{x}{2}\) \(+5\) \(= 12\)
\(-5\)
\(-5\)
\(\dfrac{x}{2} = 7\)
\(\times 2\)
\(\times 2\)
\(x = 14\)
Étape 4 — InterprétationLe nombre cherché est 14. Vérification : \(14 \div 2 + 5 = 12\) ✓

Exercice 3 / 6

Géométrie Périmètres
✓ Vu

Résoudre chaque problème de géométrie en suivant la méthode en 4 étapes.

a) Un rectangle a un périmètre de 64 m. Sa longueur dépasse sa largeur de 8 m. Quelles sont ses dimensions ?
b) Un rectangle a une longueur triple de sa largeur. Son périmètre est 96 cm. Trouver ses dimensions.
c) Un terrain triangulaire a un périmètre de 45 m. Le deuxième côté est le double du premier, et le troisième dépasse le premier de 5 m. Trouver les trois côtés.

💡 Indices

Pose \(x\) = la largeur. Le périmètre d'un rectangle est \(2 \times (\text{longueur} + \text{largeur})\).
Pose \(x\) = le premier côté. Le périmètre d'un triangle est simplement la somme de ses trois côtés (pas de facteur 2).
a) Rectangle, périmètre 64 m, longueur = largeur + 8
Étape 1 — InconnueOn pose \(x\) = la largeur du rectangle (en m).
Étape 2 — TraductionLa longueur est \(x+8\). L'équation est \(2 \times \big(x + (x+8)\big) = 64\).
Étape 3 — Résolution
\(2(2x+8) = 64\)
On développe :
\(4x\) \(+16\) \(= 64\)
\(-16\)
\(-16\)
4\(x = 48\)
\(\div 4\)
\(\div 4\)
\(x = 12\)
Étape 4 — InterprétationLa largeur est 12 m et la longueur est \(12+8=\)20 m. Vérification : \(2\times(12+20)=64\) ✓
b) Rectangle, longueur = 3 × largeur, périmètre 96 cm
Étape 1 — InconnueOn pose \(x\) = la largeur du rectangle (en cm).
Étape 2 — TraductionLa longueur est \(3x\). L'équation est \(2 \times (x + 3x) = 96\).
Étape 3 — Résolution
\(2 \times 4x = 96\)
8\(x = 96\)
\(\div 8\)
\(\div 8\)
\(x = 12\)
Étape 4 — InterprétationLa largeur est 12 cm et la longueur est \(3\times12=\)36 cm. Vérification : \(2\times(12+36)=96\) ✓
c) Triangle : périmètre 45 m, côté 2 = 2×côté 1, côté 3 = côté 1 + 5
Étape 1 — InconnueOn pose \(x\) = la longueur du premier côté (en m).
Étape 2 — TraductionLes côtés sont \(x\), \(2x\) et \(x+5\). L'équation est \(x + 2x + (x+5) = 45\).
Étape 3 — Résolution
\(4x\) \(+5\) \(= 45\)
\(-5\)
\(-5\)
4\(x = 40\)
\(\div 4\)
\(\div 4\)
\(x = 10\)
Étape 4 — InterprétationLes côtés mesurent 10 m, 20 m et 15 m. Vérification : \(10+20+15=45\) ✓

Exercice 4 / 6

Problèmes d'âges Méthode complète
✓ Vu

Résoudre chaque problème d'âge en suivant la méthode en 4 étapes.

a) Léo a 3 ans de plus que sa sœur Mia. La somme de leurs âges est 27 ans. Quel est l'âge de chacun ?
b) Dans 5 ans, Sarah aura le double de l'âge qu'elle a aujourd'hui. Quel âge a-t-elle aujourd'hui ?
c) Un père a 4 fois l'âge de son fils. Dans 10 ans, il n'aura plus que le triple de l'âge de son fils. Quel est l'âge actuel du fils ?

