Équations produit nul

Chapitre 4 — Équations & Inéquations — Feuille n°4 — 2nde

✖ A×B=0 ⚡ Ou, pas et 2 équations

📌 La propriété à connaître

Produit nul
Un produit de facteurs est nul lorsque au moins l'un de ses facteurs est nul.
\(A \times B = 0 \;\Longleftrightarrow\; A = 0 \;\text{ ou }\; B = 0\)
1er facteur = 0
\(x\) \(+1\) \(= 0\)
\(-1\)
\(-1\)
\(x = -1\)
2e facteur = 0
\(x\) \(-3\) \(= 0\)
\(+3\)
\(+3\)
\(x = 3\)
Conclusion (exemple \((x+1)(x-3)=0\)) Deux solutions : \(x = -1\) et \(x = 3\).
Corrections vues :
0 / 6

Exercice 1 / 6

Produit nul Facteurs simples
✓ Vu

Résoudre chacune des équations produit nul suivantes.

a)
\((x+2)(x-5) = 0\)
b)
\((x-1)(x+7) = 0\)
c)
\((x+4)(x+4) = 0\)
d)
\(x(x-6) = 0\)
e)
\((x-3)(x+3) = 0\)
f)
\((x+9)(x-9) = 0\)

💡 Indices

Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul. Résous séparément « 1er facteur = 0 » et « 2e facteur = 0 ».
Les deux facteurs sont identiques : il n'y a alors qu'une seule solution, pas deux.
Règle : \(A \times B = 0 \iff A = 0\) ou \(B = 0\).
a) \((x+2)(x-5) = 0\)
1er facteur = 0
\(x\) \(+2\) \(= 0\)
\(-2\)
\(-2\)
\(x = -2\)
2e facteur = 0
\(x\) \(-5\) \(= 0\)
\(+5\)
\(+5\)
\(x = 5\)
Solutions\(x = -2\) et \(x = 5\).
b) \((x-1)(x+7) = 0\)
1er facteur = 0
\(x\) \(-1\) \(= 0\)
\(+1\)
\(+1\)
\(x = 1\)
2e facteur = 0
\(x\) \(+7\) \(= 0\)
\(-7\)
\(-7\)
\(x = -7\)
Solutions\(x = 1\) et \(x = -7\).
c) \((x+4)(x+4) = 0\)
\(x\) \(+4\) \(= 0\)
\(-4\)
\(-4\)
\(x = -4\)
Solution uniqueLes deux facteurs étant identiques, il n'y a qu'une seule solution : \(x = -4\).
d) \(x(x-6) = 0\)
1er facteur = 0
\(x = 0\)
2e facteur = 0
\(x\) \(-6\) \(= 0\)
\(+6\)
\(+6\)
\(x = 6\)
Solutions\(x = 0\) et \(x = 6\).
e) \((x-3)(x+3) = 0\)
1er facteur = 0
\(x\) \(-3\) \(= 0\)
\(+3\)
\(+3\)
\(x = 3\)
2e facteur = 0
\(x\) \(+3\) \(= 0\)
\(-3\)
\(-3\)
\(x = -3\)
Solutions\(x = 3\) et \(x = -3\).
f) \((x+9)(x-9) = 0\)
1er facteur = 0
\(x\) \(+9\) \(= 0\)
\(-9\)
\(-9\)
\(x = -9\)
2e facteur = 0
\(x\) \(-9\) \(= 0\)
\(+9\)
\(+9\)
\(x = 9\)
Solutions\(x = -9\) et \(x = 9\).
⚠ Point de vigilance : la propriété du produit nul utilise « ou », pas « et » — chaque solution correspond à un facteur annulé, pas les deux en même temps.

Exercice 2 / 6

Avec coefficients Deux étapes par facteur
✓ Vu

Résoudre chacune des équations suivantes.

a) \((2x-10)(x+3) = 0\)
b) \((3x+6)(x-8) = 0\)
c) \((5x-15)(2x+4) = 0\)
d) \((4x+12)(3x-9) = 0\)

