Équations \(x^2 = a\)

Chapitre 4 — Équations & Inéquations — Feuille n°5 — 2nde

√ Racine carrée 3 cas ± Solutions

📌 La propriété à connaître

Racine carrée
La racine carrée d'un nombre positif \(n\) est le nombre positif qui, multiplié par lui-même, donne \(n\). Elle se note \(\sqrt{n}\).

L'équation \(x^2 = a\) admet :

Si \(a > 0\) Deux solutions
\(x = -\sqrt{a}\) et \(x = \sqrt{a}\)
Si \(a = 0\) Une solution
\(x = 0\)
Si \(a < 0\) Aucune solution
(pas de racine carrée d'un nombre négatif)
Corrections vues :
0 / 6

Exercice 1 / 6

\(x^2=a\) Les 3 cas
✓ Vu

Résoudre chacune des équations suivantes.

a)
\(x^2 = 49\)
b)
\(x^2 = 0\)
c)
\(x^2 = -16\)
d)
\(x^2 = 100\)
e)
\(x^2 = 5\)
f)
\(x^2 = -1\)

💡 Indices

Regarde d'abord le signe du nombre \(a\) : c'est lui qui détermine si l'équation a deux solutions, une solution, ou aucune.
5 n'est pas un carré parfait : la solution s'écrit avec une racine carrée, \(\sqrt{5}\), sans chercher à la calculer exactement.
Règle : \(x^2=a\) a deux solutions \(\pm\sqrt{a}\) si \(a>0\), une solution \(x=0\) si \(a=0\), aucune solution si \(a<0\).
a) \(x^2 = 49\)

\(49 > 0\) : deux solutions.

\(x = -7\) et \(x = 7\)
b) \(x^2 = 0\)

Une seule solution.

\(x = 0\)
c) \(x^2 = -16\)

\(-16 < 0\) : impossible, un carré n'est jamais négatif.

✖ Aucune solution
d) \(x^2 = 100\)

\(100 > 0\) : deux solutions.

\(x = -10\) et \(x = 10\)
e) \(x^2 = 5\)

\(5 > 0\) : deux solutions (5 n'est pas un carré parfait, on garde la racine).

\(x = -\sqrt{5}\) et \(x = \sqrt{5}\)  (\(\sqrt{5} \approx 2{,}24\))
f) \(x^2 = -1\)

\(-1 < 0\) : impossible.

✖ Aucune solution
⚠ Point de vigilance : un carré \(x^2\) est toujours positif ou nul — il ne peut donc jamais être égal à un nombre négatif.

Exercice 2 / 6

Isoler \(x^2\) Coefficient devant \(x^2\)
✓ Vu

Isoler \(x^2\) avant d'appliquer la règle, puis résoudre.

a) \(3x^2 = 27\)
b) \(2x^2 = 50\)
c) \(5x^2 = -45\)
d) \(4x^2 = 0\)

💡 Indices

Divise d'abord les deux membres par le coefficient devant \(x^2\), comme pour isoler \(x\) dans la feuille n°1 — sauf qu'ici c'est \(x^2\) que l'on isole.
a) \(3x^2 = 27\)
3\(x^2 = 27\)
\(\div 3\)
\(\div 3\)
\(x^2 = 9\)

\(9 > 0\) : deux solutions.

\(x = -3\) et \(x = 3\)
b) \(2x^2 = 50\)
2\(x^2 = 50\)
\(\div 2\)
\(\div 2\)
\(x^2 = 25\)

\(25 > 0\) : deux solutions.

\(x = -5\) et \(x = 5\)
c) \(5x^2 = -45\)
5\(x^2 = -45\)
\(\div 5\)
\(\div 5\)
\(x^2 = -9\)

\(-9 < 0\) : impossible.

✖ Aucune solution
d) \(4x^2 = 0\)
4\(x^2 = 0\)
\(\div 4\)
\(\div 4\)
\(x^2 = 0\)

Une seule solution.

\(x = 0\)

Exercice 3 / 6

\((x+a)^2=b\) Sans développer
✓ Vu

Résoudre chaque équation en appliquant directement la règle des 3 cas à l'expression entre parenthèses (inutile de développer).

a) \((x-2)^2 = 9\)
b) \((x+5)^2 = 16\)
c) \((x-1)^2 = 0\)
d) \((x+3)^2 = -4\)

💡 Indices

Traite \((x-2)\) comme un tout : si \((x-2)^2=9\), alors \(x-2=-3\) ou \(x-2=3\). Il ne reste plus qu'à isoler \(x\) dans chaque cas, avec la méthode des flèches.
a) \((x-2)^2 = 9\)

\(9 > 0\) : deux solutions pour \((x-2)\), à savoir \(-3\) et \(3\).

\(x-2=-3\)
\(x\) \(-2\) \(= -3\)
\(+2\)
\(+2\)
\(x = -1\)
\(x-2=3\)
\(x\) \(-2\) \(= 3\)
\(+2\)
\(+2\)
\(x = 5\)
Solutions\(x = -1\) et \(x = 5\).
b) \((x+5)^2 = 16\)

\(16 > 0\) : deux solutions pour \((x+5)\), à savoir \(-4\) et \(4\).

\(x+5=-4\)
\(x\) \(+5\) \(= -4\)
\(-5\)
\(-5\)
\(x = -9\)
\(x+5=4\)
\(x\) \(+5\) \(= 4\)
\(-5\)
\(-5\)
\(x = -1\)
Solutions\(x = -9\) et \(x = -1\).
c) \((x-1)^2 = 0\)

Une seule solution pour \((x-1)\) : \(x-1=0\).

\(x\) \(-1\) \(= 0\)
\(+1\)
\(+1\)
\(x = 1\)
\(x = 1\)
d) \((x+3)^2 = -4\)

\(-4 < 0\) : impossible, quel que soit \(x\).