💡 Indices

Si l'âge actuel est \(x\), l'âge dans 5 ans est \(x+5\). L'équation est \(x+5 = 2x\).
Pose \(x\) = âge actuel du fils, donc \(4x\) = âge actuel du père. Dans 10 ans : fils = \(x+10\), père = \(4x+10\). Traduis « le triple » avec ces expressions.
a) Léo = Mia + 3, somme des âges = 27
Étape 1 — InconnueOn pose \(x\) = l'âge de Mia (en années).
Étape 2 — TraductionL'âge de Léo est \(x+3\). L'équation est \(x + (x+3) = 27\).
Étape 3 — Résolution
\(2x\) \(+3\) \(= 27\)
\(-3\)
\(-3\)
2\(x = 24\)
\(\div 2\)
\(\div 2\)
\(x = 12\)
Étape 4 — InterprétationMia a 12 ans et Léo a \(12+3=\)15 ans. Vérification : \(12+15=27\) ✓
b) Dans 5 ans, Sarah aura le double de son âge actuel
Étape 1 — InconnueOn pose \(x\) = l'âge actuel de Sarah (en années).
Étape 2 — TraductionDans 5 ans, son âge sera \(x+5\). L'équation est \(x+5 = 2x\).
Étape 3 — Résolution
\(x + 5 = \) \(2x\)
\(-x\)
\(-x\)
\(5 = x\)
Étape 4 — InterprétationSarah a 5 ans aujourd'hui. Vérification : dans 5 ans elle aura 10 ans, soit le double de 5 ✓
c) Père = 4×fils ; dans 10 ans, père = 3×fils
Étape 1 — InconnueOn pose \(x\) = l'âge actuel du fils (en années). L'âge du père est alors \(4x\).
Étape 2 — TraductionDans 10 ans : fils \(=x+10\), père \(=4x+10\). L'équation est \(4x+10 = 3(x+10)\).
Étape 3 — Résolution
\(4x + 10 = 3(x+10)\)
On développe :
\(4x + 10 = \) \(3x\) \(+ 30\)
\(-3x\)
\(-3x\)
\(x\) \(+10\) \(= 30\)
\(-10\)
\(-10\)
\(x = 20\)
Étape 4 — InterprétationLe fils a 20 ans (et le père \(4\times20=80\) ans). Vérification : dans 10 ans, fils = 30 ans, père = 90 ans, et \(90 = 3\times30\) ✓

Exercice 5 / 6

Partage Répartition
✓ Vu

Résoudre chaque problème de partage en suivant la méthode en 4 étapes.

a) Un sac contient 45 billes rouges, bleues et vertes. Il y a 2 fois plus de billes bleues que de rouges, et 5 billes vertes de plus que de rouges. Combien y a-t-il de billes de chaque couleur ?
b) Trois amis se partagent 120 € de gains au loto. Karim reçoit le double de Sami, et Nora reçoit 20 € de plus que Sami. Quelle est la part de chacun ?
c) Une classe de 30 élèves compte deux fois plus de filles que de garçons. Combien y a-t-il de filles et de garçons ?