💡 Indices

Chaque facteur du type \(ax+b\) demande deux étapes pour être résolu : d'abord éliminer \(b\), puis diviser par \(a\) — comme dans la feuille n°1.
a) \((2x-10)(x+3) = 0\)
1er facteur = 0
\(2x\) \(-10\) \(= 0\)
\(+10\)
\(+10\)
2\(x = 10\)
\(\div 2\)
\(\div 2\)
\(x = 5\)
2e facteur = 0
\(x\) \(+3\) \(= 0\)
\(-3\)
\(-3\)
\(x = -3\)
Solutions\(x = 5\) et \(x = -3\).
b) \((3x+6)(x-8) = 0\)
1er facteur = 0
\(3x\) \(+6\) \(= 0\)
\(-6\)
\(-6\)
3\(x = -6\)
\(\div 3\)
\(\div 3\)
\(x = -2\)
2e facteur = 0
\(x\) \(-8\) \(= 0\)
\(+8\)
\(+8\)
\(x = 8\)
Solutions\(x = -2\) et \(x = 8\).
c) \((5x-15)(2x+4) = 0\)
1er facteur = 0
\(5x\) \(-15\) \(= 0\)
\(+15\)
\(+15\)
5\(x = 15\)
\(\div 5\)
\(\div 5\)
\(x = 3\)
2e facteur = 0
\(2x\) \(+4\) \(= 0\)
\(-4\)
\(-4\)
2\(x = -4\)
\(\div 2\)
\(\div 2\)
\(x = -2\)
Solutions\(x = 3\) et \(x = -2\).
d) \((4x+12)(3x-9) = 0\)
1er facteur = 0
\(4x\) \(+12\) \(= 0\)
\(-12\)
\(-12\)
4\(x = -12\)
\(\div 4\)
\(\div 4\)
\(x = -3\)
2e facteur = 0
\(3x\) \(-9\) \(= 0\)
\(+9\)
\(+9\)
3\(x = 9\)
\(\div 3\)
\(\div 3\)
\(x = 3\)
Solutions\(x = -3\) et \(x = 3\).

Exercice 3 / 6

Cas particuliers Facteur x, fractions
✓ Vu

Résoudre chacune des équations suivantes.

a) \(x(3x-9) = 0\)
b) \(x(2x+10) = 0\)
c) \((2x+3)(2x-3) = 0\)
d) \((5x+2)(x-4) = 0\)

💡 Indices

Le premier facteur est simplement \(x\) : l'équation « \(x=0\) » est déjà résolue !
Les solutions ne sont pas toujours des nombres entiers : n'hésite pas à laisser une fraction ou un nombre décimal.
a) \(x(3x-9) = 0\)
1er facteur = 0
\(x = 0\)
2e facteur = 0
\(3x\) \(-9\) \(= 0\)
\(+9\)
\(+9\)
3\(x = 9\)
\(\div 3\)
\(\div 3\)
\(x = 3\)
Solutions\(x = 0\) et \(x = 3\).
b) \(x(2x+10) = 0\)
1er facteur = 0
\(x = 0\)
2e facteur = 0
\(2x\) \(+10\) \(= 0\)
\(-10\)
\(-10\)
2\(x = -10\)
\(\div 2\)
\(\div 2\)
\(x = -5\)
Solutions\(x = 0\) et \(x = -5\).
c) \((2x+3)(2x-3) = 0\)
1er facteur = 0
\(2x\) \(+3\) \(= 0\)
\(-3\)
\(-3\)
2\(x = -3\)
\(\div 2\)
\(\div 2\)
\(x = -1{,}5\)
2e facteur = 0
\(2x\) \(-3\) \(= 0\)
\(+3\)
\(+3\)
2\(x = 3\)
\(\div 2\)
\(\div 2\)
\(x = 1{,}5\)
Solutions\(x = -1{,}5\) et \(x = 1{,}5\).
d) \((5x+2)(x-4) = 0\)
1er facteur = 0
\(5x\) \(+2\) \(= 0\)
\(-2\)
\(-2\)
5\(x = -2\)
\(\div 5\)
\(\div 5\)
\(x = -0{,}4\)
2e facteur = 0
\(x\) \(-4\) \(= 0\)
\(+4\)
\(+4\)
\(x = 4\)
Solutions\(x = -0{,}4\) et \(x = 4\).
⚠ Point de vigilance : une solution n'est pas forcément un nombre entier — laisse une fraction ou un nombre décimal si besoin, ne l'arrondis jamais.

Exercice 4 / 6

Trois facteurs Extension de la règle
✓ Vu

La règle du produit nul s'étend à plus de deux facteurs : \(A \times B \times C = 0 \iff A=0\) ou \(B=0\) ou \(C=0\). Résoudre les équations suivantes.

a) \((x-1)(x+2)(x-4) = 0\)
b) \(x(x-3)(x+5) = 0\)
c) \((2x-2)(x+1)(3x-6) = 0\)

💡 Indices

Traite chaque facteur indépendamment, l'un après l'autre, exactement comme avec deux facteurs — il y a simplement une équation de plus à résoudre.
a) \((x-1)(x+2)(x-4) = 0\)
1er facteur = 0
\(x\) \(-1\) \(= 0\)
\(x = 1\)
2e facteur = 0
\(x\) \(+2\) \(= 0\)
\(x = -2\)
3e facteur = 0
\(x\) \(-4\) \(= 0\)
\(x = 4\)
Solutions\(x = 1\), \(x = -2\) et \(x = 4\).
b) \(x(x-3)(x+5) = 0\)
1er facteur = 0
\(x = 0\)
2e facteur = 0
\(x\) \(-3\) \(= 0\)
\(x = 3\)
3e facteur = 0
\(x\) \(+5\) \(= 0\)
\(x = -5\)
Solutions\(x = 0\), \(x = 3\) et \(x = -5\).
c) \((2x-2)(x+1)(3x-6) = 0\)
1er facteur = 0
2\(x = 2\)
\(x = 1\)
2e facteur = 0
\(x\) \(+1\) \(= 0\)
\(x = -1\)
3e facteur = 0
3\(x = 6\)
\(x = 2\)
Solutions\(x = 1\), \(x = -1\) et \(x = 2\).