✖ Aucune solution

Exercice 4 / 6

Méthode complète Isoler puis conclure
✓ Vu

Isoler \(x^2\) (parfois en deux étapes) avant d'appliquer la règle des 3 cas.

a) \(x^2 + 7 = 32\)
b) \(x^2 - 10 = 6\)
c) \(2x^2 + 3 = 21\)
d) \(3x^2 - 5 = -5\)

💡 Indices

Traite d'abord le terme constant (addition/soustraction), puis le coefficient devant \(x^2\) (division), exactement comme pour isoler \(x\) dans une équation à deux étapes.
a) \(x^2 + 7 = 32\)
\(x^2\) \(+7\) \(= 32\)
\(-7\)
\(-7\)
\(x^2 = 25\)

\(25 > 0\) : deux solutions.

\(x = -5\) et \(x = 5\)
b) \(x^2 - 10 = 6\)
\(x^2\) \(-10\) \(= 6\)
\(+10\)
\(+10\)
\(x^2 = 16\)

\(16 > 0\) : deux solutions.

\(x = -4\) et \(x = 4\)
c) \(2x^2 + 3 = 21\)
\(2x^2\) \(+3\) \(= 21\)
\(-3\)
\(-3\)
2\(x^2 = 18\)
\(\div 2\)
\(\div 2\)
\(x^2 = 9\)

\(9 > 0\) : deux solutions.

\(x = -3\) et \(x = 3\)
d) \(3x^2 - 5 = -5\)
\(3x^2\) \(-5\) \(= -5\)
\(+5\)
\(+5\)
3\(x^2 = 0\)
\(\div 3\)
\(\div 3\)
\(x^2 = 0\)

Une seule solution.

\(x = 0\)

Exercice 5 / 6

Vrai / Faux Pièges classiques
✓ Vu

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, et corriger si nécessaire.

a) L'équation \(x^2=25\) a pour solutions \(x=5\) et \(x=-5\).
b) L'équation \(x^2=-9\) a pour solution \(x=-3\).
c) L'équation \(x^2=0\) a deux solutions, \(x=0\) et \(x=0\).
d) Pour résoudre \(2x^2=32\), on doit d'abord diviser les deux membres par 2.
e) L'équation \((x+4)^2=9\) équivaut à \(x+4=3\) uniquement.
f) \(\sqrt{20}\) est un nombre positif tel que \((\sqrt{20})^2=20\).

💡 Indices

Calcule \((-3)^2\). Est-ce bien égal à \(-9\) ? Un carré peut-il être négatif ?
\(9>0\) : combien de valeurs possibles y a-t-il pour \((x+4)\) ?
a) \(x^2=25\) a pour solutions \(x=5\) et \(x=-5\)

✓ VRAI — \(5^2=25\) et \((-5)^2=25\).

b) \(x^2=-9\) a pour solution \(x=-3\)

❌ FAUX — \((-3)^2 = 9\), et non \(-9\). Un carré n'est jamais négatif, donc \(x^2=-9\) n'a aucune solution.

c) \(x^2=0\) a deux solutions, \(x=0\) et \(x=0\)

❌ FAUX — il n'y a qu'une seule solution, \(x=0\) (la répéter deux fois n'en fait pas deux).

d) Pour résoudre \(2x^2=32\), diviser d'abord par 2

✓ VRAI — cela donne \(x^2=16\), qu'on peut ensuite résoudre directement.

e) \((x+4)^2=9\) équivaut à \(x+4=3\) uniquement

❌ FAUX — puisque \(9>0\), il y a deux possibilités : \(x+4=3\) ou \(x+4=-3\). Oublier le cas négatif fait perdre une solution.

f) \(\sqrt{20}\) est positif et \((\sqrt{20})^2=20\)

✓ VRAI — c'est la définition même de la racine carrée.

⚠ À retenir : un carré n'est jamais négatif, et dès que \(a>0\) il y a bien deux solutions opposées à ne pas oublier.

Exercice 6 / 6

Applications Interprétation
✓ Vu

Résoudre chaque équation, puis interpréter les solutions selon le contexte.

1) L'aire d'un carré est de 64 cm². En notant \(x>0\) la longueur du côté, on a \(x^2=64\). Quelle est la longueur du côté ?
2) La vitesse \(v\) (en m/s) d'un objet, nécessairement positive, vérifie \(v^2=49\). Quelle est la valeur de \(v\) ?
3) Un nombre est tel que son carré vaut 121. Quelles sont les valeurs possibles de ce nombre, sans contrainte de signe ?

💡 Indices

Trouve d'abord les deux solutions mathématiques, puis regarde si le contexte (longueur, vitesse...) impose de n'en garder qu'une seule.
1) Aire d'un carré

\(x^2=64\) : les deux solutions mathématiques sont \(x=-8\) et \(x=8\).

InterprétationComme \(x\) représente une longueur, il doit être positif : seule \(x=8\) cm est acceptable.
2) Vitesse d'un objet

\(v^2=49\) : les deux solutions mathématiques sont \(v=-7\) et \(v=7\).

InterprétationUne vitesse ici est positive : seule \(v=7\) m/s est acceptable.
3) Nombre sans contrainte de signe

\(x^2=121\) : les deux solutions mathématiques sont \(x=-11\) et \(x=11\).

InterprétationAucune contrainte n'est donnée ici : les deux valeurs \(x=-11\) et \(x=11\) sont acceptables.
💡 À retenir : résoudre \(x^2=a\) donne toujours les solutions mathématiques — c'est le contexte (longueur, vitesse, âge...) qui décide ensuite lesquelles sont physiquement acceptables.

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