💡 Indices

Choisis toujours \(x\) pour la quantité de référence (celle exprimée le plus simplement), puis exprime les autres quantités en fonction de \(x\).
a) 45 billes : bleues = 2×rouges, vertes = rouges + 5
Étape 1 — InconnueOn pose \(x\) = le nombre de billes rouges.
Étape 2 — TraductionBleues \(=2x\), vertes \(=x+5\). L'équation est \(x + 2x + (x+5) = 45\).
Étape 3 — Résolution
\(4x\) \(+5\) \(= 45\)
\(-5\)
\(-5\)
4\(x = 40\)
\(\div 4\)
\(\div 4\)
\(x = 10\)
Étape 4 — Interprétation10 billes rouges, \(2\times10=\)20 bleues et \(10+5=\)15 vertes. Vérification : \(10+20+15=45\) ✓
b) 120 € : Karim = 2×Sami, Nora = Sami + 20
Étape 1 — InconnueOn pose \(x\) = la part de Sami (en €).
Étape 2 — TraductionKarim \(=2x\), Nora \(=x+20\). L'équation est \(x + 2x + (x+20) = 120\).
Étape 3 — Résolution
\(4x\) \(+20\) \(= 120\)
\(-20\)
\(-20\)
4\(x = 100\)
\(\div 4\)
\(\div 4\)
\(x = 25\)
Étape 4 — InterprétationSami reçoit 25 €, Karim \(2\times25=\)50 € et Nora \(25+20=\)45 €. Vérification : \(25+50+45=120\) ✓
c) 30 élèves, filles = 2×garçons
Étape 1 — InconnueOn pose \(x\) = le nombre de garçons.
Étape 2 — TraductionFilles \(=2x\). L'équation est \(x + 2x = 30\).
Étape 3 — Résolution
3\(x = 30\)
\(\div 3\)
\(\div 3\)
\(x = 10\)
Étape 4 — Interprétation10 garçons et \(2\times10=\)20 filles. Vérification : \(10+20=30\) ✓

Exercice 6 / 6

Vrai / Faux Erreurs de traduction
✓ Vu

Pour chaque énoncé, une équation est proposée. Dire si la traduction est correcte, et corriger si nécessaire.

a) « Le double d'un nombre \(x\) diminué de 3 »  →  proposition : \(2x - 3\)
b) « 5 de moins que le triple d'un nombre \(x\) »  →  proposition : \(5 - 3x\)
c) « La somme de deux nombres consécutifs commençant par \(x\) »  →  proposition : \(x + x + 1\)
d) « Un rectangle deux fois plus long que large (largeur \(x\)), périmètre 40 »  →  proposition : \(x + 2x = 40\)
e) « La moitié d'un nombre \(x\) augmentée de 4 »  →  proposition : \(\dfrac{x+4}{2}\)
f) « Un prix initial \(x\), après une réduction de 10 €, coûte 45 € »  →  proposition : \(x - 10 = 45\)

💡 Indices

Relis l'énoncé mot à mot dans l'ordre, et traduis chaque morceau un par un avant d'assembler l'expression complète.
En d), n'oublie pas que le périmètre d'un rectangle contient un facteur 2. En e), « augmentée de 4 » s'applique-t-il à la moitié du nombre, ou au nombre entier avant de le diviser ?
a) « Le double de x diminué de 3 » → \(2x-3\)

✓ CORRECT — le double de \(x\) est \(2x\), diminué de 3 donne bien \(2x-3\).

b) « 5 de moins que le triple de x » → \(5-3x\)

❌ INCORRECT — « 5 de moins que le triple » signifie qu'on part du triple \(3x\) et qu'on lui retranche 5 : la bonne traduction est \(3x - 5\).

c) « Somme de deux nombres consécutifs commençant par x » → \(x+x+1\)

✓ CORRECT — le nombre suivant \(x\) est \(x+1\), donc la somme est bien \(x + (x+1) = x+x+1\).

d) Rectangle deux fois plus long que large, périmètre 40 → \(x+2x=40\)

❌ INCORRECT — il manque le facteur 2 du périmètre ! La bonne équation est \(2 \times (x + 2x) = 40\), soit \(6x = 40\).

e) « La moitié de x augmentée de 4 » → \(\dfrac{x+4}{2}\)

❌ INCORRECT — c'est la moitié de \(x\) qui est augmentée de 4, pas \(x\) lui-même avant de le diviser. La bonne traduction est \(\dfrac{x}{2} + 4\).

f) Prix x, réduction de 10 €, coûte 45 € → \(x-10=45\)

✓ CORRECT — le prix initial diminué de 10 € donne bien \(x - 10\), égal à 45 €.

⚠ À retenir : une traduction se construit morceau par morceau, dans l'ordre de l'énoncé — inverser l'ordre des opérations ou oublier un facteur global (comme le 2 du périmètre) sont les deux erreurs les plus fréquentes.

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