Exercice 5 / 6

Vrai / Faux Pièges classiques
✓ Vu

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, et corriger si nécessaire.

a) Pour résoudre \((x-2)(x+5)=0\), on résout \(x-2=0\) ou \(x+5=0\).
b) Une équation produit nul comme \((x-3)(x+3)(x-1)=0\) peut avoir jusqu'à 3 solutions.
c) Pour résoudre \((2x-4)(x+1)=0\), il est nécessaire de développer le produit avant d'appliquer la règle du produit nul.
d) L'équation \(x \times x = 0\) a une unique solution \(x=0\).
e) Si \(A \times B = 0\), alors \(A=0\) et \(B=0\) doivent être vrais en même temps.
f) L'équation \((x-1)(x+1)=0\) a les mêmes solutions que \(x^2-1=0\).

💡 Indices

Développer transformerait le produit en une expression du second degré, plus difficile à résoudre — est-ce vraiment utile ici ?
Développe \((x-1)(x+1)\) : que remarques-tu par rapport à \(x^2-1\) ?
a) On résout \(x-2=0\) ou \(x+5=0\)

✓ VRAI — c'est exactement la définition de la règle du produit nul.

b) Un produit de 3 facteurs peut avoir jusqu'à 3 solutions

✓ VRAI — chaque facteur annulé fournit (au maximum) une solution, donc 3 facteurs peuvent donner jusqu'à 3 solutions distinctes.

c) Il faut développer avant d'appliquer la règle du produit nul

❌ FAUX — c'est même l'inverse : développer transformerait une résolution simple en une équation du second degré bien plus compliquée. On résout directement chaque facteur.

d) \(x \times x = 0\) a une unique solution \(x=0\)

✓ VRAI — les deux facteurs sont identiques (\(x\) et \(x\)), donc une seule valeur annule le produit.

e) \(A \times B = 0 \Rightarrow A=0\) et \(B=0\) en même temps

❌ FAUX — la règle utilise « ou », pas « et ». Il suffit qu'un seul facteur soit nul pour que le produit le soit.

f) \((x-1)(x+1)=0\) a les mêmes solutions que \(x^2-1=0\)

✓ VRAI — en développant, \((x-1)(x+1) = x^2 - 1\) : ce sont deux écritures de la même équation.

⚠ À retenir : la règle du produit nul utilise toujours « ou », jamais « et », et elle évite un développement inutile — c'est tout son intérêt.

Exercice 6 / 6

Applications Interprétation
✓ Vu

Résoudre chaque équation produit nul, puis interpréter les solutions dans leur contexte.

1) Un terrain a une aire modélisée par \(A(x) = (x-4)(x+10)\) (en m²), où \(x > 0\) représente une dimension. Pour quelles valeurs de \(x\) cette aire est-elle nulle ? Laquelle est acceptable dans ce contexte ?
2) La hauteur d'un objet lancé est nulle lorsque \(x(x-6)=0\), où \(x \geq 0\) est le temps écoulé (en secondes) depuis le lancer. À quels instants la hauteur est-elle nulle ? Interpréter chacun d'eux.
3) Le bénéfice d'une entreprise (en milliers d'€) s'annule lorsque \((x-2)(x-50)=0\), où \(x>0\) est le nombre de produits vendus (en centaines). Quels sont les deux « seuils de rentabilité » ?

💡 Indices

Trouve les deux solutions mathématiques, puis regarde laquelle respecte la contrainte donnée dans l'énoncé (\(x>0\)).
1) Aire d'un terrain
1er facteur = 0
\(x-4=0\)
\(x = 4\)
2e facteur = 0
\(x+10=0\)
\(x = -10\)
InterprétationLes deux solutions mathématiques sont \(x=4\) et \(x=-10\). Comme \(x\) représente une dimension, il doit être positif : seule \(x=4\) est acceptable.
2) Trajectoire d'un objet
1er facteur = 0
\(x = 0\)
2e facteur = 0
\(x-6=0\)
\(x = 6\)
InterprétationLa hauteur est nulle à \(x=0\) s (l'instant du lancer, au sol) et à \(x=6\) s (l'objet retombe au sol après 6 secondes). Les deux solutions sont acceptables ici.
3) Seuils de rentabilité
1er facteur = 0
\(x-2=0\)
\(x = 2\)
2e facteur = 0
\(x-50=0\)
\(x = 50\)
InterprétationLe bénéfice s'annule pour \(x=2\) et \(x=50\) (soit 200 et 5000 produits vendus) : ce sont les deux seuils de rentabilité de l'entreprise. Les deux valeurs sont acceptables puisque \(x>0\).
💡 À retenir : toutes les solutions mathématiques d'une équation ne sont pas toujours acceptables dans un contexte concret — il faut systématiquement vérifier qu'elles respectent les contraintes de l'énoncé.

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